惠州學(xué)院高等數(shù)學(xué)(下)期末試題參考答案

1、高等數(shù)學(xué)下期末試題參考答案一、單項(xiàng)選擇題每題2分，總計(jì)10分。1、fx(x°,y°)和 fy(x°, y°)存在是函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)(x°, y°)連續(xù)的。A. 必要非充分的條件；B.充分非必要的條件；C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。A.3、設(shè) u ln( x8y y2 z2)，那么 div(grad u)=。B. px3、設(shè)D是xoy面上以(1,1), ( 1,1), ( 1, 1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，Di是D中在第 一象限的局部，那么積分(x1、 函數(shù)f (x, y) 2x2 ax xy2 2y在點(diǎn)(1,

2、 1)處取得極值，那么常數(shù)a =。2、 假設(shè)曲面x2 2y2 3z2 21的切平面平行于平面x 4y 6z 25 0,那么切點(diǎn) 坐標(biāo)為。3、 二重積分 ：dy ：ye "dx的值為。y cos3 xsin y)d =DA. 2 cos3 xsinyd；B. 2x3yd ；C. 4 (x3ycos3 xsin y)d ；D1D1D14、設(shè)為曲面x2 y2R2 (R0)上的0z 1局部,2 2貝U ex4、1 ； 5、 y C y sin(x2 y2)dS=。A.0 ；B.R2Re sin R； C.4 R ；R2D. 2 Re sin R5、設(shè)二階線性非齊次方程y p(x)y q(x)

3、y f (x)有三個(gè)特解 x，y? ex， y3 e2x，那么其通解為。A. x C1ex C2e2x;B.Gx C2ex C3e2x ；C. x C1(ex e2x) C2 (x ex) ； D.C1(ex e2x) C2(e2x x)二、填空題每題 3 分，總計(jì)15 分。1、-5 ; 2、( 1, 2, 2) ； 3、- (1 e 1)；64、設(shè)空間立體 所占閉區(qū)域?yàn)閤 y z 1, x 0, y 0, 上任一點(diǎn)的體密度是(x, y, z) x y z，那么此空間立體的質(zhì)量為 。5、微分方程y的通解為。x y三、計(jì)算題每題7分，總計(jì)3 5分。1、 f (x, y, z) 2xy z2 及點(diǎn)

4、 A(2,1,1)、B(3, 1,1)，求函數(shù) f(x, y, z)在點(diǎn) A處沿由A到B方向的方向?qū)?shù)，并求此函數(shù)在點(diǎn)A處方向?qū)?shù)的最大值。22、設(shè)z f (x y, xy)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求 一z。x y33、將函數(shù)f(x) 展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，并指出收斂域。2 x xy(x)滿足方程y 3y 2y 2ex ,且其圖形在點(diǎn)(0,1)與曲線y x2 x1相切，求函數(shù)y(x)。5、計(jì)算hS2，其中L是螺旋線xl x y z8 cost, y 8 si nt,z t對(duì)應(yīng)0 t 2的弧段。四、計(jì)算題每題7分，總計(jì)3 5分設(shè)a0，計(jì)算極限lim (丄-na22 a33nn)的值。aa計(jì)算zdv，其

5、中由不等式zx2y2 及 1 x2計(jì)算axdydz (za)2dxdy其中為下半球面zo1、2、3、y21 2 2 2.x y z. a2 x2 y2的下側(cè),z24所確定。a為大于零的常數(shù)。4、將函數(shù)f(x)(1 x 1)展開(kāi)成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)。5、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且滿足f(1)3，計(jì)算曲線積分L(y f 2(x) x)dx (x2 f (x) y)dy的值，假定此積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，曲線L是由(1, 2)到(2, 1)的任一條逐段光滑曲線。五、此題5分對(duì)p o,討論級(jí)數(shù)(1) 1的斂散性。n m p一、 單項(xiàng)選擇題每題2分，總計(jì)10分。1、D; 2、E; 3、A;

6、4、D; 5、C二、填空題每題3分，總計(jì)15分。11x1、-5 ; 2、( 1, 2, 2) ； 3、一 (1 e 1); 4、一 ； 5、y C68y三、計(jì)算題每題7分，總計(jì)3 5分。1、 f (x, y, z) 2xy z2 及點(diǎn) A(2,1,1)、B(3, 1,1)，求函數(shù) f (x, y, z)在點(diǎn) A處沿由A到B方向的方向?qū)?shù)，并求此函數(shù)在點(diǎn)A處方向?qū)?shù)的最大值。解：由條件得2ZAB 1,2, 2AB03,3,1cos ,cos32,cos3 cos32,cos , cos 從而-lcos x-cos y10cos=zA(2, 1,1)3點(diǎn)A的梯度方向是Igrad f a 2y,2x

7、, 2z a 2,4, 2所以方向?qū)?shù)的最大值是r.、224222. 242、. 62z。x y2、設(shè)z f (x y, xy)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求解：一z f1yf2,zf1xf2xy2zzf1f 2-f1yf2yf2x yy xyyy(fnXf12)y(f21Xf22)f2f11(x y) f12xyf22f2、311111f (x)2解:2 x x21x2x1x21 x/2nnn1n x(1)nx(1)1n 1 xn02n02n02收斂域?yàn)?1,1)。4、設(shè)y y(x)滿足方程y3y 2y 2ex ,且其圖形在點(diǎn)(0,1)與曲線2y x x 1相切，求函數(shù)y(x)。解：由條件知y y

8、(x)滿足y(0)1, y (0)1由特征方程r2 3r 20設(shè)特解為y*Axex，其中A為待定常數(shù)，代入方程，得 A 22xex從而得通解y6ex C2e2x 2xex,代入初始條件得0 1,C2最后得y(x)(1 2x)ex5、計(jì)算2，其中L是螺旋線xl x y z8 cost,8 sin t,t對(duì)應(yīng)0的弧段。解：ds . xt2 yt2 zt2dt、65dt2 ds_265lx y z0四、計(jì)算題每題7分，總計(jì)3 5分dt2282 t2658arctant86581、設(shè)a 0，計(jì)算極限lim (丄2- a a斗)的值。an解：設(shè)s(x)nnxn 11)，那么原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求和函數(shù)在1丄處的

9、值a而 s(x) xnnnx1(xn)1x(xn) x(xxn 1)n 1n 1x(1 x)2故所求值為a(a 1)2r11, r22,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解YCexC2e2x2、計(jì)算zdv，其中由不等式zx2y2 z24所確定。解:2zdv d04d022 .r cos r sin1dr72 sin0cos2r 3dr14sin2 d2 2。21 415r4183、計(jì)算 axdydz (za)2 dxdy222.x y za為大于零的常數(shù)。其中為下半球面za2x2y2的下側(cè),解：取xoy為xoy面上的圓盤(pán)x2a2，方向取上側(cè),2axdydz (z a) dxdy 1x y2 z2aaxdydz(

10、za)2dxdyaxdydz (zxoya)2dxdyaxdydzxoy(za)2 dxdy(2z3a)dva2 dxdyDxya2 .r cos r sin023a3a3a2a24 cossinar3dr0413aa24、將函數(shù)f(x)1)展開(kāi)成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)。解：所給函數(shù)在1,1上滿足收斂定理?xiàng)l件，并且，將之拓廣成以2為周期的函1,1內(nèi)收斂于函數(shù)本身。0(n1,2,)數(shù)時(shí)，它在整個(gè)實(shí)軸上均連續(xù)，因此其付立葉級(jí)數(shù)在 1 1 2 ( 1)n 1 a0 2 xdx 1， an 2 xcosn xdx 22， bn00nf(x) 1 弓亠Jcosn x ( 1 x 1)n 1n25、設(shè)函數(shù)

11、f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且滿足f(1)3，計(jì)算曲線積分L(yf2(x) x)dx (x2f(x) y)dy的值，假定此積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),曲線L是由(1,2)到(2,1)的任一條逐段光滑曲線解：由條件有一 x2 f (x)y2yf (x) x2xfxy設(shè)zf1,那么得z2 1Z2xxf 11 z3x代入條件得C 0x2fCxf (x) 3x，從而原積分變?yōu)長(zhǎng)(yf2(x) x)dx (x2f(x) y)dyL9x2ydx 3x3dy五、此題5分。9(31(x, y) x22fx23l(9x y x)dx (3x y)dy2x)x2 3x3 dx27x2 12x3dx 181y21 , u(x, y)與v(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn) v(x,