量子力學(xué)教程

1、量子力學(xué)教案主講 周宙安量子力學(xué)課程主要教材及參考書1、教材： 周世勛，量子力學(xué)教程，高教出版社，19792、主要參考書：1 錢伯初，量子力學(xué)，電子工業(yè)出版社，19932 曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)卷I，第三版，科學(xué)出版社，20003 曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)導(dǎo)論，科學(xué)出版社，20034 錢伯初，量子力學(xué)基本原理及計(jì)算方法，甘肅人民出版社，19845 咯興林，高等量子力學(xué)，高教出版社，19996 L. I. 希夫，量子力學(xué)，人民教育出版社7 錢伯初、曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析，上、下冊，第二版，科學(xué)出版社，19998 曾謹(jǐn)言、錢伯初，量子力學(xué)專題分析（上），高教出版社，19909 曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)專題分析（

2、下），高教出版社，199910 P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（量子力學(xué)原理，科學(xué)出版社中譯本，1979）11 L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（非相對論量子力學(xué)，人民教育出版社中譯本，

3、1980）第一章 緒論量子力學(xué)的研究對象：量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種基本理論。它是上個(gè)世紀(jì)二十年代在總結(jié)大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)和舊量子論的基礎(chǔ)上建立起來的。它不僅在進(jìn)到物理學(xué)中占有及其重要的位置，而且還被廣泛地應(yīng)用到化學(xué)、電子學(xué)、計(jì)算機(jī)、天體物理等其他資料。一、 經(jīng)典物理學(xué)是“最終理論”嗎？十九世紀(jì)末期，物理學(xué)理論在當(dāng)時(shí)看來已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段。那時(shí)，一般物理現(xiàn)象都可以從相應(yīng)的理論中得到說明：機(jī)械運(yùn)動(dòng)（vc時(shí)）牛頓力學(xué)電磁現(xiàn)象麥克斯韋方程光現(xiàn)象（光的波動(dòng)）熱現(xiàn)象熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)（玻耳茲曼、吉布斯等建立）有人認(rèn)為：物理現(xiàn)象的基本規(guī)律已經(jīng)被揭穿，剩下工作只是應(yīng)用和具體的計(jì)算。這顯然是錯(cuò)誤的，

4、因?yàn)椤敖^對的總的宇宙發(fā)展過程中，各個(gè)具體過程的發(fā)展都是相對的，因而在絕對真理的長河中，人們在各個(gè)一定發(fā)展階段上的具體認(rèn)識(shí)只具有相對的真理性”。二、經(jīng)典物理學(xué)的困難由于生產(chǎn)力的巨大發(fā)展，對科學(xué)實(shí)驗(yàn)不斷提出新的要求，促使科學(xué)實(shí)驗(yàn)從一個(gè)發(fā)展階段進(jìn)入到另一個(gè)發(fā)展階段。就在物理學(xué)的經(jīng)典理論取得上述重大成就的同時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)了一些新的物理現(xiàn)象無法用經(jīng)典理論解釋。1. 黑體輻射問題2. 光電效應(yīng)問題3. 原子的線狀光譜和原子結(jié)構(gòu)問題4. 固體在低溫下的比熱問題三、量子力學(xué)的兩個(gè)發(fā)展階段1. 舊量子論（1900-1924） 以普朗克、愛因斯坦、玻爾為代表2. 量子論（1924年建立）以德布羅意、薛定諤、玻恩、海

5、森堡、狄拉克為代表四、學(xué)習(xí)上應(yīng)注意的幾點(diǎn)：1. 牢記實(shí)驗(yàn)是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)2. 沖破經(jīng)典理論的束縛3. 建立創(chuàng)造性思維方法4. 正確認(rèn)識(shí)微觀現(xiàn)象的基本特征最典型的實(shí)驗(yàn)是1802年的楊氏干涉實(shí)驗(yàn)和后來的單縫、雙縫衍射實(shí)驗(yàn)。相干條件： (k=0， ，)加強(qiáng) 相消或位相差 =2k 加強(qiáng)=(2k+1) 減弱熱輻射同光輻射本質(zhì)一樣，都是電磁波對外來的輻射物體有反射和吸收的作用，如果一個(gè)物體能全部吸收投射到它上面的輻射而無反射，這種物體為絕對黑體（簡稱黑體），它是一種理想化模型。例如：一個(gè)用不透明材料制成的開小口的空腔，可以看作是黑體，其開口可以看成是黑體的表面，因?yàn)槿肷涞叫】咨系耐鈦磔椛?，在腔?nèi)經(jīng)多次反射

