高等代數(shù)(北大版)第7章習(xí)題參考答案

1、第七章 線性變換1  判別下面所定義的變換那些是線性的，那些不是：1）  在線性空間V中，A,其中V是一固定的向量；2）  在線性空間V中，A其中V是一固定的向量；3）  在P中，A；4）  在P中，A；5）  在P中，A ；6）  在P中，A其中P是一固定的數(shù)；7）  把復(fù)數(shù)域上看作復(fù)數(shù)域上的線性空間， A。8）  在P中，AX=BXC其中B,CP是兩個固定的矩陣.解 1)當(dāng)時,是;當(dāng)時,不是。2)當(dāng)時,是;當(dāng)時,不是。3)不是.例如當(dāng),時,A, A,A A(。4)是.因取,有A= A = = = A+

2、 A，A A = A，故A是P上的線性變換。5) 是.因任取,并令則A= A=A+ A， 再令則A AA，故A為上的線性變換。6)是.因任取則.A=AA，AA。7)不是，例如取a=1,k=I，則A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩陣，則A(A+A，A(k)=A，故A是上的線性變換。2.在幾何空間中,取直角坐標(biāo)系oxy,以A表示將空間繞ox軸由oy向oz方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以B表示繞oy軸向ox方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以C表示繞oz軸由ox向oy方向旋轉(zhuǎn)90度的變換，證明：A=B=C=E,ABBA,AB=BA，并檢驗(AB)=AB是否成立。解 任取一向

3、量a=(x,y,z)，則有1) 因為Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)，所以A=B=C=E。2) 因為AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以ABBA。3)因為AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以

4、AB=BA。4)因為(AB)(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)AB。3.在Px 中，AB，證明:AB-BA=E。證 任取Px，則有(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=所以 AB-BA=E。4.設(shè)A,B是線性變換，如果AB-BA=E，證明：AB-BA=A (k>1)。證 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)k=2時AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，結(jié)論成立。歸納假設(shè)時結(jié)論成立，即AB-BA=A。則當(dāng)時，有AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-B

5、A)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。即時結(jié)論成立.故對一切結(jié)論成立。5.證明：可逆變換是雙射。證 設(shè)A是可逆變換，它的逆變換為A。若ab，則必有AaAb，不然設(shè)Aa=Ab，兩邊左乘A，有a=b，這與條件矛盾。其次，對任一向量b，必有a使Aa=b，事實上,令A(yù)b=a即可。因此,A是一個雙射。6.設(shè),是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換。證明：A是可逆變換當(dāng)且僅當(dāng)A,A,A線性無關(guān)。證 因A(,)=(A,A,A)=(,)A，故A可逆的充要條件是矩陣A可逆，而矩陣A可逆的充要條件是A,A,A線性無關(guān)，故A可逆的充要條件是A,A,A線性無關(guān).。7.求下列線性變換在所指定基下的

6、矩陣:1) 第1題4)中變換A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩陣；2) o; ,是平面上一直角坐標(biāo)系,A是平面上的向量對第一和第三象限角的平分線的垂直投影,B是平面上的向量對的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩陣；3) 在空間Px中，設(shè)變換A為，試求A在基= (I=1,2,n-1)下的矩陣A；4) 六個函數(shù) =ecos,=esin，=ecos,=esin，=ecos,=esin，的所有實數(shù)線性組合構(gòu)成實數(shù)域上一個六維線性空間，求微分變換D在基(i=1,2,6)下的矩陣；5) 已知P中線性變換A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩陣是

7、，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩陣；6) 在P中，A定義如下：，其中，求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩陣；7) 同上，求A在,下的矩陣。解 1) A=(2,0,1)=2+，A=(-1,1,0)=-+，A=(0,1,0)= ，故在基,，下的矩陣為。2）取=（1，0），=（0，1），則A=+，A=+，故A在基，下的矩陣為A=。又因為B=0，B=，所以B在基，下的矩陣為B=，另外，（AB）=A（B）=A=+，所以AB在基，下的矩陣為AB=。3）因為 ，所以A，A，A=，所以A在基,下的矩陣為A=。4）因為 D=a-b,D=b-a,，

8、D=+a-b,D=+b+a,D=+a-b,D=+b+a，所以D在給定基下的矩陣為D=。5）因為(,)=(,，)，所以(,，)=(,)=(,)X，故A在基,，下的矩陣為B=XAX=。6）因為(,)=(,，)，所以A(,)=A(,，),但已知A(,)=(,，)，故A(,，)=(,，)=(,，)=(,，)。7）因為(,，)=(,)，所以A(,)=(,)=(,)。8在P中定義線性變換A(X)=X, A(X)=X, A(X)= X, 求A, A, A在基E, E, E, E下的矩陣。解 因 AE=a E+cE, AE=a E+c E,AE=bE+dE, AE= bE+d E,故A在基E, E, E, E

9、下的矩陣為A=。又因AE=a E+b E, AE= cE+dE,AE= aE+bE, AE= cE+d E,故A在基E, E, E, E下的矩陣為A=。又因AE= aE+abE+acE+bcE，AE= acE+adE+cE+cdE，AE= abE+bE+adE+bdE，AE = bcE+bdE+cdE+dE，故A在基E, E, E, E下的矩陣為。9.設(shè)三維線性空間V上的線性變換A在基下的矩陣為A=，1) 求A在基下的矩陣；2) 求A在基下的矩陣，其中且；3) 求A在基下的矩陣。解 1)因A=+a， A=， A=，故A在基下的矩陣為。2)因 A=+， A(k)=+， A=+()+，故A在下的矩

10、陣為 。3)因 A()=()()+()+()，A=()+()+，A=()+()+，故A基下的矩陣為。10. 設(shè)A是線性空間V上的線性變換，如果A0,但A=0，求證：,A, A(>0)線性無關(guān)。證 設(shè)有線性關(guān)系，用A作用于上式,得 A=0(因A對一切n均成立)，又因為A0,所以,于是有，再用A作用之,得 A=0.再由,可得=0.同理,繼續(xù)作用下去,便可得 ,即證,A, A(>0)線性無關(guān)。11.在n維線性空間中，設(shè)有線性變換A與向量使得A，求證A在某組下的矩陣是 。證 由上題知, ,A,A, A線性無關(guān)，故,A,A, A為線性空間V的一組基。又因為A A+ A，A(A)=+ A+ A

11、+ A，A（A）=+ A+ A + A ，故A在這組基下的矩陣為 。12 設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，證明：與V的全體線性變換可以交換的線性變換是數(shù)乘變換。 證 因為在某組確定的基下，線性變換與n級方陣的對應(yīng)是雙射，而與一切n級方陣可交換的方陣必為數(shù)量矩陣kE，從而與一切線性變換可交換的線性變換必為數(shù)乘變換K。13. A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換，證明：如果A在任意一組基下的矩陣都相同，那么是數(shù)乘變換。證設(shè)A在基下的矩陣為A=()，只要證明A為數(shù)量矩陣即可。設(shè)X為任一非退化方陣，且 ()=()X，則也是V的一組基，且A在這組基下的矩陣是，從而有AX=XA，這說明A與一切非退化矩陣可

12、交換。若取，則由A=A知=0(ij)，即得A=，再取=由A=A，可得 。故A為數(shù)量矩陣，從而A為數(shù)乘變換。14.設(shè),是四維線性空間V的一組基，已知線性變換A在這組基下的矩陣為，1) 求A在基,下 的矩陣；2) 求A的核與值域；3) 在A的核中選一組基,把它擴充為V的一組基,并求A在這組基下的矩陣；4) 在A的值域中選一組基, 把它擴充為V的一組基, 并求A在這組基下的矩陣。解 1)由題設(shè),知 ()=(,)，故A在基下的矩陣為B=。2) 先求A(0).設(shè) A(0)，它在,下的坐標(biāo)為(,)，且A在,下的坐標(biāo)為(0,0,0,0,)，則=。因rank(A)=2，故由 ，可求得基礎(chǔ)解系為X=,X=。若令

