勾股定理劉洋

1、課 題 1、1 探索勾股定理 教材 義務(wù)教育課程標準實驗教科書（北師大版）八年級數(shù)學(xué)上冊第一章第1節(jié)P2 P6。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用。本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識的延續(xù)，同時也是學(xué)生認識無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性。此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵著豐富的科學(xué)與人文價值。授課教師: 劉洋教學(xué)目標1、知識與技能目標：掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會用符號表示。學(xué)生在經(jīng)歷用數(shù)格子與割補等辦法探索勾股定理的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想，體驗從特殊到一般的邏輯

2、推理過程。2、能力目標：通過分層訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)會熟練運用勾股定理進行簡單的計算，在解決實際問題中掌握勾股定理的應(yīng)用技能。3、情感目標：通過數(shù)學(xué)史上對勾股定理的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，愛數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)的情感。使學(xué)生從經(jīng)歷定理探索的過程中，感受數(shù)學(xué)之美，探究之趣。教學(xué)重點、難點 重點：用面積法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。 難點：計算以斜邊為邊長的大正方形C面積及割補思想的理解與應(yīng)用。教學(xué)方法選擇引導(dǎo)探索法，采用“問題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展”的模式進行教學(xué)。教具準備 多媒體課件；若干張已畫好直角三角形的方格紙；剪刀；已剪好的紙片若干張。教學(xué)過程一、 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（師）請同學(xué)們觀察動

3、畫，我國科學(xué)家曾向太空發(fā)射勾股圖試圖與外星人溝通，在2002年的國際數(shù)學(xué)家大會上采用弦圖作為會標，它為什么有如此大的魅力呢？它蘊涵著怎樣迷人的奧妙呢？這節(jié)課我就帶領(lǐng)大家一起探索勾股定理。（設(shè)計意圖：用一段生動有趣的動畫，點燃學(xué)生的求知欲，以景激情，以情激思，引領(lǐng)學(xué)生進入學(xué)習(xí)情境。）二、 師生互動，探究新知活動1：（觀察圖1）你知道正方形C的面積是多少嗎？你是怎樣得出上面結(jié)果的呢？ （生）獨立思考后交流，采用直接數(shù)方格的辦法，或者是分割成幾個等腰直角三角形的方法計算正方形C的面積。（多媒體演示）（過渡語）同學(xué)們用數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了正方形C的面積，那么對于下面圖2中的正方形C， “數(shù)方格子”的方法

4、還行得通嗎？下面我們一起來研究?；顒?：（觀察你手中方格紙上的圖2）正方形C的面積是多少？你是怎樣得出結(jié)果的呢？ （師）我們用數(shù)方格子的方法能算出正方形C的面積嗎？參考弦圖，你想到什么好方法了嗎？（引出“割”法） 大家想一想還有沒有其它方法呢？受“割”法的啟示，我們能通過“補”的方法得出結(jié)論嗎？（生）獨立思考，在預(yù)先準備的方格紙上將圖形剪一剪、拼一拼，用分割成四個全等直角三角形的方法或?qū)⒄叫蜟補成邊長為整數(shù)的大正方形的方法求出斜邊上的正方形C的面積。接著將成果與同伴交流，學(xué)生代表發(fā)言?；顒?：分工1：（如圖3）請每個小組兩名組員試著將手中的已剪好的四個全等的四邊形拼成正方形B。 分工2：（如

5、圖4）另兩名組員再將同樣的四個四邊形和正方形A一起拼成一個大正方形C。 A 圖3 圖4 思考：1、等腰直角三角形（師）觀察圖5，對于等腰直角三角形，將正方形A、正方形B和已計算的正方形C的面積填入下表，它們的面積有什么關(guān)系？三角形 的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積一般直角三 角 形結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積2、直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形（師）觀察圖6，直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面積又有什么關(guān)系呢？三角形 的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積等腰直角三 角 形結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積3

6、、任意直角三角形（師）那么，對于直角邊長不是整數(shù)的一般直角三角形上面的結(jié)論還成立嗎？（出示圖7）生合作：試著將已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如圖7所示的圖形。ACABC 圖7 圖8（師）同學(xué)們從活動中都得出正方形A、正方形B、正方形C面積有什么關(guān)系？ （生）小組交流，學(xué)生代表發(fā)言。結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積師點撥：這里的四個全等的四邊形是正方形B按如圖8所示的方法分割的。師小結(jié)：通過以上活動，我們發(fā)現(xiàn)以任意直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形面積之和都等于以斜邊為邊長的正方形面積。（師）下面我們運用幾何畫板進一步驗證上面的結(jié)論（改變直角三角形的三邊長度，

7、同學(xué)們發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立）。4、正方形面積與直角三角形三邊關(guān)系（師）若我們設(shè)兩條直角邊長分別為a、b，斜邊為c，你能用三角形的邊長來表示這三個正方形的面積嗎？（將正方形的面積和三角形的邊長聯(lián)系起來） （生）正方形A面積為a2，正方形B面積為b2，正方形C面積為c2。（師）你發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間有什么聯(lián)系？（生）分組討論，交流并發(fā)言。 結(jié)論：由于 正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積，所以 a2 + b2 = c2 即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。5、認識直角三角形三邊關(guān)系（師）利用幾何畫板展示任意直角三角形，我們發(fā)現(xiàn)：無論三邊長度如何變化，兩條直角邊的平方和總是等于斜邊平方

8、。 （師）請將上述結(jié)論用數(shù)學(xué)語言表述并符號化。（生）學(xué)生討論，交流并發(fā)言。 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 （師）在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。所以我國古代把上面的定理稱為“勾股定理”。再請學(xué)生看一看，讀一讀：早在三千多年前周朝數(shù)學(xué)家商高就提出勾三、股四、弦五，并在后來被記載在中國古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)之中，一千多年后西方的畢達哥拉

9、斯證明了此定理。 （設(shè)計意圖：在探索定理的過程中， 為了突出本節(jié)重點，解決難點，我將按下面兩個層次設(shè)計探索過程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三邊關(guān)系的研究，體現(xiàn)從特殊到一般的方法，第二方面引導(dǎo)學(xué)生用割、補等方法計算正方形C面積到用拼圖的方法探索直角三角形三邊關(guān)系，展示由簡單到復(fù)雜的思想，探索出勾股定理。）三、 回歸生活，應(yīng)用新知要求：面向全體學(xué)生，部分學(xué)生可選擇從自己需要的層次做起。 A層： 1、 在ABC中，C=90°(1)若a=8，b=6，則c= ; (2)若c=20，b=12，a= 。2、若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長的平方為（ ）A 25 B 14

10、C 7 D 7或25 3、情景探索小明的媽媽買來一部29英寸（74厘米）的電視機，小明量了電視機的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長46厘米寬，他認為售貨員搞錯了對不對？ （582=3364 462=2116 74.0325480）4、一根旗桿在離地9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高？（設(shè)計意圖：本層是基礎(chǔ)性習(xí)題，強化學(xué)生掌握在直角三角形中已知任意兩邊，都能利用勾股定理求出第三邊的重要解題方法，以及定理的實際應(yīng)用。以當堂檢測學(xué)生的達標情況。） B層： 1、 兩個邊長分別為4個單位和3個單位的正方形連在一起的“L”形紙片，請你剪兩刀，再將所得圖形拼成一個正方形。 2、做一

11、個長，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過的知識說明。（ 70.7125000 ） aabbcc（設(shè)計意圖：本層題目難度稍有提高，加強探索性和趣味性，以檢測學(xué)生對定理靈活運用能力。）C層：cbaacbcaac閱讀分析題：迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種。其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。下面我們一起來了解這一證法。b b此證明方法的核心思想是“面積之間的等量關(guān)系”。右圖是歷史上著名的“弦圖”，你能通過此圖

12、，利用面積之間的等量關(guān)系來證明勾股定理嗎？（設(shè)計意圖：本層題目面向?qū)W有余力的學(xué)生，注重思維開放性的培養(yǎng)。其中勾股定理總統(tǒng)證法和弦圖證法，不但拓展了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，而且使學(xué)生感受到勾股定理證明的博大精深。）四、 感悟收獲，布置作業(yè)：1、 你這節(jié)課的主要收獲是什么？2、 該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關(guān)系？3、在探索和驗證定理的過程中，我們運用了哪些方法？4、你最有興趣的是什么？你有沒有感到困難的地方？ （設(shè)計意圖：梳理本節(jié)課的重要方法和知識點，加深對本節(jié)知識的理解。）五、教學(xué)評價： 1、在探索勾股定理的過程中，老師應(yīng)了解學(xué)生的創(chuàng)造性的解題思路，并能給予充分的肯定，同時記錄在案。2、在分層訓(xùn)練中，對學(xué)生的不同水平的解答老師應(yīng)給于肯定和適當?shù)墓膭睿⒂涗浽谄涑砷L記錄袋中，以積累學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。六、課后作業(yè)：1、 將課堂訓(xùn)練和課本中未完成的題目練完。2、 在網(wǎng)上搜集有關(guān)勾股定理的資料和其它的驗證方法。參考網(wǎng)址 3、 利用周末去深圳科學(xué)館參觀“勾股弦定理”模型。六、設(shè)計說明：1、本節(jié)課是公式課，根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，我采用的教學(xué)流程是：提出問題實驗操作歸納驗證分層訓(xùn)練布置作業(yè)五部分，這一流程體現(xiàn)了知識發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數(shù)形結(jié)合