6、后幾乎被完全吸收，當(dāng)腔壁單位面積在任意時(shí)間內(nèi)所發(fā)射的輻射能量與它所吸收的輻射能相等時(shí)，空腔與輻射達(dá)到平衡，研究平衡時(shí)腔內(nèi)輻射能流密度按波長的分布（或頻率的分布）是19世紀(jì)末人們注意的基本問題。1）實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)腔壁與空腔內(nèi)部的輻射在某一絕對溫度下達(dá)到平衡時(shí)，單位面積上發(fā)出的輻射能與吸收的輻射能相等，頻率到之間的輻射能量密度只與和有關(guān)，與空腔的形狀及本身的性質(zhì)無關(guān)。即其中表示對任何黑體都適用的某一普通函數(shù)。當(dāng)時(shí)不能寫出它的具體解析表達(dá)式，只能畫出它的實(shí)驗(yàn)曲線。見圖22）維恩（Wien）公式維恩在做了一些特殊的假設(shè)之后，曾用熱力學(xué)的方法，導(dǎo)出了下面的公式：其中，為常數(shù)，將維恩公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)

7、兩者在高頻（短波）區(qū)域雖然符合，但在低頻區(qū)域都相差很大。3）瑞利-瓊斯（Rglaigh-Jeans）公式瑞利-瓊斯根據(jù)電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理也推出了黑體輻射公式： 其中是玻耳茲曼常數(shù)（J/K），這個(gè)公式恰恰與維恩公式相反，在低頻區(qū)與實(shí)驗(yàn)符合，在高頻區(qū)不符，且發(fā)散。因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)稱這種情況為“紫外光災(zāi)難”。 由于經(jīng)典理論在解釋黑體輻射問題上的失敗，便開始動(dòng)搖了人們對經(jīng)典物理學(xué)的迷信。4）普朗克（Planck,1900）公式 1900年，普朗克在前人的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到了一個(gè)很好的經(jīng)驗(yàn)公式：式中稱為普朗克常數(shù)， 在推導(dǎo)時(shí)，普朗克作了如下假定：黑體是由帶電的諧振子組成，對于頻率為的諧振子，其

8、能量只能是的整數(shù)倍，即：當(dāng)振子的狀態(tài)變化時(shí)，只能以為單位發(fā)射或吸收能量。能量成為能量子，這就是普朗克能量子假設(shè)，它突破了經(jīng)典物理關(guān)于能量連續(xù)性概念，開創(chuàng)了量子物理的新紀(jì)元。3. 光電效應(yīng) 在光的作用下，電子從金屬表面逸出的現(xiàn)象，稱為光電效應(yīng)。自1887年Hertz起，到1904年Milikan為止，光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律被逐步揭露出來。其中，無法為經(jīng)典物理學(xué)所解釋的有：（1）對一定的金屬，照射光存在一個(gè)臨界頻率，低于此頻率時(shí)，不發(fā)生光電效應(yīng)。（不論光照多么強(qiáng)，被照射的金屬都不發(fā)射電子）（2）光電子的動(dòng)能與照射光的頻率成正比（），而與光的強(qiáng)度無關(guān)。（3）光電效應(yīng)是瞬時(shí)效應(yīng)（）愛因斯坦的光量子假設(shè)：光

9、就是光子流，在頻率為的光子流中，每一光子的能量都是。（這樣就可解釋光電效應(yīng)），由此得到愛因斯坦方程： 光子的動(dòng)量： 對于光子,又 因?yàn)椋?（相對論中能量與動(dòng)量的關(guān)系）所以：而 所以： 或 其中表示該光子運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量，成為波矢。上式把光的兩重性質(zhì)波動(dòng)性和粒子性有機(jī)地聯(lián)系了起來。4.康普頓效應(yīng)（略）本節(jié)結(jié)論：光具有波粒兩象性。課外作業(yè)：（1）推導(dǎo)普朗克黑體輻射公式 （2）設(shè)計(jì)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理圖 經(jīng)典理論在原子結(jié)構(gòu)問題上也遇到不可克服的困難。玻爾理論的兩個(gè)基本假設(shè)：（1）量子條件： （且存在定態(tài)）（2）頻率條件：，有（1）、（2）可得量子化通則： n=1，2，3玻爾理論不能解釋多電子原子和譜線

10、的強(qiáng)度。玻爾理論是半經(jīng)典半量子的理論。一、德布羅意假設(shè)德布羅意仔細(xì)分析了光的波動(dòng)說及粒子說發(fā)展的歷史，并注意到了十九世紀(jì)哈密頓曾經(jīng)闡述的幾何光學(xué)與經(jīng)典粒子力學(xué)的相似性集合光學(xué)的三條基本原理，可以概括為費(fèi)米原理亦即最小光程原理，n為折射系數(shù)，經(jīng)典粒子的莫培督（Maupertius）原理，亦即最小作用原理：，p為粒子的動(dòng)量，通過用類比的方法分析，使他認(rèn)識(shí)到了過去光學(xué)理論的缺陷是只考慮光的波動(dòng)性，忽視了光的粒子性?，F(xiàn)在在關(guān)于實(shí)物粒子的理論上是否犯了相反的錯(cuò)誤，即人們只重視了粒子，而忽視了它的波動(dòng)性了呢？運(yùn)用這一觀點(diǎn)，德布羅意于1924年提出了一個(gè)具有深遠(yuǎn)意義的假設(shè)：微觀粒子也具有波粒二象性。具有確定

11、動(dòng)量和確定能量的自由粒子，相當(dāng)于頻率為或波長為的平面波，二者之間的關(guān)系如同光子與光波一樣，即： （1） （2）這就是著名的德布羅意關(guān)系式，這種表示自由粒子的平面波稱為德布羅意波或“物質(zhì)波”。設(shè)自由粒子的動(dòng)能為E，當(dāng)它的速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，其動(dòng)能，由（2）式可知，德布羅意波長為： （3）如果電子被V伏電勢差加速，則電子伏特，則： （為電子質(zhì)量）當(dāng)V=150伏特時(shí)，當(dāng)V=10000伏時(shí)，所以，德布羅意波長在數(shù)量級上相當(dāng)于晶體中的原子間距，它宏觀線度要短得多，這說明為什么電子的波動(dòng)性長期未被發(fā)現(xiàn)，若把電子改成其他實(shí)物粒子，情況是怎樣的？二、平面波方程頻率為，波長為，沿x方向傳播的平面波可用下面的式子來

12、表示：如果玻沿單位矢量的方向傳播，則：寫成復(fù)數(shù)的形式：或 （量子力學(xué)中必須用復(fù)數(shù)形式） 這種波（自由粒子的平面波）稱為德布羅意波。三、德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 德布羅意波究竟是一種什么程度的波呢？德布羅意堅(jiān)信，物質(zhì)波產(chǎn)生于任何物體的運(yùn)動(dòng)，這里所說的任何物體，包括大到行星、石頭，小到灰塵或電子。這些物質(zhì)和物質(zhì)波一樣，能在真空中傳播，因此它不是機(jī)械波；另一方面，它們都產(chǎn)生于所有物體包括不帶電的物體，所以它們不同于電磁波。這是一種新型的尚未被人們認(rèn)識(shí)的波，就是這種波構(gòu)成了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。1. 電子的衍射實(shí)驗(yàn)1927年美國科學(xué)家戴維孫（Davisson）和革末（Germer）用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了德布羅意波的正確性

13、。（注：介紹其發(fā)現(xiàn)過程、光強(qiáng)等），后來，湯姆遜又用電子通過金箔得到了電子的衍射圖樣。2. 電子的干涉實(shí)驗(yàn)它是由繆江希太特和杜開爾在1954年作出。后來又由法蓋特和費(fèi)爾特在1956年做出。3. 其他實(shí)驗(yàn)表面：一切微觀粒子都具有波粒二象性4. 物質(zhì)波的應(yīng)用電子顯微鏡 （ 分辨率的普遍表達(dá)式）作業(yè)：第二章波函數(shù)的薛定諤方程一、經(jīng)典力學(xué)對質(zhì)點(diǎn)的描述（坐標(biāo)和動(dòng)量）規(guī)律：二、自由粒子的波函數(shù)（德布羅意假設(shè)）問：的物理意義？錯(cuò)誤的解釋：（1）波是由它所描寫的粒子組成，即它是一種疏密波。 （2）粒子是由波組成，一個(gè)粒子就是一個(gè)經(jīng)典的波動(dòng)。三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋Born 首先提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)在空

14、間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，即描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波。分析：電子的衍射實(shí)驗(yàn)，見書18頁量子力學(xué)的一個(gè)基本原理：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)波函數(shù)來描寫。四、波函數(shù)的性質(zhì)1. 在 表示：在t 時(shí)刻,在r點(diǎn)，在d = dxdydz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù)(r,t)描寫的粒子的幾率是。2.幾率密度： 3.粒子在全空間出現(xiàn)的幾率（歸一化）： 則：4.，描寫的是同一態(tài)5. 歸一化波函數(shù)令： 則： 為歸一化條件滿足上式的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)，使變?yōu)榈某?shù)稱為稱為歸一化常數(shù)。注意：1）.波函數(shù)在歸一化后也還不是完全確定的，還存在一個(gè)相因子的不確定。因?yàn)椋?）.不是所有的

15、波函數(shù)都可按上述歸一化條件求一化，即要求為有限（平方可積的），如果是發(fā)散的，則無意義。例如：自由粒子的波函數(shù)， 注意：波函數(shù)是時(shí)間位置的函數(shù)，即例題：曾書第13頁回顧：（1）在量子力學(xué)中用波函數(shù)描寫微觀粒子的量子狀態(tài)（2）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：當(dāng)確定時(shí)，粒子的力學(xué)量取各種可能值的幾率確定。一、經(jīng)典波的態(tài)迭加原理 兩個(gè)可能的波動(dòng)過程的線形迭加的結(jié)果也是一個(gè)可能的波動(dòng)過程。二、態(tài)迭加原理以粒子的雙狹縫實(shí)驗(yàn)為例，見書第14頁，圖6如果是體系的可能狀態(tài)，那么，它們的線形迭加也是這個(gè)體系的可能狀態(tài)三、兩種迭加原理的區(qū)別中，對某力學(xué)量Q進(jìn)行測量，測到Q值可能是，也可能是，但絕對不會(huì)是其他的值（和拋硬幣的情形差

16、不多）。，則，這時(shí)與是同一態(tài)，這與經(jīng)典波的迭加不同和態(tài)的線形迭加態(tài)時(shí)，粒子是既處于態(tài)，又處于態(tài)，例如拋正六面體的塞子。四、態(tài)迭加原理的一般表達(dá)式,為復(fù)數(shù)物理意義：書第23頁，學(xué)生回答。五、態(tài)迭加原理的一個(gè)實(shí)例（電子在晶體表面衍射實(shí)驗(yàn)中的情形）。同學(xué)們自學(xué)，并看一看數(shù)理方法中的傅立葉變換。下次課解答疑問。以一個(gè)確定的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)的電子狀態(tài)的波函數(shù) （1）由態(tài)迭加原理，在晶體表面上反射后，粒子的狀態(tài)可以表示為取多種可能值的平面波的線性迭加： （2）由于可以連續(xù)變化，求和改為積分： （3）式中 （4） （5）把（4）式代入（3）式得： （6）顯然（5）、（6）兩式互為傅立葉變換式，且與描寫的是一個(gè)狀態(tài)。

17、是同一個(gè)狀態(tài)的兩種不同的描寫方式。是以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)。則是以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)。2.3 薛定諤方程簡述經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)方程類似地，詳見曾書，微觀粒子狀態(tài)的變化規(guī)律也應(yīng)該遵循某一方程。一、薛定諤方程應(yīng)該滿足的條件1、方程應(yīng)當(dāng)是對時(shí)間的一階微分方程這是由波函數(shù)完全描寫的基本假設(shè)所決定。2、方程是線性的（只包含一次項(xiàng)）即如果和是方程的解，那么它們的線性迭加也是方程的解，這是態(tài)迭加原理的要求。3、這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量。如動(dòng)量、能量等。但可含有，因?yàn)橛赏鈭鰶Q定，不是粒子的狀態(tài)參量。二、自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程 （1）將上式兩邊對時(shí)間求一次偏導(dǎo)，得： 或 （2）上式還

18、包含狀態(tài)參量能量，故不是我們所要求的方程。將（1）式兩邊對求二次偏導(dǎo)，得到： 同理： 上三式相加得： （3）令 Laplace算符則（3）式簡化為： （4）對自由粒子： （5）將（5）代入（4）得： （6）比較（2）、（6）兩式得： （7）顯然它滿足前面所述條件。三、薛定諤方程1、能量算符和動(dòng)量算符由（2）式 可看出與對波函數(shù)的作用相當(dāng)： （能量算符） （8）將（4）式改寫成： 由此知 （動(dòng)量算符） （9） （劈行算符）問： （）2、薛定諤方程現(xiàn)在利用關(guān)系式（8）、（9）來建立在立場中粒子波函數(shù)所滿足的微分方程。設(shè)粒子在力場中的勢能為，則： （10）上式兩邊乘以波函數(shù)得： 將（8）、（9）式代

19、入得： （11）這個(gè)方程為薛定諤方程。（）注：上面我們只是建立了薛定諤方程，而不是推導(dǎo)，建立的方式有多種。薛定諤方程的正確與否靠實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。3、關(guān)于薛定諤方程（詳見曾書）四、多粒子體系的薛定諤方程 上式兩邊乘以波函數(shù)并做代換 ；其中 則有： 上式就是多粒子體系的薛定諤方程。一、幾率隨時(shí)間的變化幾率： （1）則： （2）Sch-eq： （3）及 （4）（3）、（4）代入（2）式有： （5）令： （6）則（5）式可寫成： （7）這方程具有連續(xù)性方程的形式為了說明（7）式和矢量的意義，下面考察（7）式對空間任意的一個(gè)體積的積分： 由高斯定理： 可得到： （8）面積分是對包圍體積的封閉面進(jìn)行的，（8）式

20、左邊表示單位時(shí)間內(nèi)體積中幾率的增加，右邊是矢量在體積的邊界上法向分量的面積分，因而很自然的可以把解釋為幾率流密度矢量。表示單位時(shí)間內(nèi)流過面上單位體積的幾率。（8）式也說明單位時(shí)間內(nèi)體積中增加的幾率，等于從體積的邊界上而流進(jìn)內(nèi)的幾率。若，則： （9）若波函數(shù)是歸一的，即，也有，即將保持歸一的性質(zhì)，而不隨時(shí)間改變。二、質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度（守恒定律）1.質(zhì)量密度：2.質(zhì)量流密度：3.質(zhì)量守恒定律：以乘以方程（5）得： （10）4.電荷守恒定律： 其中： 三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件單值，有限，連續(xù)（和滿足連續(xù)性方程）一、定態(tài)sch-eq： 如果不顯含時(shí)間，則薛定諤方程的解可用分離變量法求之。Sch-eq:

21、 （1）設(shè)： （2）將（2）代入（1）式中：上述方程兩邊除以得： （3）（3）式恒成立的條件是左邊和右邊都等于同一個(gè)函數(shù)，設(shè)這個(gè)常數(shù)為，則有： （4） （5）方程（4）解為： （6）C為任意常數(shù)，將（6）代入（2）式得： （7）這個(gè)波函數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是正弦式的，它的角頻率 ，（7）式所示的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)的特點(diǎn)：1） 粒子的幾率密度和幾率流密度與時(shí)間無關(guān) 顯然，2） 能量具有確定的值（可由自由粒子的波函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證）3） 各力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化二、哈密頓算符的本征方程以乘方程（4）兩邊，乘方程（5）兩邊，可以看出定態(tài)波函數(shù)滿足下列兩方程 （8） （9）從上面方程可看出：與相當(dāng)，它

22、們都稱為能量算符，又由于算符是由代換而來，在經(jīng)典力學(xué)中稱為哈密頓函數(shù)，所以這種算符又稱為哈密頓算符，通常以表示，這樣（9）式可寫為： （10）這種類型的方程稱為本征值方程，被稱為算符的本征值，稱為算符的本征方程。討論定態(tài)問題，就是要求出（或）和，含時(shí)間的薛定諤方程的一般解，可以寫成這些定態(tài)波函數(shù)的線性迭加： 為常數(shù)。補(bǔ)充作業(yè)：試判定下列波函數(shù)是否為定態(tài)波函數(shù)（1）（2）從這一節(jié)起，我們將用薛定諤方程處理幾個(gè)簡單的定態(tài)問題，研究這些問題，不僅因?yàn)樗鼈兒唵?，容易得到?yán)密的結(jié)果，而更重要的是因?yàn)檫@些問題具有典型性，處理方法帶有一般性，是研究各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。此外，微觀體系的許多特性，可以在這些問題

23、中明顯地表露出來，通過學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步加深我們對微觀現(xiàn)象所具有的特性的認(rèn)識(shí)。一、 粒子的勢能在許多情況中，如金屬中的電子、原子中的電子、原子核中的質(zhì)子和中子等粒子的運(yùn)動(dòng)有一個(gè)共同點(diǎn)，即粒子的運(yùn)動(dòng)都被限制在有限的空間范圍內(nèi)，或者說，粒子處于束縛態(tài)。為了分析束縛態(tài)粒子的共同特點(diǎn)，我們可以將上述情況簡單化、理想化，建立無限深勢阱模型。粒子的勢能為：如下圖所示：二、 粒子的能級和波函數(shù)在勢阱外： （1）在勢阱內(nèi)：因?yàn)?，所以其定態(tài)薛定諤方程為： （2）令 （3）則方程（2）可化為標(biāo)準(zhǔn)形式： （4）其通解為： （5）式中，為兩個(gè)待定常數(shù)，單從數(shù)學(xué)上看，為任何值方程（2）都有解，然而，根據(jù)波函數(shù)連續(xù)性要求，

24、在勢阱邊界上，有 （6） （7）由（5）式和（6）式得： 令波函數(shù)不能恒為零，而不能為零，所以必須 ，于是 （8）再根據(jù)（7）式得所以必須滿足： 取負(fù)數(shù)給不出新的波函數(shù)。這告訴我們k只能取下列值 (9)由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值： (10)這就是說，并非任何E值對應(yīng)的波函數(shù)都滿足問題所要求的邊值條件（6）、（7），而只有當(dāng)能量值?。?0）式所給出那些值時(shí)對應(yīng)的波函數(shù)才有滿足邊值條件，這樣我們就能很自然地得到，被束縛在阱中的粒子的能量只能取一系列離散的數(shù)值，即能量是量子化的。將（9）式代入到（8）式中，并把勢阱外的波函數(shù)也包括在內(nèi)，我們就得到能量為 的波函數(shù)。 （11），波函數(shù)無意義

25、（11）式中A可由歸一化條件確定知：最后得到能量為的歸一化波函數(shù)為：三、 討論（留給同學(xué)們自己做）提示：1）關(guān)于能級 2）關(guān)于波函數(shù) 3）與經(jīng)典力學(xué)比較 4）物理實(shí)質(zhì)一、粒子的勢能 （1）顯然，當(dāng)時(shí)，勢能，可見諧振子的勢能曲線亦為無限深勢阱，只不過不是方勢阱而已，所以粒子只能作有限的運(yùn)動(dòng)，即處于束縛態(tài)。二、能力和波函數(shù)定態(tài)薛定諤方程： （2）既然粒子處于束縛態(tài)，則要求波函數(shù)滿足條件 （3）下面我們就來求（2）式的滿足邊值條件（3）的解：先將方程（2）簡化，引進(jìn)無量綱的參數(shù) （4）和 （5）則方程（2）變成： （6）首先粗略分析一下時(shí)解的漸進(jìn)行為，當(dāng)很大時(shí)，與相比可以忽略，方程（6）可以近似表示

26、為： （7）不難證明，當(dāng)時(shí)，方程（7）的漸近解為： 其中不滿足邊值條件，故只能?。涸跐u進(jìn)解形式的啟發(fā)下，我們令方程（6）的精解為 （8）的形式，將它代入方程（6）得： （9）這就是厄密方程，解為，從而得，但是，不是方程（9）所有形式的解都能使?jié)M足邊值條件（3），從附錄中我們知道，只有當(dāng) （10）時(shí)，方程（9）才能滿足要求，此時(shí)，方程的解為厄密多項(xiàng)式，通常認(rèn)為： （11）它是的n次多項(xiàng)式，如：由（1）式可以得出滿足下列遞推關(guān)系：由（5）式和（10）可得一維諧振子的能量可能取值為： 與之相應(yīng)的波函數(shù)為： 歸一化因子（見附錄）為：四、 討論（留給學(xué)生思考）在2.6，2.7節(jié)中所討論的問題，體系的勢能

27、在無限遠(yuǎn)處都是無窮大，即粒子處于束縛態(tài)，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，這個(gè)條件是得體系的能級是分立的，量子化的。這一節(jié)我們將論非束縛態(tài)的問題，非束縛態(tài)最簡單最典型的例子是方勢壘貫穿，它也明顯地表露出量子效應(yīng)。（注意：這類問題中，粒子的能量是預(yù)先確定的）一、一維方勢壘問題勢能： 如右圖所示：設(shè)具有一定能量E的粒子沿x正方向射向方勢壘，若，則按經(jīng)典力學(xué)理論，它必將全部在x=0處返回，不能進(jìn)入勢壘，現(xiàn)在來看量子力學(xué)會(huì)給出什么結(jié)果。二、粒子的定態(tài)波函數(shù)（先討論）的情形： x0 (1): 0xa (3)令： (4)則（1），（2），（3）式可化為： x0 (5) 0xa (7) 方程（5），（6），（7）的通解

28、為： x0 (8) 0xa (10)當(dāng)我們用時(shí)間因子乘以上面三個(gè)式子，立即可以得出中的第一項(xiàng)表示向右傳播的平面波，第二項(xiàng)為向左傳播的平面波，在xa的區(qū)域，當(dāng)粒子以左向右透過方勢壘，不會(huì)再反射，因而中應(yīng)當(dāng)沒有向左傳播的波，也就是說。下面利用波函數(shù)及其一階微商在x=0和x=a處連續(xù)的條件來確定波函數(shù)中的其他系數(shù)。由：可見，五個(gè)任意常數(shù)滿足四個(gè)獨(dú)立方程，由這一組方程我們可以解得： （11） （12）（11），（12）兩式給出透射波振幅和反射波振幅與入射波振幅之間的關(guān)系。三、幾率流密度、透射系數(shù)、反射系數(shù)1、幾率流密度入射波： （注：幾率流密度還可寫成幾率密度與粒子速度的承繼，對于動(dòng)量和能量確定的粒子

29、，即）入射波幾率流密度：（）透射波幾率流密度：（） 反射波幾率流密度：（）2、透射系數(shù) （13）3、反射系數(shù) 由上兩式可見，和都小與1，與這和等于1。這說明入射粒子一部分貫穿到的區(qū)域，另一部分被勢壘反射回去。下面討論的情形。這時(shí)是虛數(shù)。令： ， 則是實(shí)數(shù) 把換成為，前面的計(jì)算仍然成立。經(jīng)過簡單計(jì)算后，（11）式可改寫成：其中和依次是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，其值為透射系數(shù) 的公式（13）式可改寫為：如果粒子能量比勢壘高度小很多，即，同時(shí)勢壘高度不太小，以至于，則，此時(shí)，于是 因?yàn)楹屯瑪?shù)量級，時(shí)，或（）為恒大于1的數(shù)值，所以當(dāng)足夠大時(shí)其中，上式給出了時(shí)，粒子透過方勢壘的幾率。對于任意形狀的勢壘

30、，我們可以把上式加以推廣，寫成：即我們可以認(rèn)為是透過許多方勢壘的幾率的乘積。（見書50頁圖17）四、微觀粒子和宏觀粒子經(jīng)勢壘散射的討論1、若，宏觀粒子完全穿透勢壘，無反射，而微觀粒子既有穿透的可能，又有反射的可能。2、若，宏觀粒子完全被反射，不能穿透勢壘，而微觀粒子既有反射的可能，又有透射的可能。這種粒子在能量 小于勢壘高度時(shí)，仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。按經(jīng)典理論，隧道效應(yīng)是無法理解的，因?yàn)楫?dāng)粒子進(jìn)入到勢壘內(nèi)部時(shí)，而一個(gè)經(jīng)典粒子的總能量又等于動(dòng)能與勢能的和，因此粒子的動(dòng)能將小于零。動(dòng)量（）將是虛數(shù)，這自然是不允許的。但按照量子力學(xué)的概念，這一現(xiàn)象是不可理解的，這是由于微觀粒子具有被動(dòng)性的

31、表現(xiàn)。這可用光波在介質(zhì)表面的反射與折射做類比。注：隧道效應(yīng)是一種微觀效應(yīng)。參見書第49頁的表 小結(jié) 書50-52第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量正如前面所說的，由微觀粒子的波粒二象性，我們必須采用新的方式來表示微觀粒子的力學(xué)量算符1.定義：算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號通俗地說，算符就是一種運(yùn)算符號。我們通常用上方加“”的字母來表示算符，例如：它們都稱為算符。算符作用在一個(gè)函數(shù)u上，使之變成另一個(gè)新的函數(shù)v，例如： 是微商算符。又如x也是一個(gè)算符，它對函數(shù)u的作用是與u相乘，即xu=xu=v,還有也是一個(gè)算符，把它作用在函數(shù)u上則有： 即是一個(gè)開平方的運(yùn)算符號，可見，算符并不神秘，

32、x,3,-1等都可以看作是算符。1.算符相等：如果，則其中u為任意函數(shù)，注意：這里u必須是任意的函數(shù)，如果上面前一式中只對某一個(gè)特定的函數(shù)，我們就不能說算符和相等。例如：.算符相加：若，則即如果把算符作用在任意函數(shù)u上，所得到的結(jié)果和算符、分別作用在u上而得到的兩個(gè)新函數(shù)u，QU之和相等，則我們說算符等于算符與之和.且 （滿足加法交換律） （滿足加法結(jié)合律）.算符相乘：若，則例如：，又如如果同一算符連續(xù)作用n次，則寫作，例如：如果， 注意：一般來說，算符之積并不一定滿足對易律，即一般地例如：x與就不對易，即但是，在某些情況下，算符之積滿足對易律，例如：X和是對易的，另外，如果算符和對易，和對易

33、，則和不一定對易，例如：x和對易的，和對易，但x和都不對易。有了這些規(guī)定，我們就可以象普通代數(shù)中那樣對算符進(jìn)行加、減和乘積運(yùn)算了，但是必須記住有一點(diǎn)是與代數(shù)運(yùn)算不同的，即我們不能隨便改變各因子的次序（因?yàn)閮蓚€(gè)算符不一定對易），例如：除非我們已經(jīng)知道與對易，否則不能輕易地把上式寫成等于.若則稱為線性算符，其中為兩個(gè)任意函數(shù)，是常數(shù)（復(fù)數(shù)）。顯然，x,，積分運(yùn)算都是線性，但平方根算符“”則不是線性算符。因?yàn)椋毫硗猓?fù)共軛也不是線性算符，以后我們可以看到，在量子力學(xué)中刻劃力學(xué)量的算符都是線性算符。如果對于任意兩個(gè)函數(shù)和，算符滿足下列等式：則稱為厄密算符，式中x代表所有變量，積分范圍是所有變量變化的

34、整個(gè)區(qū)域，且和是平方可積的，即當(dāng)變量時(shí)，它們要足夠快地趨向于。補(bǔ)充：兩個(gè)厄密算符之和仍為厄密算符，但兩個(gè)厄密算符之積卻不一定是厄密算符，除非兩者可以對易。. 不是厄密算符另：厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)補(bǔ)充：波函數(shù)的標(biāo)積，定義：如果算符作用在一個(gè)函數(shù)，結(jié)果等于乘上一個(gè)常數(shù)：則稱為的本征值，為屬于的本征函數(shù)，上面方程叫本征方程。本征方程的物理意義：如果算符表示力學(xué)量，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量有確定值，這個(gè)值就是在態(tài)中的本征值。.幾個(gè)例子：（表示為坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，）動(dòng)量：能量E：坐標(biāo)：（可寫成等式）.基本力學(xué)量算符：動(dòng)量和坐標(biāo)算符.其他力學(xué)量算符（如果該力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量），由基本力

35、學(xué)量相對應(yīng)的算符所構(gòu)成，即：如果量子力學(xué)中的力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式中將換為算符而得出，即：例如：，則又如：則：注：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符，為什么？因?yàn)椋核辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，既然表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，它的本征值必須是實(shí)數(shù)，而厄密算符就具有這個(gè)性質(zhì)。求證：厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)證明：設(shè)為厄密算符，為的本征值，表示所屬的本征函數(shù)，即：因?yàn)椋海槎蛎芩惴┤。瑒t有：即是實(shí)數(shù)。動(dòng)量算符的本征值方程是： （）式中是動(dòng)量算符的本征值，為相應(yīng)的本征函數(shù)，（）式的三個(gè)分量方程是： （）它們的解是：

36、（）式中是歸一化常數(shù)，為了確定的數(shù)值，計(jì)算積分：因?yàn)椋菏街惺且詾樽兞康暮瘮?shù)，所以有：因此，如果取，則歸一化為函數(shù)： （） （）不是象所要求的歸一化為，而是歸一化為函數(shù)，這是由于所屬的本征值組成連續(xù)譜的緣故。問題：我們能否把動(dòng)量的連續(xù)本征值變?yōu)榉至⒈菊髦颠M(jìn)行計(jì)算？答案是肯定的，可通過下面的方法來實(shí)現(xiàn)：設(shè)粒子被限制在一個(gè)正方形箱中，箱子的邊長為，取箱的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，（如圖）顯然，波函數(shù)在兩個(gè)相對的箱壁上對應(yīng)的點(diǎn)具有相同的值。波函數(shù)所滿足的這種邊界條件稱為周期性邊界條件，加上這個(gè)條件后，動(dòng)量的本征值就由連續(xù)譜變?yōu)榉至⒆V。因?yàn)楦鶕?jù)這一條件（參見圖），在點(diǎn)（，y,z）和點(diǎn)（,y,z), 的值應(yīng)相同，

37、即：或這個(gè)方程的解是： （）這樣有： （）同理： （） （9）從上三式顯然可以看出兩個(gè)相鄰本征值的間隔與成反比，當(dāng)時(shí)，本征值譜由分立譜變?yōu)檫B續(xù)譜。在加上周期性邊界條件后，動(dòng)量本征函數(shù)可以歸一化為，歸一化常數(shù)是，因而： （10）這是因?yàn)椋合襁@樣地粒子限制在三維箱中，再加上周期性邊界條件的歸一化方法，稱為箱歸一化。乘上時(shí)間因子就是自由粒子的波函數(shù)，在它所描寫的態(tài)中，粒子的動(dòng)量有確定值，這個(gè)確定值就是動(dòng)量算符在這個(gè)態(tài)中的本征值。角動(dòng)量，由力學(xué)量的算符表示得： （）角動(dòng)量平方算符是： （）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系是： （3） （4） （5）對于任意函數(shù)f (r, , ) （其中r，都是x,y,z

38、的函數(shù)）有：其中：或： （）將（）式兩邊分別對x,y,z求偏導(dǎo)得： （）將（）式兩邊分別對x,y,z求偏導(dǎo)得： （）將（）式兩邊分別對,y,z求偏導(dǎo)得： （）將上面結(jié)果代回（）式得： （10）則角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為： （11） （12）本征方程： 或： （13）是算符的本征函數(shù)，屬于本征值的。以下參見書第頁由以上的結(jié)果知的本征值是，所屬本征函數(shù)是：因?yàn)椋簂表征角動(dòng)量的大小，所以稱為角量子數(shù)，m則稱為磁量子數(shù)，且對于一個(gè)l值，m可?。╨+1）個(gè)值，因此算符的本征值是（l+1）度簡并的。的本征方程： 補(bǔ)充：或：解之得：其中為歸一化常數(shù)。）.波函數(shù)有限條件：要求為實(shí)數(shù)）.波函數(shù)單值條件，要

39、求當(dāng)轉(zhuǎn)過角回到原位時(shí)波函數(shù)相等。即：于是：由歸一化條件得：所以：最后書上列出了幾個(gè)球諧函數(shù)以類氫離子例，取核為坐標(biāo)原點(diǎn)，則電子的勢能為：其中 ，在CGS單位制中：，r是電子到核的距離。 (1) （2）這個(gè)方程在球坐標(biāo)中的形式為： (3)令： （4）將（4）式代入方程（3）中，并以除方程兩邊，移項(xiàng)后得： （5）則方程（5）分離為兩個(gè)方程： （6） （7）方程（7）即為電子角動(dòng)量平方的本征方程：或：其：為球諧函數(shù)。將代入徑向方程（6）中，得：當(dāng)E0時(shí)，對于E的任何值，方程（8）都有滿足波函數(shù)條件的解，體系的能量具有連續(xù)譜，這時(shí)電子可以離開何而運(yùn)動(dòng)到無限遠(yuǎn)處。當(dāng)E0時(shí)，計(jì)算過程表明：要使方程（8）有滿足波函數(shù)的條件的解，方程中的參數(shù)E不能隨便取值，而只能?。?（9）式（9）即束縛態(tài)（E0）類氫離子的能量量子化公式。方程（8）的解R(r)叫做拉蓋多項(xiàng)式： （10）其中叫做