第十五講格林公式與其應(yīng)用-一連通區(qū)域

1、第十五講格林公式與其應(yīng)用-一連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、連通區(qū)域一、連通區(qū)域. 稱(chēng)稱(chēng)為為復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域則則為為平平面面單單連連通通區(qū)區(qū)域域，否否，則則稱(chēng)稱(chēng)的的部部分分都都屬屬于于內(nèi)內(nèi)任任一一閉閉曲曲線(xiàn)線(xiàn)所所圍圍成成為為平平面面區(qū)區(qū)域域，如如果果設(shè)設(shè)DDDD. (1) . (1) )( ),( ),( 格林公式格林公式叫做叫做公式公式的取正向的邊界曲線(xiàn)的取正向的邊界曲線(xiàn)是是其中其中續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有上具有一階連上具有一階連在在及及成，函數(shù)成，函數(shù)圍圍由分段光滑的曲線(xiàn)由分段光滑的曲線(xiàn)設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域定理定理DLQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPL

2、DLD 二、格林公式二、格林公式連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL2LD1L2L1LD邊界曲線(xiàn)邊界曲線(xiàn) L L 的正向的正向: : 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí), ,區(qū)域區(qū)域 總在觀察者的左邊總在觀察者的左邊. .D, ),()( ),(21bxaxyxyxD 證明證明: :. ),()( ),(21dycyxyyxD . )1( 至多交于兩點(diǎn)至多交于兩點(diǎn)和和平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)型，即型，即型又是型又是既是既是若區(qū)域若區(qū)域LYXD yxO abDcd)(1xy )(2xy CE)(2yx )(1yx BAdxxQdydxdyxQyydcD )( )

3、( 21 dcdcdyyyQdyyyQ 1 2),(),( CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(.),( LdyyxQ同理可證同理可證.),( LDdxyxPdxdyyPyxO abDcd)(1xy )(2xy CE)(2yx )(1yx BAL1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( DdxdyyPxQ)(. , )2( 如圖所示如圖所示段光滑的閉曲線(xiàn)圍成段光滑的閉曲線(xiàn)圍成由按由按若區(qū)域若區(qū)域 D. , 321DDDYXD型型的的區(qū)區(qū)域域型型又又是是分分成成三三個(gè)個(gè)既既是是將將 .)(321 D

4、DDdxdyyPxQ 1)(DdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx). ,(321來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)為為正正方方向向?qū)?duì)DLLL 3)(DdxdyyPxQ )(2 DdxdyyPxQL1L2L3LD1D2D3DGD3L2LFCE1LAB由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3. , , , , , . , )3( 32構(gòu)成構(gòu)成及及的邊界曲線(xiàn)由的邊界曲線(xiàn)由則則線(xiàn)段線(xiàn)段閉曲線(xiàn)所圍成，添加直閉曲線(xiàn)所圍成，添加直若區(qū)域不止由一條若區(qū)域不止由一條CGAECLCEAFCBALABDCEAB LQdyPdx 231)(

5、LLLQdyPdx). ,(321來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)為為正正方方向向?qū)?duì)DLLLGD3L2LFCE1LAB格林公式的實(shí)質(zhì)格林公式的實(shí)質(zhì) ：溝通了沿閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積分與溝通了沿閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積分與二重積分之間的聯(lián)系二重積分之間的聯(lián)系 . LDQdyPdxdxdyQPyx格林公式也可以寫(xiě)成格林公式也可以寫(xiě)成xyOLABDBOABOAL 解解 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy ABxdy00 Ddxdy （取正向的邊界曲線(xiàn)取正向的邊界曲線(xiàn)）. 412r . 1 第一象限部分第一象限部分的圓在的圓在是半徑為是半徑為曲線(xiàn)曲線(xiàn)，其中，其中計(jì)算計(jì)算例例rABxdyAB ，則則應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式，

6、令令xQP , 0 引入輔助曲線(xiàn)：引入輔助曲線(xiàn)：.,OABO BOABOAyDydyxedxdye22 1 0 22dxxedyxexOAy).1(211 e解解.2yeyPxQ 則則，令令2, 0 yxeQP 應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式, 有有 . )1 , 0()1 , 1()0 , 0( 2 2為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域，是是以以，其其中中計(jì)計(jì)算算例例BAODdxdyeDy xyOB11DA解解.)(22222yPyxxyxQ ，令令 , 2222yxxQyxyP . 1DL所圍成的閉區(qū)域?yàn)樗鶉傻拈]區(qū)域?yàn)橛浻洉r(shí)，有時(shí)，有則當(dāng)則當(dāng) 0 22 yx. 3 22為為逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)?/p>

7、方向向的的方方向向的的連連續(xù)續(xù)定定的的閉閉曲曲線(xiàn)線(xiàn)分分段段光光滑滑且且不不經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)為為一一條條無(wú)無(wú)重重點(diǎn)點(diǎn)，其其中中計(jì)計(jì)算算例例LLyxydxxdyL xyOLD. 022 LyxydxxdyL1Drlyxo時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) )0, 0( )1(D 由格林公式知由格林公式知時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) )0, 0( )2(D 應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式,得得,: 222ryxlD 內(nèi)內(nèi)的的圓圓周周作作位位于于. 1所所圍圍成成和和由由記記lLD lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL, 02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) 2 0