13、=(,)X，=(,)X，則即為A(0)的一組基，所以 A(0)=。再求A的值域AV。因為A=，A=，A=，A=，rank(A)=2，故A ,A, A, A的秩也為2，且A ,A線性無關(guān)，故A ,A可組成AV的基，從而AV=L(A ,A)。4) 由2)知是A(0)的一組基，且知, 是V的一組基，又(, a, a)=(,)，故A在基, 下的矩陣為B= =。4) 由2)知A=, A=易知A, A,是V的一組基，且(A, A,)=(,)，故A在基A, A,下的矩陣為C=。15. 給定P的兩組基 ，定義線性變換A: A=(=1,2,3)，1) 寫出由基到基的過度矩陣；2) 寫出在基下的矩陣；3) 寫出在

14、基下的矩陣。解 1)由()=()X，引入P的一組基=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)，則()=(,)=(,)A，所以 ()=(,)=(,)B=(,)AB，故由基到基的過度矩陣為X= AB=。2)因 A()=()=()，故A在基下的矩陣為A=。4) 因A()=A()X=()X，故A在基下的矩陣仍為X.。16.證明與相似，其中()是1,2,的一個排列。證 設(shè)有線性變換A，使 A=D，則A(,)=(,)=(,)D，于是D與D為同一線性變換A在兩組不同基下的矩陣,故與相似。17.如果A可逆,證明AB與BA相似。證 因A可逆,故A存在，從而A(AB)A=( AA)BA=BA，所以A

15、B與BA相似。18.如果A與B相似，C與D相似，證明：。證 由已知，可設(shè)B=XAX, D=YCY，則=，這里=，故與相似。19.求復(fù)數(shù)域上線性變換空間V的線性變換A的特征值與特征向量.已知A在一組基下的矩陣為：1)A= 2)A= 3)A= 4)A=5)A= 6)A= 7)A=解 1)設(shè)A在給定基,下的矩陣為A，且A的特征多項式為=-5-14=()()，故A的特征值為7，-2。先求屬于特征值=7的特征向量。解方程組，它的基礎(chǔ)解系為，因此A的屬于特征值7的全部特征向量為k (k)，其中=+。再解方程組，它的基礎(chǔ)解系為，因此A的屬于特征值-2的全部特征響向量為k(k)，其中=4-5。2)設(shè)A在給定基

16、,下的矩陣為A，且當(dāng)a=0時，有A=0，所以=，故A的特征值為=0。解方程組，它的基礎(chǔ)解系為,，因此A的屬于特征值0的兩個線性無關(guān)特征向量為=，=，故A以V的任一非零向量為其特征向量。當(dāng)a0時，=+=()()，故A 的特征值為=， = -。當(dāng)=時，方程組的基礎(chǔ)解系為，故A 的屬于特征值的全部特征向量為k(k)，其中=-+。當(dāng)= -時，方程組的基礎(chǔ)解系為，故A 的屬于特征值-的全部特征向量為 (k)，其中=+。3)設(shè)A在 給定基,下的矩陣為A，因為=()()，故A的特征值為=。當(dāng)時,相應(yīng)特征方程組的基礎(chǔ)解系為X，故A 的屬于特征值2的全部特征向量為 + (k不全為零)，其中=+，=+，=+。當(dāng)時

17、，特征方程組的基礎(chǔ)解系為X，故A 的屬于特征值-2的全部特征向量為 (k)，其中=-。4） 設(shè)A 在給定基下的矩陣為A，因=()()()，故A的特征值為=2，=1+，1-。當(dāng)=2時, 方程組的基礎(chǔ)解系為，故A 的屬于特征值2的全部特征向量為 (k)，其中=-。當(dāng)=1+時, 方程組的基礎(chǔ)解系為，故A 的屬于特征值1+的全部特征向量為 (k)，其中=-+(2)。當(dāng)=1-時, 方程組的基礎(chǔ)解系為，故A 的屬于特征值1的全部特征向量為 (k)，其中=-+(2)。5) 設(shè)A 在給定基下的矩陣為A，因=()()，故A的特征值為。當(dāng)，方程組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值1的全部特征向量為，其中,。當(dāng)時，方程

18、組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值-1的全部特征向量為，其中。6) 設(shè)A 在給定基下的矩陣為A，因=，故A的特征值為。當(dāng)時，方程組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值0的全部特征向量為，其中。當(dāng)時，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值的全部特征向量為，其中。當(dāng)時，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值的全部特征向量為，其中。7) 設(shè)A 在給定基下的矩陣為A，因=()()，故A的特征值為。當(dāng)，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值1的全部特征向量為，其中。當(dāng)，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故A的屬于特征值-2的全部特征向量為，其中。20.在上題中,哪些變換的矩陣可以在適當(dāng)?shù)幕伦兂蓪切?在可

19、以化成對角形的情況下，寫出相應(yīng)的基變換的過度矩陣T，并驗算TAT。解 已知線形變換A 在某一組基下為對角形的充要條件是有n個線形無關(guān)的特征向量,故上題中1)6)可以化成對角形,而7)不能.下面分別求過渡矩陣T。1) 因為() ，所以過渡矩陣T=，TAT=。，T=，TAT=。3)因為()=()，過渡矩陣T=，TAT=。4)因為(=(，過渡矩陣T=，T。5)因為 (=()，過渡矩陣 T=，。6)因為 (,即過渡矩陣為 T=,且T。21.在Px(n>1)中,求微分變換D的特征多項式，并證明D在任何一組基下的矩陣都不可能是對角陣。解 取Px的一組基1,x,，則D在此基下的矩陣為D=，從而，故D的

20、特征值是重)，且D的屬于特征值0的特征向量只能是非零常數(shù)。從而線性無關(guān)的特征向量個數(shù)是1，它小于空間的維數(shù)n，故D在任一組基下的矩陣都不可能是對角形。22.設(shè) A=，求A。 解:因為(，故A的特征值為，且A的屬于特征值1的一個特征向量為X，A的屬于特征值5的一個特征向量為X，A的屬于特征值-5 的一個特征向量為X 。于是只要記T=(X，則 T，且 B。于是A = 。23.設(shè)是四維線性空間V的一個基,線性變換A在這組基下的矩陣為 A。1) 求A的基，下的矩陣；2) 求A的特征值與特征向量；3) 求一可逆矩陣T,使T成對角形。解 1)由已知得(，故求得A在基下的矩陣為B=X。2) A的特征多項式為

21、， 所以A的特征值為。 A的屬于特征值的全部特征向量為，其中不全為零，且 。 A的屬于特征值的全部特征向量為，其中，且 +6。 A的屬于特征值的全部特征向量為,其中，且。3）因為（， 所求可逆陣為 T=，且 T為對角矩陣。24.1)設(shè)是線性變換A的兩個不同特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是A的特征向量；2)證明:如果線性空間V的線性變換A以V中每個非零向量作為它的特征向量，那么A是數(shù)乘變換。證 1)由題設(shè)知A, A, 且，若是A的特征向量，則存在使A（）=，A（）=，即 。再由的線性無關(guān)性，知，即，這是不可能的。故不是A的特征向量。2）設(shè)V的一組基為，則它也是A的n個線性無關(guān)的特征向量，

22、故存在特征值 使 A 。由1）即知。由已知，又有A ，即證A是數(shù)乘變換。25.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，A，B是V上的線性變換，且AB=BA.，證明：1) 如過是A的一個特征值，那么是B的不變子空間；2) A，B至少有一個公共的特征向量。證 1)設(shè)，則A，于是由題設(shè)知 A(B)=B(A)=B(B)，故B，即證是B的不變子空間。3) 由1)知是B的不變子空間，若記B|=B，則B也是復(fù)數(shù)域上線性空間的一個線性變換，它必有特征值使BB=B (B,且B)，顯然也有A(B)= B，故B即為A與B的公共特征向量。26. 設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，而線性變換A在基下的矩陣是一若當(dāng)塊。證明：1) V中

23、包含的A-子空間只有V自身；2) V中任一非零A-子空間都包含；3) V不能分解成兩個非平凡的A-子空間的直和。證 1)由題設(shè),知A()=()，即，設(shè)W為A-子空間,且W,則W， 進而有 WW， WW， . W，故W=L=V。2)設(shè)W為任一非零的A-子空間,對任一非零向量W,有 不妨設(shè),則A =()+()+ =W于是 W同理可得 W，W從而W，即證V中任一非零的A-子空間W都包含。3）設(shè)WW是任意兩個非平凡的A-子空間，則由2）知W且W,于是WW，故V不能分解成兩個非平凡的A-子空間的直和。27求下列矩陣的最小多項式： , 2)解 1)設(shè)，因為A-E=0，A的零化多項式，但A-E,A+E，故A

24、的最小多項式為。2)因為，所以A的最小多項式為之一,代入計算可得A的最小多項式為。二 補充題參考解答1. 設(shè)A,B是線性變換, A= A, B=B證明:1) 如果(A+B) =A+B那么AB=0; 2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)=A+B-AB.證 1)因為A= A, B=B, (A+B) =A+B由(A+B) =(A+B) (A+B)= A +AB+BA+ B,故A+B= A +AB+BA+ B,即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= AB+ABA= A (AB+BA)= A0=0所以AB=0.2) 因為A= A, B=B, AB=BA所以(A+B-A

25、B)= (A+B-AB) (A+B-AB)= A+BA- AB A+ AB+ B- AB-AB-BAB +ABAB= A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB= A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB= A+B- AB。2. 設(shè)V是數(shù)域P上維線性空間,證明:由V的全體變換組成的線性空間是維的。證 。V的全體線性變換與同構(gòu),故V的全體線性變換組成的線性空間是維的。3. 設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換,證明:1) 在中有一次數(shù)的多項式,使;2) 如果,那么,這里；3) A可逆的充分必要條件是:有一常數(shù)項不為零的多項式。證 1)因

26、為P上的n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是維的，所以+1個線性變換A,A,、,A,E，一定線性相關(guān),即存在一組不全為零的數(shù)使A+A+A+E=0，令,且。這就是說，在中存在一次數(shù)的多項式,使。即證。2)由題設(shè)知因為，所以=0。3)必要性.由1)知,在中存在一次數(shù)的多項式,使。即A+A+A+E=0，若即為所求。若，A+A+A+E=0， A可逆，故存在，得A+A+E=0令+，即為所求。充分性.設(shè)有一常數(shù)項不為零的多項式使，即，所以，于是，又，故A可逆。4. 設(shè)A是線性空間V上的可逆線性變換。1) 證明: A的特征值一定不為0；2) 證明:如果是的A特征值，那么是的特征值。證 1)設(shè)可逆線性變換A對應(yīng)的矩陣是A,則矩陣A可逆,A的特征多項式為，A可逆 ,故。又因為A的特征值是的全部根，其積為,故A的特征值一定不為0。2)設(shè)是的A特征值,那么存在非零向量,使得。5.設(shè)A是線性空間V上的線性變換，證明；A的行列式為零的充要條件是A以零作為一個特征值。證:設(shè)線性變換A矩陣