平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系(教案)

1、平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系（教案）一. 知識梳理1、平面的基本性質(zhì)：三個公理及公理三的三個推論和它們的用途2、空間兩條直線（1）空間兩直線位置關(guān)系有平行、相交、異面（2）平行直線公理4：ab,bc=>ac等角定理：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且方向相同，那么這兩個角相等推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等3、異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫異面直線.(2) 異面直線所成的角定義： 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點通常取在異面直線的一條

2、上異面直線所成的角的范圍：4、異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 垂直，記作5、求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求6、兩條異面直線公垂線的定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線公垂線7兩異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩異面直線間的線段的長度 二. 基礎(chǔ)訓(xùn)練1.在空間中， 若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線. 若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線. 以上兩個命題中，逆命題為真命題的

3、是 _(把符合要求的命題序號都填上)2. 如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC、BD的中點，若CD=2AB=2，EFAB，則EF與CD所成的角等于_30°_3.設(shè)a、b是異面直線，則下列四個命題中：過a至少有一個平面平行于b；過a至少有一個平面垂直于b；至少有一條直線與a、b都垂直；至少有一個平面分別與a、b都平行正確的序號是_4.對于四面體ABCD，給出下列四個命題若AB=AC，BD=CD，則BCAD.若AB=CD，AC=BD，則BCAD.若ABAC，BDCD，則BCAD.若ABCD，BD=AC，則BCAD.其中真命題的序號是_.(寫出所有真命題的序號)5.空間四點A，B，C，

4、D每兩點的距離都為a，動點P，Q分別在線段AB，CD上，則點P與Q的最短距離是_例1.如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若RQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K .求證：M、N、K三點共線.【解題回顧】利用兩平面交線的惟一性，證明諸點在兩平面的交線上是證明空間諸點共線的常用方法.備題說明：學(xué)會用平面的基本性質(zhì)證明空間三點共線問題.例2.已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且；求證：三條直線EF、GH、AC交于一點. 【解題回顧】利用兩平面交線的惟一性，證明諸點在兩平面的交線上是證明空間諸點共線的常用

5、方法.備題說明：學(xué)會用平面的基本性質(zhì)證明空間三線共點問題.例3.已知：ab=a，bÌb,ab=A,cÌa,ca,求證：b、c為異面直線.【解題回顧】反證法是立體幾何解題中，用于確定位置關(guān)系的一種較好方法，它的一般步驟是：(1)反設(shè)假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)歸謬由反設(shè)及原命題的條件，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾；(3)結(jié)論否定反設(shè)，肯定原命題正確.本命題的反面不只一種情形，應(yīng)通過推證將其反面一一駁倒.備課說明：回憶反證法，能用反證法證明兩條直線異面.例4.已知三直線a、b、c互相平行，且分別與直線l 相交于A、B、C三點，證明這三條直線共面.變題：若有n條直線互相平行，且都與另一

6、直線相交，證明這n+1條直線共面.20090216ABCD中，E、F、G、H分別為AB，BC，CD，AD上的點，請回答下列問題：(1)滿足什么條件時，四邊形EFGH為平行四邊形?(2)滿足什么條件時，四邊形EFGH為矩形?(3)滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形?【解】(1)當(dāng)AEAB=AHAD=CFCB=CGCD時，四邊形EFGH為平行四邊形.(2)當(dāng)E、H為所在邊的中點，且時，四邊形EFGH為梯形.(3) 當(dāng)AEAB=AHAD=CFCB=CGCD，且ACBD時四邊形EFGH為正方形.本題圖形可作適當(dāng)?shù)淖兪?，如ABCD為正四面體，E，G分別為AB，CD邊的中點，那么異面直線EG與AC所成

7、的角為多少?(1990年全國高考題)【說明】第(1)小題的答案不惟一.第(3)小題的空間圖形可作適當(dāng)?shù)淖兪?，如ABCD為正四面體，E，G分別為AB，CD邊的中點，那么異面直線EG與AC所成的角為多少?即可變?yōu)?990年全國高考題.四、反饋練習(xí)1、三點確定一個平面的條件是_；共點的四條直線是多可以確定_平面； 互不相交的三條直線可以確定_平面.解：不共線；四個；一個或兩個或三個.2、判斷下列命題真假（1）四邊相等且有一個內(nèi)角是直角的四邊形是正方形；（ ）（2）四點不共面，則其中任意三點不共線；（ ）（3）“平面不經(jīng)過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內(nèi)”；（ ）（4）兩個平面有三個共公

8、點，那么這兩個平面重合。（ ）（5）三個平面可以把空間分成四、六、七、八個部分；（ ）（6）過直線外一點向直線引垂線，有且只有一條；（ ）（7）異面直線a與c、b與c所成的角相等，則a與b平行或異面；（ ）（8）過空間任一點一定可以作一條直線與兩條異面直線都相交；（ ）解：´；Ö；Ö；´；Ö；´；´；´.3、下列各圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則PQ與SR一定是異面直線的是（ ）解：C4、下列一定在一個平面內(nèi)的圖形是 （ D ）A、垂直于同一直線的兩條直線 B、順次首尾相連的四條線段C、兩兩相交的三條直線 D、平行于同一直線的兩條直線5、下列兩條直線一定是異面直線的是 （ C ）A、分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線 B、沒有公共點的兩條直線 C、不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線D、同時和兩條異面直線相交的兩條直線6、互不重合的三個平面的交線可能有_條.解：0、1、2、3四種.7、已知ac，b與c不平行、 a與b不相交，求證：a,b是異面直線.證明：若ab，又ac，所以bc，與b不平行于矛盾.又a與b不相交，故a,b為異面直線.8、正方體ABCD-A¢B¢C¢D¢中，對角線A¢