課題學習：最短路徑問題

1、八年級八年級 上冊上冊13.4 課題學習課題學習 最短路徑問題最短路徑問題如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條地有三條路可供選擇，你會選走哪條路路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？FEDCBA 兩點之間兩點之間,線段最短線段最短課件說明課件說明引言：引言： 前面我們研究過一些關于前面我們研究過一些關于 1、“兩點的所有連線中，線段最短兩點的所有連線中，線段最短” （兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短 ） 2、“連接直線外一點與直線上各點的所連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短有線段中，垂線段最短”等的問題等的問題 已知：如圖，已

2、知：如圖，A，B在直線在直線L的側，的側，在在L上求一點上求一點P，使得，使得PA+PB最小。最小。 A .A . .B .BP思考思考:為什么這樣為什么這樣就就能得到能得到最短距離呢？最短距離呢？根據(jù)：根據(jù)：兩點之間線段最短兩點之間線段最短.如圖，要在燃氣管道如圖，要在燃氣管道L L上修建一個泵站，分別上修建一個泵站，分別向向A A、B B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點所以泵站建在點P P可使輸氣管線最短可使輸氣管線最短應用ABl BP 點點P P的位置即為所求的位置即為所求. .M 作法：

3、作法： 作點作點B B關于直線關于直線l l的對稱點的對稱點B.B. 連接連接AB,AB,交直線交直線l l于點于點P.P.已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線在直線L L的同一側，在的同一側，在L L上上求一點，使得求一點，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 為什么這樣做就能得為什么這樣做就能得到最短距離呢？到最短距離呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之和大于第三邊比一比，誰想的最快：比一比，誰想的最快：問題問題1：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一

4、天，一位將軍專程拜負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：訪海倫，求教一個百思不得其解的問題： 從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？程最短？BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？ BAl將

5、將A，B 兩地抽象為兩個點，將河兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 BAl已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一內(nèi)部任意一點，在點，在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取上各取一點一點B，C，組成三角形，使三角形周，組成三角形，使三角形周長最小長最小.BCDE分析：分析：當當ABAB、BCBC和和ACAC三條邊三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最直線上時，三角形的周長最小小 問題問題2（造橋選址問題）如圖，（造橋選址問題）如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造

6、在何處才能使從，橋造在何處才能使從A到到B的的路徑路徑AMNB最短？最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）1.1.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條某班舉行晚會，桌子擺成兩直條( (如圖中的如圖中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上擺滿了桌面上擺滿了桔子，桔子，OBOB桌面上擺滿了糖果，坐在桌面上擺滿了糖果，坐在C C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設計一然后回到座位，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最條行走路線，使其所走的總路程最短？短？作法：作法：1.作點作點C關于直線關于直線

7、 OA 的的 對稱點點對稱點點D, 2. 作點作點C關于直線關于直線 OB 的對稱點點的對稱點點E,3.連接連接DE分別分別交直線交直線OA.OB于點M.N，則CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 2. 如圖：如圖：C為馬廄，為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。天的最短路線。作法：作法：1.作點作點C關于直線關于直線 OA 的的 對稱點點對稱點點F, 2. 作點作點D關于直線關于直線 OB 的對稱點點的對稱點點E, 3.連接連接EF分別交直線分別