主成分分析及matlab實現(xiàn)（課堂PPT）

1、1 主成分分析 主成分分析的基本原理 主成分分析的計算步驟 主成分分析方法應用實例 2 在實際問題研究中，多變量問題是經(jīng)常在實際問題研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復雜性，而且在許多實際問題中，的難度與復雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。多個變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此，人們會很自然地想到，能否在相因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡較多的舊變量，而且使這些較少的新變量

2、盡可能多地保留原來變量所反映的信息？可能多地保留原來變量所反映的信息？ 問題的提出問題的提出：3 事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。的工具。 主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法。個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法。 從數(shù)學角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。從數(shù)學角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。 4 n例如，某人要做一件上衣要測量很多尺寸，如例如，某人要做一件上衣要測量很多尺寸，如身長、袖長、胸圍、腰圍、肩寬、肩厚

3、等十幾身長、袖長、胸圍、腰圍、肩寬、肩厚等十幾項指標，但某服裝廠要生產(chǎn)一批新型服裝絕不項指標，但某服裝廠要生產(chǎn)一批新型服裝絕不可能把尺寸的型號分得過多可能把尺寸的型號分得過多 ？而是從多種指？而是從多種指標中綜合成幾個少數(shù)的綜合指標，做為分類的標中綜合成幾個少數(shù)的綜合指標，做為分類的型號，利用主成分分析將十幾項指標綜合成型號，利用主成分分析將十幾項指標綜合成3項指標，一項是反映長度的指標，一項是反映項指標，一項是反映長度的指標，一項是反映胖瘦的指標，一項是反映特體的指標。胖瘦的指標，一項是反映特體的指標。5一、主成分分析的基本原理 假定有假定有n個樣本，每個樣本共有個樣本，每個樣本共有p p個

4、變量，個變量，構(gòu)成一個構(gòu)成一個np階的數(shù)據(jù)矩陣階的數(shù)據(jù)矩陣npnnppxxxxxxxxxX212222111211（1.1） 6 當當p較大時，在較大時，在p維空間中考察問題比較麻維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，即用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量即用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。它們之間又是彼此獨立的。7 定義：記定義：記x1，

5、x2，xP為原變量指標，為原變量指標，z1，z2，zm（mp）為新變量指標）為新變量指標111 11221221 122221 122221.1ppppmmmmppiipzl xl xl xzl xl xlxzl xlxlxll(1.2) 系數(shù)系數(shù)lij的確定原則：的確定原則： zi與與zj（ij；i，j=1，2，m）相）相互無關(guān)；互無關(guān)；8 z1是是x1，x2，xP的一切線性組合的一切線性組合中方差最大者，中方差最大者，z2是與是與z1不相關(guān)的不相關(guān)的x1，x2，xP的所有線性組合中方差最大者的所有線性組合中方差最大者; zm是與是與z1，z2，zm1都不相關(guān)的都不相關(guān)的x1，x2，xP，

6、的所有線性組合中方差最大者。的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標則新變量指標z1，z2，zm分別稱為原分別稱為原變量指標變量指標x1，x2，xP的第的第1，第，第2，第，第m主成分。主成分。 9 從以上的分析可以看出，主成分分析的從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ， p）在諸主成分在諸主成分zi（i=1，2，m）上的荷載）上的荷載 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。）。 從數(shù)學上可以證明，它們分別是相關(guān)矩從數(shù)學上可以證明，它們分別是相關(guān)矩陣陣m個較大的特征值所對應的特征向量。個較大的特征值所對應的特征向量。 10二、

7、主成分分析的計算步驟二、主成分分析的計算步驟 設(shè)有設(shè)有 n 個樣品，每個樣品觀測個樣品，每個樣品觀測 p 個指標，將個指標，將原始數(shù)據(jù)寫成矩陣原始數(shù)據(jù)寫成矩陣1將原始數(shù)據(jù)標準化。這里不妨設(shè)上邊矩陣已將原始數(shù)據(jù)標準化。這里不妨設(shè)上邊矩陣已標準化了。標準化了。 2建立變量的相關(guān)系數(shù)陣：建立變量的相關(guān)系數(shù)陣：12211()()()()nkiikjjkijnnkiikjjkkxxxxrxxxx113求求R的特征根的特征根及相應的單位特征向量：及相應的單位特征向量：4寫出主成分寫出主成分12 計算主成分貢獻率及累計貢獻率計算主成分貢獻率及累計貢獻率 貢獻率貢獻率累計貢獻率累計貢獻率 ),2, 1(1pi

8、pkki),2, 1(11pipkkikk 一般取累計貢獻率達一般取累計貢獻率達85%95%的特征值的特征值所對應的第所對應的第1 1、第、第2 2、第、第m（mp）個主成分。）個主成分。 m,2113三、 實例演示 例例 對全國對全國30個省市自治區(qū)經(jīng)濟發(fā)展基個省市自治區(qū)經(jīng)濟發(fā)展基本情況的八項指標作主成分分析，原始本情況的八項指標作主成分分析，原始數(shù)據(jù)如下：數(shù)據(jù)如下：14151617第一步第一步 將原始數(shù)據(jù)標準化。將原始數(shù)據(jù)標準化。第二步第二步 建立指標之間的相關(guān)系數(shù)陣建立指標之間的相關(guān)系數(shù)陣R如下如下18第三步第三步 求求R的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。19 從上表看，前從上表看

9、，前3個特征值累計貢獻率已達個特征值累計貢獻率已達89564，說明前說明前3個主成分基本包含了全部指標具有的信息，我們個主成分基本包含了全部指標具有的信息，我們?nèi)∏叭∏?個特征值，并計算出相應的特征向量：個特征值，并計算出相應的特征向量：20因而前三個主成分為：因而前三個主成分為：第一主成分：第一主成分：第二主成分：第二主成分：212346780.1079950.2585120.2875360.4009310.40431 50.4988010.488680.167392FXXXXXXXX21第三主成分：第三主成分： 在第一主成分的表達式中第一、二、三項指標的系數(shù)在第一主成分的表達式中第一、二、

10、三項指標的系數(shù)較大，這三個指標起主要作用，我們可以把第一王成分看較大，這三個指標起主要作用，我們可以把第一王成分看成是由國內(nèi)生產(chǎn)總值、固定資產(chǎn)投資和居民消費水平所該成是由國內(nèi)生產(chǎn)總值、固定資產(chǎn)投資和居民消費水平所該劃的反映經(jīng)濟發(fā)展狀況的綜合指標；劃的反映經(jīng)濟發(fā)展狀況的綜合指標； 在第二主成分中，第四、五、六、七項指標的影響在第二主成分中，第四、五、六、七項指標的影響大，且第六、七項指標的影響尤其大，可將之看成是反映大，且第六、七項指標的影響尤其大，可將之看成是反映物價指數(shù)、職工工資和貨物周轉(zhuǎn)量的綜合指標；物價指數(shù)、職工工資和貨物周轉(zhuǎn)量的綜合指標； 在第三主成分中，第八項指數(shù)影響最大，遠超過其它

11、在第三主成分中，第八項指數(shù)影響最大，遠超過其它指標的影響，可單獨看成是工業(yè)總產(chǎn)值的影響。指標的影響，可單獨看成是工業(yè)總產(chǎn)值的影響。22四四.主成分分析的應用主成分分析的應用n1.主成分分析用于系統(tǒng)評估主成分分析用于系統(tǒng)評估 利用主成分利用主成分F1，F(xiàn)p做線性組合，并以做線性組合，并以每個主成分每個主成分 Fi 的方差貢獻率的方差貢獻率 作為權(quán)數(shù)作為權(quán)數(shù)構(gòu)造一個綜合評價函數(shù)：構(gòu)造一個綜合評價函數(shù)： 也稱也稱 y 為評估指數(shù)，依據(jù)對每個系統(tǒng)計算為評估指數(shù)，依據(jù)對每個系統(tǒng)計算出的出的 y 值大小進行排序比較或分類劃級。值大小進行排序比較或分類劃級。23例1. 城市環(huán)境生態(tài)化是城市發(fā)展的必然趁勢，表

12、現(xiàn)為城市環(huán)境生態(tài)化是城市發(fā)展的必然趁勢，表現(xiàn)為社會、經(jīng)濟、環(huán)境與生態(tài)全方位的現(xiàn)代化水平，一個社會、經(jīng)濟、環(huán)境與生態(tài)全方位的現(xiàn)代化水平，一個符合生態(tài)規(guī)律的生態(tài)城市應該是結(jié)構(gòu)合理、功能高效符合生態(tài)規(guī)律的生態(tài)城市應該是結(jié)構(gòu)合理、功能高效和關(guān)系協(xié)調(diào)的城市生態(tài)系統(tǒng)。所謂結(jié)構(gòu)合理是指適度和關(guān)系協(xié)調(diào)的城市生態(tài)系統(tǒng)。所謂結(jié)構(gòu)合理是指適度的人口密度，合理的土地利用，良好的環(huán)境質(zhì)量，充的人口密度，合理的土地利用，良好的環(huán)境質(zhì)量，充足的綠地系統(tǒng)，完善的基礎(chǔ)設(shè)施，有效的自然保護；足的綠地系統(tǒng)，完善的基礎(chǔ)設(shè)施，有效的自然保護；功能高效是指資源的優(yōu)化配置、物力的經(jīng)濟投入、人功能高效是指資源的優(yōu)化配置、物力的經(jīng)濟投入、人力

13、的充分發(fā)揮、物流的暢通有序、信息流的快捷；關(guān)力的充分發(fā)揮、物流的暢通有序、信息流的快捷；關(guān)系協(xié)調(diào)是指人和自然協(xié)調(diào)、社會關(guān)系協(xié)調(diào)、城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)、系協(xié)調(diào)是指人和自然協(xié)調(diào)、社會關(guān)系協(xié)調(diào)、城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)、資源利用和更新協(xié)調(diào)。一個城市要實現(xiàn)生態(tài)城市的發(fā)資源利用和更新協(xié)調(diào)。一個城市要實現(xiàn)生態(tài)城市的發(fā)展目標，關(guān)鍵是在市場經(jīng)濟的體制下逐步改善城市的展目標，關(guān)鍵是在市場經(jīng)濟的體制下逐步改善城市的生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，防止生態(tài)環(huán)境質(zhì)量惡化，因此，對城生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，防止生態(tài)環(huán)境質(zhì)量惡化，因此，對城市的生態(tài)環(huán)境水平調(diào)查評價很有必要。市的生態(tài)環(huán)境水平調(diào)查評價很有必要。24 我們對江蘇省十個城市的生態(tài)環(huán)境狀況進行了調(diào)查，得到生我們對江蘇省

14、十個城市的生態(tài)環(huán)境狀況進行了調(diào)查，得到生態(tài)環(huán)境指標的指數(shù)值，見表態(tài)環(huán)境指標的指數(shù)值，見表1?，F(xiàn)對生態(tài)環(huán)境水平分析和評?，F(xiàn)對生態(tài)環(huán)境水平分析和評價價。2526利用Matlab中的princomp命令實現(xiàn)。具體程序如下X= 0.7883 0 .7391 0.8111 0.6587 0.6543 0.8259 0.8486 0.6834 0.8495 0.7846 0.7633 0.7287 0.7629 0.8552 0.7564 0.7455 0.7800 0.9490 0.8918 0.8954 0.4745 0.5126 0.8810 0.8903 0.8288 0.7850 0.8032

15、0.8862 0.3987 0.3970 0.8246 0.7603 0.6888 0.8977 0.7926 0.7856 0.6509 0.8902 0.6799 0.9877 0.8791 0.8736 0.8183 0.9446 0.9202 0.9263 0.9185 0.9505 0.8620 0.8873 0.9538 0.9257 0.9285 0.9434 0.9154 0.8871 0.9357 0.8760 0.9579 0.9741 0.8785 0.8542 0.8537 0.9027 0.8729 0.8485 0.8473 0.9044 0.8866 0.9035

16、 0.6305 0.6187 0.6313 0.7415 0.6398 0.6142 0.5734 0.8980 0.6186 0.7382 0.8928 0.7831 0.5608 0.8419 0.8464 0.7616 0.8234 0.6384 0.9604 0.8514;2728這樣，前三個主成分為 第一主成分貢獻率為43.12，第二主成分貢獻率為29.34，第三主成分貢獻率為11.97，前三個主成分累計貢獻率達84.24。 如果按80 以上的信息量選取新因子，則可以選取前三個新因子。第一新因子z1 包含的信息量最大為43.12，它的主要代表變量為X8(城市文明)、X7(生產(chǎn)效率)、

17、X4 (城市綠化)，其權(quán)重系數(shù)分別為0.4815、0.4236、0.4048，反映了這三個變量與生態(tài)環(huán)境水平密切相關(guān)，第二新因子Z229 包含的信息量次之為29.34，它的主要代表變量為X3(地理結(jié)構(gòu))、X6(資源配置)、X9 (可持續(xù)性)，其權(quán)重系數(shù)分別為0.5299、0.5273、0.4589，第三新因子 Z3包含的信息量為11.97，代表總量為 X9(可持續(xù)性)、 X5(物質(zhì)還原)，權(quán)重系數(shù)分別為0.5933、0.5664。這些代表變量反映了各自對該新因子作用的大小，它們是生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)中最重要的影響因素。 根據(jù)前三個主成分得分，用其貢獻率加權(quán)，即得十個城市各自的總得分 根據(jù)總得分排序，結(jié)

18、果見表1。30n2.主成分回歸 考察進口總額Y與三個自變量：國內(nèi)總產(chǎn)值x1,存儲量x2，總消費量x3之間的關(guān)系，現(xiàn)收集數(shù)據(jù)如下，試用主成分回歸分析方法求進口總額與總產(chǎn)值、存儲量和總消費量的定量關(guān)系式.序號 x1 x2 x3 Y1234567891011149.3161.2171.5175.5180.8190.7202.1212.4226.1231.9239.04.24.13.13.11.12.22.15.65.05.10.7108.1114.8123.2126.9132.1137.7146.0154.1162.3164.3167.615.916.419.019.118.820.422.726.528.127.626.331 n分析：本題目可先嘗試一般的線性回歸模型，但擬合的效果一般，故可嘗試主成分回歸分析方法n解：首先對各個變量數(shù)據(jù)進行標準化處理，其次，其次， 建立指標之間的相關(guān)系數(shù)陣并求出建立指標之間的相關(guān)系數(shù)陣并求出相關(guān)陣的特征值分別為：相關(guān)陣的