例談運用物理思維求解極值問題

1、例談運用物理思維求解極值問題在處理物理極值問題的時候，我們常采用數學的方法來求，這無可非議，也是高考大綱列出的著重考查的五種能力之一，即運用數學方法處理物理問題的能力。但筆者以為，在平時訓練求解有關物理極值問題的時候，如果用純數學的方法，有兩個缺點：一是運算量太大，也易出錯；二是不利于物理思維的訓練。本文試通過以下幾個例子，從數學方法與物理方法兩個角度進行比較，希望能得到一些啟發(fā)。不當之處，懇請同行指正。例1設湖岸MN為一直線，有一小船自岸邊的A點沿與湖岸成角勻速向湖中駛去。有一個自A點同時出發(fā)，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。已知人在岸上走的速度為v=4m/s，在水中游泳的速度為v=2m/

2、s。試求船速至多為多少，此人才能追上船？LAMdBN圖1解法一：數學方法如圖1，設人自岸上某處沿與岸成角的方向游去，恰與船相遇于B點，設B點與岸相距為d，BA在岸上的投影長為L，則人由A至B所歷的總時間為t=上試說明t與有關，且在d，L，一定時由決定研究函數y=取即為關于cos的二次方程應滿足 即 可見的最小值為進一步可求得此時表示當時，y有最小值，即t有最小值，代入數據得故對應的最大船速應該為解法二：速度矢量法vNM圖2設人先在岸上走一段時間，再入水游泳追船，以船為參照物，由于人和船是同時由A點出發(fā)，則人在岸上走時，船看到人正在由船位置逐漸“離去”，離去的相對速度為= 如圖2所示，人在水中游

3、時，船則看到人正在逐漸“返回”，其返回的相對速度為要人能追上船，即“返回”到船上，則與必方向相反。由速度合成的矢量三角形法則知矢量的末端必終止在圖2所示的的反向延長線上，又為使v盡可能大，即要盡可能大，故圖2中應盡可能短，對應與圖中虛線垂直的情況。由于，可見圖中與的夾角為，則由三矢量組成一等腰直角三角形。此時有點評：解法一的思路非常簡單，但數學運算能力要求很高。解法二從矢量三角形入手，對矢量三角形必須有清晰的概念，對加深、提高矢量三角形的認識有很大的幫助且運算量很小。F圖3例2如圖3，物體與斜面間的靜摩擦因數為，斜面的傾角為。設物體的質量為m，問施加拉力F與斜面成多大角度時，所需的力F最小可使

4、物體沿斜面勻速上滑？解法一：數學極值法設力F與斜面夾角為，則由平衡條件得 由 其中 由數學知識得：當 即 ，時 ， =解法二：力矢量法圖4FNfFGFG將摩擦力和彈力N合成一個力，與垂直斜面方向夾角滿足： 為定值。這樣物體受到三個力：重力、和推力，如圖4，其中的大小、方向都確定，的方向確定但大小不定，而的方向大小都不一定，作出力的三角形，顯然，當垂直于時，最小，即當與斜面成時最小。點評：力矢量法的關鍵是多力平衡問題轉化為我們熟悉的三力平衡問題。LOABP圖5例3正點電荷Q和Q分別置與A，B兩點，相距L，現以L為直徑作半圓，如圖5，試求在此半圓上電勢最低點P的位置。解法一：如圖，設P點與A點連線

5、PA與AB夾角，則點電荷在P點產生的電勢分別表示為P點電勢可表示為 令y =，則化簡為且等號在 即 時成立，此時恰好也取得最小值當時，有最小值，即有最小值OAB圖6PF解法二：設想有一正檢驗電荷從A處沿圓弧移到B處，則其在圓弧上電勢能最低點即為P點，依電勢能變化與電場力做功關系，將該電荷由其它點移到P點的過程，均為電場力做功過程，由此推知，從P點移到B點過程均為克服電場力做功過程，即電荷q在P點所受庫侖斥力與的合力F的延長線必過O點，如圖6所示設，則， 即 點評：解法一須知點電荷產生電勢的計算公式且數學運算十分繁瑣，而解法二則物理思想明確又十分簡捷，顯然后者遠優(yōu)于前者。ESBaRb圖7例4如圖

6、7所示，水平放置的兩平行金屬導軌相距 = 0.25m，電池的電動勢E = 6v，內阻不計，電阻R = 5，勻強磁場豎直向下，開關S閉合后橫放在導軌上的金屬棒在磁場力作用下由靜止開始向右運動。金屬棒與導軌間的滑動摩擦力f=0.15N，為了使金屬棒的運動速度最大，磁感應強度B應為多大？此最大速度為多少？解法一：當金屬棒做勻速運動時， 得 當 時，金屬棒的最終速度有極大值解法二：從能的轉化和守恒觀點，金屬棒的最終速度是勻速運動，電源輸出功率的部分使電阻發(fā)熱，一部分克服阻力做功。將R看作電源內阻，那么電源的輸出功率全部用來克服阻力做功。因為f一定，當電源輸出功率P最大時有，即 電源的最大輸出功率電源輸出功率最大時，路端電壓等于電源電動勢一半，即，即為金屬棒的感應電動勢，得 從以上各例可以看出，其實數學方法和物理方法各有千秋。數學方法思維簡