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文檔簡介
1、例談運用物理思維求解極值問題在處理物理極值問題的時候,我們常采用數學的方法來求,這無可非議,也是高考大綱列出的著重考查的五種能力之一,即運用數學方法處理物理問題的能力。但筆者以為,在平時訓練求解有關物理極值問題的時候,如果用純數學的方法,有兩個缺點:一是運算量太大,也易出錯;二是不利于物理思維的訓練。本文試通過以下幾個例子,從數學方法與物理方法兩個角度進行比較,希望能得到一些啟發(fā)。不當之處,懇請同行指正。例1設湖岸MN為一直線,有一小船自岸邊的A點沿與湖岸成角勻速向湖中駛去。有一個自A點同時出發(fā),他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。已知人在岸上走的速度為v=4m/s,在水中游泳的速度為v=2m/
2、s。試求船速至多為多少,此人才能追上船?LAMdBN圖1解法一:數學方法如圖1,設人自岸上某處沿與岸成角的方向游去,恰與船相遇于B點,設B點與岸相距為d,BA在岸上的投影長為L,則人由A至B所歷的總時間為t=上試說明t與有關,且在d,L,一定時由決定研究函數y=取即為關于cos的二次方程應滿足 即 可見的最小值為進一步可求得此時表示當時,y有最小值,即t有最小值,代入數據得故對應的最大船速應該為解法二:速度矢量法vNM圖2設人先在岸上走一段時間,再入水游泳追船,以船為參照物,由于人和船是同時由A點出發(fā),則人在岸上走時,船看到人正在由船位置逐漸“離去”,離去的相對速度為= 如圖2所示,人在水中游
3、時,船則看到人正在逐漸“返回”,其返回的相對速度為要人能追上船,即“返回”到船上,則與必方向相反。由速度合成的矢量三角形法則知矢量的末端必終止在圖2所示的的反向延長線上,又為使v盡可能大,即要盡可能大,故圖2中應盡可能短,對應與圖中虛線垂直的情況。由于,可見圖中與的夾角為,則由三矢量組成一等腰直角三角形。此時有點評:解法一的思路非常簡單,但數學運算能力要求很高。解法二從矢量三角形入手,對矢量三角形必須有清晰的概念,對加深、提高矢量三角形的認識有很大的幫助且運算量很小。F圖3例2如圖3,物體與斜面間的靜摩擦因數為,斜面的傾角為。設物體的質量為m,問施加拉力F與斜面成多大角度時,所需的力F最小可使
4、物體沿斜面勻速上滑?解法一:數學極值法設力F與斜面夾角為,則由平衡條件得 由 其中 由數學知識得:當 即 ,時 , =解法二:力矢量法圖4FNfFGFG將摩擦力和彈力N合成一個力,與垂直斜面方向夾角滿足: 為定值。這樣物體受到三個力:重力、和推力,如圖4,其中的大小、方向都確定,的方向確定但大小不定,而的方向大小都不一定,作出力的三角形,顯然,當垂直于時,最小,即當與斜面成時最小。點評:力矢量法的關鍵是多力平衡問題轉化為我們熟悉的三力平衡問題。LOABP圖5例3正點電荷Q和Q分別置與A,B兩點,相距L,現以L為直徑作半圓,如圖5,試求在此半圓上電勢最低點P的位置。解法一:如圖,設P點與A點連線
5、PA與AB夾角,則點電荷在P點產生的電勢分別表示為P點電勢可表示為 令y =,則化簡為且等號在 即 時成立,此時恰好也取得最小值當時,有最小值,即有最小值OAB圖6PF解法二:設想有一正檢驗電荷從A處沿圓弧移到B處,則其在圓弧上電勢能最低點即為P點,依電勢能變化與電場力做功關系,將該電荷由其它點移到P點的過程,均為電場力做功過程,由此推知,從P點移到B點過程均為克服電場力做功過程,即電荷q在P點所受庫侖斥力與的合力F的延長線必過O點,如圖6所示設,則, 即 點評:解法一須知點電荷產生電勢的計算公式且數學運算十分繁瑣,而解法二則物理思想明確又十分簡捷,顯然后者遠優(yōu)于前者。ESBaRb圖7例4如圖
6、7所示,水平放置的兩平行金屬導軌相距 = 0.25m,電池的電動勢E = 6v,內阻不計,電阻R = 5,勻強磁場豎直向下,開關S閉合后橫放在導軌上的金屬棒在磁場力作用下由靜止開始向右運動。金屬棒與導軌間的滑動摩擦力f=0.15N,為了使金屬棒的運動速度最大,磁感應強度B應為多大?此最大速度為多少?解法一:當金屬棒做勻速運動時, 得 當 時,金屬棒的最終速度有極大值解法二:從能的轉化和守恒觀點,金屬棒的最終速度是勻速運動,電源輸出功率的部分使電阻發(fā)熱,一部分克服阻力做功。將R看作電源內阻,那么電源的輸出功率全部用來克服阻力做功。因為f一定,當電源輸出功率P最大時有,即 電源的最大輸出功率電源輸出功率最大時,路端電壓等于電源電動勢一半,即,即為金屬棒的感應電動勢,得 從以上各例可以看出,其實數學方法和物理方法各有千秋。數學方法思維簡
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