經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分定積分的應(yīng)用,求面積、體積

1、6.4 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用l一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積l二、立體的體積二、立體的體積l三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用一、平面圖形的面積 平面圖形面積可借助定積分平面圖形面積可借助定積分幾何意義幾何意義進(jìn)行求解。進(jìn)行求解。一條曲線(xiàn)情形：（積分變量為x）xOyabSxOyabS(1) f(x)0,(2) f(x)0,( )baSf x dx ( )baSf x dx |( ) |baf xdx （3）一般情況）一般情況123SSSS( )( )( )cdbacdf x dxf x dxf x dx|( )|baf xdx xOyab1S2S3Scd( ),|( )|bayf xxa xb

2、xSf xdx 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 一條曲線(xiàn)（積分變量為一條曲線(xiàn)（積分變量為y）xyOcd(1)0)( y (2)0)( y (3)一般情況一般情況( )dcSy dy ( )|( ) |ddccSy dyydy ( )( )|( )|eddcecSy dyy dyydyxyOcd)(yx xyOcde)(yx ( ),|( )|dcxyyc ydySydy 由由及及 軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積為為 ln ,0.1,10,0.yx xxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積解解：100.1|ln|Sx dx xyolnyx 1100.11lnlnxdxxdx

3、110.10.1ln|lnxxxdx 101011ln|lnxxxdx 0.1ln0.110.1 10ln1090.1ln100.9 10ln1099.9ln108.12條曲線(xiàn)（選擇合適的積分變量）條曲線(xiàn)（選擇合適的積分變量）)(1xfy )(2xfy abxyo21( )( )bbaaSfx dxfx dx21( )( )bafxfx dx 21( )( )fxfx )(1xfy )(2xfy abxyoc 1221( )( )( )( )cabcSfxfxdxfxfx dx 21( )( )bafxfx dx 21( )( )f cf c 選選x作為變量上邊曲線(xiàn)減去下邊曲線(xiàn)作為變量上邊曲線(xiàn)

4、減去下邊曲線(xiàn)注：求面積時(shí)保證被積函數(shù)的非負(fù)性注：求面積時(shí)保證被積函數(shù)的非負(fù)性( )xy ( )xy dxyoce 當(dāng)兩條曲線(xiàn)相交時(shí)，應(yīng)求出其交點(diǎn)作為區(qū)間分段點(diǎn).選選y作為變量右邊曲線(xiàn)減去左邊曲線(xiàn)作為變量右邊曲線(xiàn)減去左邊曲線(xiàn)xOcd yxyxy dcdyyyS)()( deecdyyydyyyS)()()()( dcdyyy)()( 畫(huà)草圖畫(huà)草圖.例例22,xy xy所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.計(jì)算由計(jì)算由解解 22xyxy得交點(diǎn)得交點(diǎn) (0, 0) 和和 (1, 1)解方程組解方程組xoyxy 22xy ) 1 , 1 (113 120()Sxxdx 33212330 xx 另解另解.

5、13 120()Syydy 33212330yy 選選x為積分變量為積分變量選選y為積分變量為積分變量求面積的解題步驟求面積的解題步驟2、聯(lián)立方程求交點(diǎn)4、確定被積函數(shù)，利用公式進(jìn)行求解積分變量的選擇積分變量的選擇選取積分變量選取積分變量 x (y) 應(yīng)滿(mǎn)足：過(guò)點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足：過(guò)點(diǎn) x (y) 作垂直于作垂直于 x (y) 軸的軸的直線(xiàn)穿區(qū)域直線(xiàn)穿區(qū)域D, 是一進(jìn)一出，即最多兩個(gè)交點(diǎn)；是一進(jìn)一出，即最多兩個(gè)交點(diǎn)；)(1xfy )(2xfy abxyoc積分區(qū)間的確定積分區(qū)間的確定選取積分變量選取積分變量 x 應(yīng)為區(qū)域的左右兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間應(yīng)為區(qū)域的左右兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;選取積分變量選取積

6、分變量 y 應(yīng)應(yīng)為區(qū)域的上下兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間為區(qū)域的上下兩個(gè)邊界點(diǎn)所確定的區(qū)間;被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則被積函數(shù)應(yīng)遵循的原則 -大減小大減小(x上減下上減下, y右減左右減左)理論上可以選理論上可以選擇任何一個(gè)變擇任何一個(gè)變?cè)獮榉e分變量元為積分變量. .例：計(jì)算由曲線(xiàn)例：計(jì)算由曲線(xiàn)y=x3-6x和和y=x2所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 解解).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量xxxy63 2xy 0322(6)Sxxxdx dxxxx)6(3230 .12253 例：計(jì)算由曲線(xiàn)例：計(jì)算由曲線(xiàn)y2=2x和和y=x-4直線(xiàn)所圍成的

7、圖形的面積直線(xiàn)所圍成的圖形的面積. 解：解：).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y24242ySydy 18. xy22 4 xy)2, 2( )4 , 8(選選x為積分變量為積分變量 28022(2 )( 2(4)Sxxdxxxdx .18 例：例： 求由曲線(xiàn)求由曲線(xiàn)1,2yyx xx與與所圍面積。所圍面積。解：解：畫(huà)草圖，畫(huà)草圖，xyoyx 1yx 2x (1,1)1(2, )2(2,2)211()Sxdxx 2211ln2xx3ln221121(2)Sdyy 21(2)y dy 例例 設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn) x 軸與軸與 y 軸在第一象限所圍的圖形軸在第一象限所

8、圍的圖形 被曲線(xiàn)被曲線(xiàn) 分為面積相等的兩部分，試確定分為面積相等的兩部分，試確定a的值的值. .2(0)yaxa 解解 如圖，如圖，解方程組解方程組 1(,)11aaa 而而122110(1)aSxaxdx 23 1a 再由再由112SS 12021(1)23 1xdxa 221yxyax 311(1)130 xa xa 得得3a 解解之之得得13得交點(diǎn)坐標(biāo)得交點(diǎn)坐標(biāo)21,yxxyo21yx2yax 1S2SoxyabxS(x)二、平行截面面積已知的立體體積(), , ( )( )baxaxb abxa bxS xVS x dx 設(shè)設(shè)為為一一空空間間立立體體，夾夾在在平平面面和和之之間間過(guò)過(guò)任

9、任意意點(diǎn)點(diǎn)作作垂垂直直于于 軸軸的的平平面面, ,它它截截立立體體的的截截平平面面的的面面積積為為（連連續(xù)續(xù)）, ,則則該該立立體體的的體體積積為為 oxyabiV 具體求法如下：具體求法如下：1.分割分割01naxxxb 1iiixxx 1|maxiinx 1ix ix2.近似求和近似求和i ()iS ()iiiVSx 11()nniiiiiVVSx 3.求極限求極限| |01lim()niiiVSx ()baS x dx 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積是由某平面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直是由某平面內(nèi)一個(gè)圖形繞平面內(nèi)的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的這條定直線(xiàn)

10、稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。軸。圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)xOyab xfy x 2( )S xfx 2bxaVfx dx l 由連續(xù)曲線(xiàn)由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x), x=a, x=b, y=0 所圍圖形所圍圖形繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：l 由連續(xù)曲線(xiàn)由連續(xù)曲線(xiàn)x= (y), y=c, y=d, x=0 所圍圖形所圍圖形繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：生成旋轉(zhuǎn)體的體積為：xOycd xy 2dycVy dy 2( )S yy 一般地一般地, , 由連續(xù)曲線(xiàn)由連續(xù)曲線(xiàn) y =(x) 、 y =g(x) 和直線(xiàn)和直線(xiàn) x = a 、x = b所圍成的平面圖形繞所

11、圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為的立體的體積為oxyy=(x)abx x+dxy=g(x)22( )( )bxaVfxgx dx 例：求由橢圓例：求由橢圓22221xyab旋轉(zhuǎn)橢球體的體積旋轉(zhuǎn)橢球體的體積旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓繞繞x軸旋轉(zhuǎn)。軸旋轉(zhuǎn)。22byaxa222axabVaxdxa 所圍成所圍成的圖形繞的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的軸旋轉(zhuǎn)而成的x243ab 222202abaxdxa 解：解：xOya22xaaby例：求由例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：解：畫(huà)圖，畫(huà)圖，x

12、Oy2xy 2yx )(yx 求交點(diǎn)求交點(diǎn)： (0,0)(0,1)1 , 0 y積分變量：積分變量：yV 1220ydy 210ydy 10ydy15015y 120125y 32510 例：求由例：求由y=x2,y=x,y=2x所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x,y軸軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：解： 畫(huà)圖，畫(huà)圖，xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)xV 2202xdx 120 xdx 2221xdx 32043x 3 1013x 52115x 323 13 315 6215 xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)yV 120ydy 241ydy 2402ydy 3

13、 152 163 52 xOy21yx (0, 1) 2,21,xyyxxy求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積，及及繞繞 軸軸軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)生生成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. .2xy 1(,0)2解：解： 畫(huà)圖，畫(huà)圖，221xyyx 11(1,1),( ,).42 交交點(diǎn)點(diǎn)為為(1,1)11( ,)42 S 112dy 1(2y 2)y 116 xV 210 xdx 211221xdx 3 yV 211212ydy 21212ydy 920 三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例（一）已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時(shí)間的變化率是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)的連

14、續(xù)函數(shù)f(t),且時(shí)刻且時(shí)刻t0的產(chǎn)量的產(chǎn)量Q0,即即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .則產(chǎn)品在則產(chǎn)品在t時(shí)刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為時(shí)刻的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 注：通常假設(shè)注：通常假設(shè)t0=0時(shí)，時(shí)，Q0=0即即Q(t0)=0。l 例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2 (噸噸/小時(shí)小時(shí)),求求總產(chǎn)量函數(shù)總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);從從t0=4到到t1=8這這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量 Q。l 解：解： tdssftQ0)()(

15、)(15. 0510032噸ttt)4()8(QQQ )815. 0858100(32)415. 0454100(32 tdsss02)45. 010100(經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之二已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)( )160.002().200,200.001 ,(1)( );(2)( )(3)(4)xC xxpxpxxC xxL x 例例：某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)某某產(chǎn)產(chǎn)品品 單單位位的的邊邊際際成成本本是是元元/ /單單位位 固固定定成成本本為為元元 此此種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的價(jià)價(jià)格格 是是產(chǎn)產(chǎn)量量 的的函函數(shù)數(shù)：求求：生生產(chǎn)產(chǎn) 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總成成本本生生產(chǎn)產(chǎn) 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總利利潤(rùn)潤(rùn)；生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品才才能能獲獲得得最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)；最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)是是多多少少? ?0(1)( )(0)( )xC xCC t dt 解解：0200(160.002 )xt dt 2160.001200 xx(2)( )( )( )L xR xC x( )pxC x2(200.001 )(160.0