8、 22222sincosdrrr( 其中其中 l 的方向的方向取逆時(shí)針?lè)较蛉∧鏁r(shí)針?lè)较?), 2 LDydxxdydxdy利用格林公式計(jì)算平面圖形的面積利用格林公式計(jì)算平面圖形的面積 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( ：格格林林公公式式. 21 LydxxdyAD的的面面積積閉閉區(qū)區(qū)域域 , 得得取取xQyP , 0 ，得得取取xQP 0, ，得，得取取 QyP. LxdyA. )( LdxyA解解 LydxxdyA21 2 0 22)sincos(21dabab. sin , cos 4 的面積的面積所圍成圖形所圍成圖形求橢圓求橢圓例例 byax 2 0 21dab. ab 1LQdyP

9、dx 2LQdyPdxGyxO1L2LBA 三、曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件. , 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在則則稱(chēng)稱(chēng)曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分GQdyPdxL 內(nèi)有內(nèi)有如果在區(qū)域如果在區(qū)域 G. )1( ) ( ),(),( 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在在的充要條件是：的充要條件是：分為零分為零內(nèi)任意閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積內(nèi)任意閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積或沿或沿內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在在曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分，則，則內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在，數(shù)數(shù)是一個(gè)單連通區(qū)域，函是一個(gè)單連通區(qū)域，函設(shè)開(kāi)區(qū)域設(shè)開(kāi)區(qū)域定理定理GxQyPGGQdyPdxGyxQyxPGL 證明證明

10、充分性由格林公式直接得證充分性由格林公式直接得證 . 下面證明條件下面證明條件(1)是必要的是必要的 . 用反證法用反證法 . . 0)(0 MyPxQ. 0 yPxQKKMGGyPxQ上恒有上恒有，使得在，使得在域域半徑足夠小的圓形閉區(qū)半徑足夠小的圓形閉區(qū)為圓心，為圓心，內(nèi)取以?xún)?nèi)取以?xún)?nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，在在在、由于由于 0，使使得得內(nèi)內(nèi)存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)不不妨妨設(shè)設(shè)在在MG由格林公式及二重積分的性質(zhì)有由格林公式及二重積分的性質(zhì)有 )( KdxdyyPxQQdyPdx. 0 QdyPdx這與假設(shè)相矛盾，即條件這與假設(shè)相矛盾，即條件(1)是必要的是必要的. 的的面面積積，是是的的正正向向邊邊界界曲曲

11、線(xiàn)線(xiàn)，是是這這里里KK 所以所以四、二元函數(shù)的全微分求積四、二元函數(shù)的全微分求積. )2( ),( ),(),( ),(),( 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在全全微微分分的的充充要要條條件件是是：的的內(nèi)內(nèi)為為某某一一函函數(shù)數(shù)在在，則則內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在，數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通區(qū)區(qū)域域，函函設(shè)設(shè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域定定理理GxQyPyxuGdyyxQdxyxPGyxQyxPG 證明證明 ),( ，使得，使得假設(shè)存在某函數(shù)假設(shè)存在某函數(shù)yxu, ),(),(dyyxQdxyxPdu 則必有則必有. ),( , ),(yxQyuyxPxu 從而有從而有. , 22xQxyuyPyxu

12、由定理的條件，有由定理的條件，有. xQyP 即條件即條件(2)是必要的是必要的 .先證必要性先證必要性.再證充分性再證充分性.(3) ),(),(),(),( )( 0,0dyyxQdxyxPyxuyxyx ),(),( 是連續(xù)的，因此證明是連續(xù)的，因此證明、因?yàn)橐驗(yàn)閥xQyxP.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu . ),( , ),(yxQyuyxPxu 下面證明下面證明寫(xiě)寫(xiě)作作曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分可可內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，把把這這個(gè)個(gè)曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分在在的的終終點(diǎn)點(diǎn)為為可可知知，起起點(diǎn)點(diǎn)為為定定理理內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立，則則由由在在設(shè)設(shè)條條件件 ),( , ),( 2 )2(

13、000GyxMyxMG由偏導(dǎo)數(shù)的定義，有由偏導(dǎo)數(shù)的定義，有. ),(),(lim0 xyxuyxxuxux 由由(3)式，得式，得 ),(),(), (), ( )( 0,0dyyxQdxyxPyxxuyxxyx 積分路徑就有積分路徑就有作作到到，然后從，然后從無(wú)關(guān)，可以取先從無(wú)關(guān)，可以取先從由于積分與積分路徑由于積分與積分路徑 0NMMMOxy),(000yxM),(yxM), (yxxN Oxy),(000yxM),(yxM), (yxxN ),(), (yxuyxxu. ),(),(), ( )( ,dyyxQdxyxPyxxyx 所以所以),(), (yxuyxxu ),(),(),

14、( )( ,dyyxQdxyxPyxxyx . ),( dxyxPxxx 由定積分中值定理，得由定積分中值定理，得).10( , ), (),(), ( xyxxPyxuyxxu因此得到因此得到. ),(yxPxu , xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx則則dxyxPxx),(10 0 dyyxQyy),(10 0 dyyxQyy),(10 1 .),(10 1dxyxPxx 同理可證同理可證. ),( yxQyu 即條件即條件(2)是充分的是充分的 .),(01yxC ),(11yxB xyO ),( 00yxA ),(10yxD 解解.1523 所以原積分與路徑無(wú)關(guān)，所以原積分與路徑無(wú)關(guān)，xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 xQyP 1 0 1 0 42)1(dyydxx原式原式=. 2sin )1 , 1( )0 , 0( )()2( 5 422xyBOLdyyxdxxyxL 的的曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧到到點(diǎn)點(diǎn)由由點(diǎn)點(diǎn)為為，其其中中計(jì)計(jì)算算例例解解, 2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP