高等數(shù)學(xué) 隱函數(shù)求導(dǎo)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)( 注意 y = y(x) )(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y（隱函數(shù)的

2、顯化）（隱函數(shù)的顯化）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1sin02x

3、yy22.d ydx的一階導(dǎo)數(shù)確定的隱函數(shù)求由方程練習(xí)：練習(xí)：二階導(dǎo)數(shù),dydx解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo)， 得d2d2cosyxy11cos02dydyydxdx22()d yddydxdx dxd2()d2cosxy22sin(2cos )y yy22sin2(2cos )2cosyyy34sin(2cos )yy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隱函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)法法1: 由隱函數(shù)直接求出一階導(dǎo)數(shù)由隱函數(shù)直接求出一階導(dǎo)數(shù),用一階導(dǎo)用一階導(dǎo) 數(shù)的顯式繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)的顯式繼續(xù)求導(dǎo).法法2: 反復(fù)用隱函數(shù)的表達式直接求反復(fù)用隱函數(shù)的表達式直接求n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).目錄 上頁 下頁 返回

4、結(jié)束 例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對對 x34x得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxyyxy340(1)y y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí) 設(shè))(xyy 由方程eeyxy確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得0eyxyyy再求導(dǎo), 得2eyy yxy)(e02 y當(dāng)0 x時, 1y故由 得e1)0( y再代入 得2e1)0(

5、y 求. )0(y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4)(3()2)(1(sinxxyxxxxy方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求，可用來求冪指函數(shù)冪指函數(shù)和和多個因子連乘積多個因子連乘積函數(shù)、開方函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩

6、邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 對冪指函數(shù)),(),(,xvvxuuuyv其中可用對數(shù)uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:求導(dǎo)法求導(dǎo) :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解解:(coslnxxsin)xx)sinlncos(sinxxxxxyxsinlnxxesin xyxsinlnxxesinln()xxyesinln(sinln)xxexxsinlnxxe目錄 上頁

7、 下頁 返回 結(jié)束 2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定

8、的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )

9、關(guān)系,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt ddd()dddyttxxtxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 5解解33cos.sinxatyat 求由方程表示的函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd ()/ddydxdt dxdtttatsinc

10、os3sec22 tatsin3sec4 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 6處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.方方程程解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .),12(,2ayaxt 時時當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()(ttxydd?例例7. 設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知解解:

11、)()(tftfty練習(xí)練習(xí): ,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :對誰求導(dǎo)? x)()(dd22ttxy求22dd,.ddyyxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè)由方程222 sin1xtttyy 確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得故xydd(1)(1 cos )ttytyddtxddt2d2d1 cosytty22 tcos ytydd0) 1(2ddttxtyddtxdd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘

12、,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 設(shè))(xyy 由方程33()sin360f xyxy確定,.dydx解解: 方程兩邊對x 求導(dǎo), 得33()fxydydx且 存在，求23)dyydx3cos3x60dydx思考與練習(xí)思考與練習(xí))(xyy ( )fx2(3x 332332cos3()()2xfxyxfxyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 2. 0 ( ) , .xyxxyeeyy xdydydxdx求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對視視 , ),( xxyy y解得解得,yxex

13、yedxdy , 0 , 0 yx時時由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0 dxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,exxy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導(dǎo)y1yxddxeyxddyxdd思考題思考題xe111. 設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 求01sine232ytttxy.dd0txy解解：方程組兩邊同時對 t 求導(dǎo),

14、 得 txddyetydd0ddtxy2. 設(shè)26 ttyddtsin0ddtytycosettyysine1cosetxtydddd0)26)(sine1 (cosetyyttt2e0t目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)求導(dǎo)法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx3ln212(2)xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)01552223 yxyyxx確定了確定了 y

15、是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_. .2 2、 曲線曲線733 xyyx在點在點（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._.3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方程處的法線方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 設(shè)設(shè)yxexy , ,則則dxdy=_.=_.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 求下列方程所確定的隱函數(shù)求下列方程所確定的隱函數(shù)y y 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 ；2 2、 ；3 3、 yxxy )00( yx，. .

16、三、三、 用對數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：用對數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .221xytan()yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設(shè)設(shè))(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)22dxyd . .六、設(shè)六、設(shè))(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、34； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincosc