試題六(有效約束_回歸分析區(qū)間估計(jì)_迭代法收斂域)

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)試題 2003.6.22 上午班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 得分 說明：（1）第一、二、三題的答案直接填在試題紙上；（2）第四題將數(shù)學(xué)模型、簡(jiǎn)要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，可寫在背面；（3）考試時(shí)間為90分鐘。一（10分，每空2分）（計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保留4位有效數(shù)字）某兩個(gè)地區(qū)上半年6個(gè)月的降雨量數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：月份123456地區(qū)A259946337054地區(qū)B105030204530（1） 在90%的置信水平下，給出A地區(qū)的月降雨量的置信區(qū)間： 32.35 76.65 x=25 99 46 33 70 54; mu, sigma, muci, sigmaci=normf

2、it(x,0.1)輸出結(jié)果：muci = 32.348211120103912 76.651788879896088（2） 在90%的置信水平下，A地區(qū)的月降雨量是否不小于70（mm）？ 是 H0：70x=25 99 46 33 70 54;h,sig,ci =ttest(x,70,0.1,-1)輸出結(jié)果：h =0（3） 在90%的置信水平下，A、B地區(qū)的月降雨量是否相同？ 否 x=25 99 46 33 70 54; y=10 50 30 20 45 30;h,sig,ci=ttest2(x,y,0.1)輸出結(jié)果：h =1（4） A地區(qū)某條河流上半年6個(gè)月對(duì)應(yīng)的徑流量數(shù)據(jù)如下（單位：m3）：

3、110，184，145，122，165，143。該河流的徑流量y與當(dāng)?shù)氐慕涤炅縳的線性回歸方程為 y=91.12+0.9857*x ；若當(dāng)?shù)亟涤炅繛?5mm，該河流的徑流量的預(yù)測(cè)區(qū)間為130.9 159.7 （置信水平取90%）。y=110 184 145 122 165 143; x=25 99 46 33 70 54; n=6 T=ones(n,1),x' b,bint,r,rint,s=regress(y',T); b,bint,s, rcoplot(r,rint) 輸出結(jié)果：b =91.115018618121596 0.985657150737830少量數(shù)據(jù)回歸分析區(qū)

4、間預(yù)測(cè)：y=b0+b1*x%預(yù)測(cè)區(qū)間函數(shù)M文件源程序：function y30=guessless(x0,x,s2,b0,b1,alpha)s=sqrt(s2); %將s2開方即得xx=mean(x); %x的均值sxx=(length(x)-1)*var(x); y0=b0+b1*x0;y30=y0-tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*s*sqrt(x0-xx)2/sxx+1/length(x)+1), y0+tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*s*sqrt(x0-xx)2/sxx+1/length(x)+1); %利用（30）式預(yù)測(cè)區(qū)間%預(yù)測(cè)55mm

5、降雨量對(duì)應(yīng)河流徑流量所在區(qū)間源程序(需要先運(yùn)行回歸程序！)x=25 99 46 33 70 54; y55=guessless(55,x, s(4),b(1),b(2),0.1)輸出結(jié)果：y55 =1.0e+002 *1.309185906962643 1.597337331211401還可以應(yīng)用POLYTOOL命令：y=110 184 145 122 165 143; x=25 99 46 33 70 54; Polytool(x,y,1,0.1)輸出結(jié)果：二（10分）（1）（每空1分）給定矩陣，如果在可行域上考慮線性函數(shù)，其中，那么的最小值是 2.2 ，最小點(diǎn)為 (0,0.4,1.8) ；

6、 最大值是 3.5 ，最大點(diǎn)為 (0.5,0,1.5) 。決策變量：x1；x2；x3；目標(biāo)函數(shù)：Z=4*x1+1*x2+1*x3約束條件：2*x1+1*x2+2*x3=43*x1+3*x2+1*x3=3基本模型：max/min(z)= 4*x1+1*x2+1*x3s.t. 2*x1+1*x2+2*x3=43*x1+3*x2+1*x3=3x1,x2,x30優(yōu)化程序(線性)：c=4 1 1;A2=2 1 2; 3 3 1;b2=4 3; v1=0 0 0;x,z,ef,out,lag=linprog(c,A2,b2,v1)x,z,ef,out,lag=linprog(-c,A2,b2,v1)輸出結(jié)

7、果：x =0.0000 0.4000 1.8000z =2.2000x =0.5000 0.0000 1.5000z = -3.5000（2）（每空2分）給定矩陣，考慮二次規(guī)劃問題，其最優(yōu)解為 (2.5556,1.4444)，最優(yōu)值為 -10.7778 ，在最優(yōu)點(diǎn)處起作用約束為 x1+x24。H=2 -4;-4 8;A1=-4 2;0 1;1 1;1 0; 1 -4;c=-2 -4;b1=1 2 4 3 1;v1=0,0,0;x,f,ef,out,lag=quadprog(H,c,A1,b1,v1)lag.eqlin %等式約束lag.ineqlin %不等式約束lag.upper %上界約束

8、lag.lower %下界約束輸出結(jié)果：x = 2.5556 1.4444f = -10.7778ans = Empty matrix: 0-by-1ans = 0 0 2.6667 0 0ans = 0 0ans = 0 0有效約束判斷方法：1) lag函數(shù)值中非零項(xiàng)對(duì)應(yīng)的約束條件為有效約束！2) 教材P179有效約束的定義也可判斷！三（10分） 對(duì)線性方程組： ，其中 ， b= (1) （3分）當(dāng) 時(shí)，用高斯賽德爾迭代法求解 。取初值為，寫出迭代第4步的結(jié)果=(-1.0566 1.0771 2.9897)。迭代法解線性代數(shù)方程組A1=ones(3,3);A=0.5*A1+ diag(dia

9、g(0.5*A1);D=diag(diag(A); %從稀疏矩陣A中提取DL=-tril(A,-1); %從稀疏矩陣A中提取LU=-triu(A,1); %從稀疏矩陣A中提取U b=1 2 3' %設(shè)定方程組右端項(xiàng)向量x= zeros(3,1); %設(shè)定方程組初始向量e=10(-5); %給定迭代誤差m= inv(D-L)*U;n= inv(D-L)*b; %高斯-賽德爾迭代法for j2=1:4 y=m*(x(:,j2); for i=1:3 x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:); end if norm(x(:,j2+1)-x(:,j2)<=e; break end

10、endt2=x(:,end) %輸出迭代法最終結(jié)果j2 %輸出迭代次數(shù)t2 = -1.0566 1.0771 2.9897(2) （4分）當(dāng) 時(shí)，用Jacobi 迭代法求解是否收斂？_否_ , 理由是_迭代矩陣的譜半徑等于1_ 。迭代法收斂性充要條件：譜半徑(L)<1雅可比迭代發(fā)的迭代公式中矩陣L= inv(D)*(L+U);在此情況下，eig(inv(D)*(L+U)的輸出結(jié)果為：ans = -1.0000 0.5000 0.5000此時(shí)譜半徑為以上各值絕對(duì)值的最大值！故(L)=1，不收斂！(3) （3分）求最大的c, 使得對(duì)任意的 ，用高斯賽德爾迭代法求解一定收斂，則c應(yīng)為_1_。c

11、 = 1. （備注：可求出原矩陣A的特征值為1-a和2a+1; 利用正定性質(zhì)得結(jié)果。）系數(shù)矩陣對(duì)稱正定，則高斯-賽德爾迭代法收斂！四（20分）一個(gè)二級(jí)火箭的總重量為2800公斤。第一級(jí)火箭的重量為1000公斤，其中燃料為800公斤。第一級(jí)火箭燃料燃燒完畢后自動(dòng)脫落，第二級(jí)火箭立即繼續(xù)燃燒。第二級(jí)火箭中的燃料為600公斤。假設(shè)火箭垂直向上發(fā)射，兩級(jí)火箭中的燃料同質(zhì)，燃燒率為15公斤/秒，產(chǎn)生的推力為30000牛頓?；鸺仙龝r(shí)空氣阻力正比于速度的平方，比例系數(shù)為0.4公斤/米。（1）建立第一級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型，并求第一級(jí)火箭脫落時(shí)的高度、速度和加速度；（2）建立第二級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行

12、的數(shù)學(xué)模型，并求火箭所有燃料燃燒完畢瞬間的高度、速度、和加速度。（提示：牛頓第二定律f=ma，其中f為力，m為質(zhì)量，a為加速度。重力加速度9.8米/平方秒。）模型及其求解：(1) 建立第一級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型:火箭質(zhì)量m隨時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)為：火箭在時(shí)刻t所受合外力F為：火箭在時(shí)刻t的加速度a為：初值滿足：h(0)=0;v(0)=0%火箭運(yùn)行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源程序：function dx=rocket11(t,x)dx=x(2);(2560+147*t-0.4*(x(2)2)/(2800-15*t);%火箭加速度函數(shù)M文件源程序：function y=a11(ts,x

13、)for i=1:length(ts) y(i)=(2560+147*ts(i)-0.4*x(2,i)2)./ (2800-15*ts(i);end%應(yīng)用龍格-庫塔方法對(duì)火箭運(yùn)行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解：ts=0:1/3:160/3;j=length(ts);x0=0,0;t,x=ode45(rocket11,ts,x0); %火箭運(yùn)行高度與速度情況y= a11(ts', x(:,2)'); %火箭運(yùn)行加速度情況ts', x(:,1),x(:,2),y'a=(2560+147*ts(j)-0.4*x(j,2)2+200*9.8)./ (2800-15*ts

14、(j)-200)輸出結(jié)果：t=0.053333333333333 h=2619.970380776275 v=114.628140679963 a=2.572077872851a=3.946753192056594計(jì)算結(jié)果：第一級(jí)火箭燃燒完畢瞬間：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，?加速度：5.2米/平方秒。 (2) 建立第二級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型火箭質(zhì)量m隨時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)為：火箭在時(shí)刻t所受合外力F為：火箭在時(shí)刻t的加速度a為：初值滿足：h(160/3)=2260;v(160/3)=114.6%火箭運(yùn)行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源程序：f

15、unction dx=rocket12(t,x)dx=x(2);(12360+147*t -0.4*x(2)2)/(1800-15*t);%火箭加速度函數(shù)M文件源程序：function y=a12(ts,x)for i=1:length(ts) y(i)=(12360+147*ts(i)-0.4*x(i)2)./ (1800-15*ts(i);end%應(yīng)用龍格-庫塔方法對(duì)火箭運(yùn)行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解：ts=0:1:40;j=length(ts);x0=2620, 114.6;t,x=ode45(rocket12,ts,x0); %火箭運(yùn)行高度與速度情況y= a12(ts',

16、x(:,2)'); %火箭運(yùn)行加速度情況ts', x(:,1),x(:,2),y'a=(-11790-0.4*x(41,2)2)./ 1200輸出結(jié)果：t=40.00+53.333=93.333s h=9400.4m v=205.2m/s a=1.1671m/s2燃燒完畢后瞬間：v=205.2a=(-11790-0.4* (v 2)./ 1200= -23.858計(jì)算結(jié)果：第二級(jí)火箭燃燒完畢瞬間：t=93.333秒，高度：9400.2米，速度：205.2米/秒，?加速度： -2666.0米/平方秒。(3)最大高度：火箭質(zhì)量m隨時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)為：火箭在時(shí)刻t所受合外

17、力F為：火箭在時(shí)刻t的加速度a為：初值滿足：h(0)=9400;v(0)=205.1%火箭運(yùn)行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源程序：function dx=rocket13(t,x)dx=x(2);(-11760-0.4*x(2)2)/1200;%火箭加速度函數(shù)M文件源程序：function y=a13(ts,x)for i=1:length(ts) y(i)=(-11760-0.4*x(i)2)/1200;end%應(yīng)用龍格-庫塔方法對(duì)火箭運(yùn)行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解：ts=0:0.01:16;j=length(ts);x0=9400, 205.1;t,x=ode45(rocket13,

18、ts,x0); %火箭運(yùn)行高度與速度情況y= a13(ts', x(:,2)'); %火箭運(yùn)行加速度情況ts', x(:,1),x(:,2),y'輸出結(jié)果：t=93.333+15.30=108.635s h=10732.3m 計(jì)算結(jié)果：達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)間t=93.333+15.31=108.643秒，高度： 10733米。錯(cuò)誤的想法！計(jì)算最大高度時(shí)用分段形式解常微分方程造成誤差較小，現(xiàn)作為比較列舉：%火箭運(yùn)行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源程序：function dx=rocket13(t,x)if x(2)>=0dx=x(2);(-11772-0.4*x(2

19、)2)/1200;else dx=x(2);(-11772+0.4*x(2)2)/1200;end%火箭加速度函數(shù)M文件源程序：function y=a13(ts,x)for i=1:length(ts) if x(i)>=0 y(i)=(-11772-0.4*x(i)2)/1200; else y(i)=(-11772+0.4*x(i)2)/1200; endend%應(yīng)用龍格-庫塔方法對(duì)火箭運(yùn)行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解：ts=0:0.01:16;j=length(ts);x0=9400, 205.1;t,x=ode45(rocket13,ts,x0); %火箭運(yùn)行高度與速度情況y

20、= a13(ts', x(:,2)'); %火箭運(yùn)行加速度情況ts', x(:,1),x(:,2),y'結(jié)果：t=93.333+15.29 h=10731.44079748829 與答案：達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)間t=93.333+15.31=108.643秒，高度： 10733米。有一定誤差！建立第二級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型時(shí)，不可分段列常微分方程！以下會(huì)對(duì)二階導(dǎo)數(shù)造成很大誤差；最致命的錯(cuò)誤是時(shí)間分段錯(cuò)誤！火箭質(zhì)量m隨時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)為：火箭在時(shí)刻t所受合外力F為：火箭在時(shí)刻t的加速度a為：第一級(jí)火箭發(fā)射與第二級(jí)火箭發(fā)射聯(lián)立求解,由于中間有間斷點(diǎn),下面的程序是不

21、可行的(并且求解過程中g(shù)取值為9.81)：根據(jù)題意可知，在此模型中火箭始終沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)重力加速度不隨高度變化而變化，其值恒為g=9.81m/s2。初始狀態(tài)時(shí)，h=0，v=0，a=（30000-2800×9.81）/2800=0.9043m/s2，故可應(yīng)用牛頓第二定律對(duì)火箭運(yùn)行情況進(jìn)行如下分析（以下各物理量均為SI制）?；鸺|(zhì)量m隨時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)為：火箭在時(shí)刻t所受合外力F為：火箭在時(shí)刻t的加速度a為：分別用MATLAB計(jì)算并作圖，為便于編程，令x（1）=h，x（2）=x(1)=v，x（2）=a,程序如下：%火箭運(yùn)行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源程序：function d

22、x=rocket11(t,x)if t<=160/3dx=x(2);(2532+147.15*t-0.4*(x(2)2)/(2800-15*t);elseif t>160/3&t<=280/3dx=x(2);(12342+147.15*t -0.4*x(2)2)/(1800-15*t);elseif t>280/3&x(2)>=0dx=x(2);(-11772+0.4*x(2)2)/1200;else x(2)<=0dx=x(2);(-11772-0.4*x(2)2)/1200;end%火箭加速度函數(shù)M文件源程序：function y=a11

23、(ts,x)for i=1:length(ts) if ts(i)<=160/3 y(i)=(2532+147.15*ts(i)-0.4*x(i)2)./ (2800-15*ts(i);elseif ts(i)>=160/3 & ts(i)<=280/3 y(i)=(12342+147.15*ts(i)-0.4*x(i)2)./ (1800-15*ts(i);elseif ts(i)>280/3 & x(i)>=0, y(i)=(-11772+0.4*x(i)2)/1200; else x(i)<0, y(i)=(-11772-0.4*x(i

24、)2)/1200; endend%應(yīng)用龍格-庫塔方法對(duì)火箭運(yùn)行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解：ts=0:1:160;x0=0,0;t,x=ode23(rocket11,ts,x0); %火箭運(yùn)行高度與速度情況y= a11(ts', x(:,2)'); %火箭運(yùn)行加速度情況ts', x(:,1),x(:,2),y'grid %作圖plot(ts,x(:,1) %h-t圖xlabel('t/s');ylabel('h/m'); plot(ts,x(:,2) %v-t圖xlabel('t/s');ylabel('

25、v/m/s'); plot(ts,y) %a-t圖xlabel('t/s');ylabel('a/m/s2');數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)試題 2003.6.22 上午 (A卷；90分鐘)一. 某兩個(gè)地區(qū)上半年6個(gè)月的降雨量數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：月份123456地區(qū)A259946337054地區(qū)B105030204530（5） 在90%的置信水平下，給出A地區(qū)的月降雨量的置信區(qū)間： （6） 在90%的置信水平下，A地區(qū)的月降雨量是否不小于70（mm）？ （7） 在90%的置信水平下，A、B地區(qū)的月降雨量是否相同？ （8） A地區(qū)某條河流上半年6個(gè)月對(duì)應(yīng)的徑流量數(shù)據(jù)如下（

26、單位：m3）：110，184，145，122，165，143。該河流的徑流量y與當(dāng)?shù)氐慕涤炅縳的線性回歸方程為 ；若當(dāng)?shù)亟涤炅繛?5mm，該河流的徑流量的預(yù)測(cè)區(qū)間為 （置信水平取90%）。答案：（程序略）(1) 32.35，76.65(2) 是(3) 否(4) y=91.12+0.9857x(5) 130.9,159.7二（10分）（1）（每空1分）給定矩陣，如果在可行域上考慮線性函數(shù)，其中，那么的最小值是 ，最小點(diǎn)為 ； 最大值是 ，最大點(diǎn)為 。（2）（每空2分）給定矩陣，考慮二次規(guī)劃問題，其最優(yōu)解為 ，最優(yōu)值為 ，在最優(yōu)點(diǎn)處起作用約束為 。答案：（1）最小值為11/5，最大值為7/2，最小點(diǎn)為（0，2/5，9/5），最大點(diǎn)為（1/2，0，3/2）。 （2）最優(yōu)解為（2.5556，1.4444），最優(yōu)值為1.0778e+001，其作用約束為。三（10分） 對(duì)線性方程組： ，其中 ， b= (4) （3分）當(dāng) 時(shí)，用高斯賽德爾迭代法求解 。取初值為，寫出迭代第4步的結(jié)果=_。(5) （4分）當(dāng) 時(shí)，用Jacobi 迭代法求解是否收斂？_ , 理由是_ 。(6) （3分）求最大的c, 使得對(duì)任意的 ，用高斯賽德爾迭代法求解一定收斂，則c應(yīng)為_。答案：（1）x = -1.0566