垂直平分線與角平分線典型題

1、線段的垂直平分線與角平分線(1知識要點詳解1、線段垂直平分線的性質(zhì)(1垂直平分線性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等. 定理的數(shù)學(xué)表示:如圖1,已知直線m 與線段AB 垂直相交于點D ,且AD =BD ,若點C 在直線m 上,則AC =BC.定理的作用:證明兩條線段相等 (2線段關(guān)于它的垂直平分線對稱. 2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(1線段垂直平分線的逆定理: 到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.定理的數(shù)學(xué)表示:如圖2,已知直線m 與線段AB 垂直相交于點D ,且AD =BD ,若AC =BC ,則點C 在直線m 上.定理的作用:證明一個點在某線

2、段的垂直平分線上. 3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理 (1關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理:三角形三邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示:如圖3,若直線,i j k 分別是ABC 三邊AB 、BC 、CA 的垂直平分線,則直線,i j k 相交于一點O ,且OA =OB =OC.定理的作用:證明三角形內(nèi)的線段相等.(2三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系:若三角形是銳角三角形,則它三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部;若三角形是直角三角形,則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點;若三角形是鈍角三角形,則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部.反之,三角形

3、三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部,則該三角形是銳角三角形;三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的邊上,則該三角形是直角三角形;三角形三邊垂直平分線的圖1圖2交點在三角形外部,則該三角形是鈍角三角形.經(jīng)典例題:例1如圖1,在ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分線交AB于點D,交邊AC于點E,BCE的周長等于18cm,則AC的長等于( 針對性練習(xí): :1如圖,AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,如果EBC的周長是24cm,那么BC=2 如圖,AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,如果BC=8cm,那么EBC的周長是3如圖,AB=AC,AB的

4、垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,如果A=28度,那么EBC是例2. 已知:AB=AC,DB=DC,E是AD上一點,求證:BE=CE。針對性練習(xí):已知:在ABC中,ON是AB的垂直平分線,OA=OC求證:點O在BC的垂直平分線例3. 在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°,ABC的底角B的大小為_。針對性練習(xí):1. 在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°,則底角B的大小為_。BBACON例4、如圖8,已知AD 是ABC 的BC 邊上的高,且C =2B ,求證:BD =AC +CD. 證明:在B

5、D 上取一點E ,使DE =DC ,連接AE ,則AE =AC , 課堂練習(xí):2.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部, 那么,這個三角形是( D.等邊三角形 3.下列命題中正確的命題有( 線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等;線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等;經(jīng)過線段中點的直線只有一條;點P 在線段AB 外且PA =PB ,過P 作直線MN ,則MN 是線段AB 的垂直平分線;過線段上任一點可以作這條線段的中垂線. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4.ABC 中,AB 的垂直平分線交AC 于D ,如果AC =5 cm ,BC =4cm ,那么DBC 的周長是( A.6

6、 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 5.已知如圖,在ABC 中,AB =AC ,O 是ABC 內(nèi)一點,且OB =OC , 求證:AO B C.6.如圖,在ABC 中,AB =AC ,A =120°,AB 的垂直平分線 MN 分別交BC 、AB 于點M 、N . 求證:CM =2BM . 課后作業(yè):1. 如圖7,在ABC 中,AC =23,AB 的垂直平分線交AB 于點D ,交BC 于點E ,ACE 的周長為50,求BC 邊的長. 2. 已知:如圖所示,ACB ,ADB 都是直角,且AC=AD ,P 是AB 上任意一點,求證:CP=DP 。線段的垂直平分線與角平分線(2知

7、識要點詳解4、角平分線的性質(zhì)定理: 角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. 定理的數(shù)學(xué)表示:如圖4,已知OE 是AOB 的平分線,F 是OE 上一點,若CF OA 于點C ,DF OB 于點D ,則CF =DF.定理的作用:證明兩條線段相等;用于幾何作圖問題; 角是一個軸對稱圖形,它的對稱軸是角平分線所在的直線. 5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理:角平分線性質(zhì)定理的逆定理:在角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上. 定理的數(shù)學(xué)表示:如圖5,已知點P 在AOB 的內(nèi)部,且PC OA 于C ,PD OB 于D ,若PC =PD ,則點P 在AOB 的平分線上. 定

8、理的作用:用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線 注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系. 6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理:(1關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理: 三角形三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示:如圖6,如果AP 、BQ 、CR 分別是ABC 的內(nèi)角BAC 、ABC 、ACB 的平分線,那么: AP 、BQ 、CR 相交于一點I ; 若ID 、IE 、IF 分別垂直于BC 、CA 、AB 于點D 、E 、F ,則DI =EI =FI. 定理的作用:用于證明三角形內(nèi)的線段相等;用于實際中的幾何作圖問題. (2三角形三條角平分線的交點位置

9、與三角形形狀的關(guān)系:三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖:(1會作已知線段的垂直平分線; (2會作已知角的角平分線; (3會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.圖4 經(jīng)典例題:例1、 已知:如圖,點B 、C 在A 的兩邊上,且AB=AC ,P 為A 內(nèi)一點,PB=PC , PE AB ,PF AC ,垂足分別是E 、F 。求證:PE=PF 針對性練習(xí):已知: PA 、PC 分別是ABC 外角MAC 和NCA 平分線,它們交于P ,PD BM 于D ,PF BN 于F ,求證:BP 為MBN 的平分線。例2、如圖10,已知在直

10、角梯形ABCD 中,AB CD ,AB BC ,E 為BC 中點,連接AE 、DE ,DE 平分ADC ,求證:AE 平分BAD. 針對性練習(xí):如圖所示,AB=AC ,BD=CD ,DE AB 于E ,DF AC 于F ,求證:DE=DF 。例3、如圖11-1,已知在四邊形ABCD 中,對角線BD 平分ABC ,且BAD 與BCD 互補,求證:AD =CD. 圖10EE B DA C F課堂練習(xí)： 1. ABC 中，AB=AC，AC 的中垂線交 AB 于 E，EBC 的周長為 20cm，AB=2BC，則 腰長為_。 2. 如圖所示，AB/CD，O 為A、C 的平分線的交點，OEAC 于 E，且 OE=2，則 AB 與 CD 之間的距離等于_。 A B O E C D D E C 已知：如圖，B=C=900，DM 平分ADC， AM 平分DAB 。求證： M B=MC A M B 課后作業(yè)： 1.如右圖，