等腰三角形 要點(diǎn)全析

1、等腰三角形·要點(diǎn)全析1等腰三角形（isosceles triangle）有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形如圖14-3-1，ABC中，ABAC，則ABC是等腰三角形相等的兩條邊叫腰，另一條邊BC叫底邊，兩腰所夾的角叫頂角，如BAC，底邊和腰的夾角ABC和ACB叫底角如圖14-3-2中，C90°，ACBC，那么，AC、BC為腰，AB邊為底，A、B為底角，C為頂角【說明】要理解等腰三角形的定義，需注意以下幾點(diǎn)：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而頂角不一定在上方，如圖14-3-2中，AB為底，C為頂角它是根據(jù)兩腰的位置來確定的（2）等腰三角形的三邊仍要滿足條件：任意兩邊之和大于

2、第三邊（或任意兩邊之差小于第三邊）若圖14-3-1中，ABACm，BCa，則2ma，即m時(shí)，才能構(gòu)成三角形，否則不成立如邊長分別為2，2.5的三條線段不能構(gòu)成三角形，因?yàn)?25例如：（1）下列各組數(shù)據(jù)為邊長時(shí)，能否組成三角形？a2，b3，c5；a4，b3，c2；a1，b2，c2；a2 005，b2 004，c2 008（2）已知等腰三角形的兩邊為6 cm，7 cm，求其周長（3）已知等腰三角形的兩邊長為2 cm，7 cm，求其周長解：（1）由于235，即abc，而不滿足abc，不能組成三角形由于2354，即bca，所以a、b、c可以組成三角形由于122，即abc，所以a、b、c可以組成三角形由

3、于abc，因此a、b、c可以組成三角形（2）因等腰三角形的兩邊長分別為6 cm、7 cm當(dāng)腰長為6 cm時(shí)，周長為66719（cm）當(dāng)腰長為7 cm時(shí)，周長為67720（cm）等腰三角形的周長為19 cm或20 cm（3）因等腰三角形的兩邊長分別為2 cm，7 cm，所以腰長為7 cm，而不能是2 cm若為2 cm，則2247，不能組成三角形因此周長為77216（cm），等腰三角形的周長為16 cm2等腰三角形的性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角”）如圖14-3-3，ABC中，ABAC，則BC證法一：（利用軸對(duì)稱）過點(diǎn)A作ABC的對(duì)稱軸ADABAC，點(diǎn)A在BC的垂直平分線上又A

4、D為ABC的對(duì)稱軸，ABDACD（軸對(duì)稱性質(zhì)）BC證法二：（作頂角平分線）過點(diǎn)A作AD平分BAC交BC于D，如圖14-3-3，在ABD和ACD中ABDACD（SAS）BC【說明】還可以作底邊BC的中線和高來證明證法三：如圖14-3-4，過B、C分別作AC、AB邊上的高BD、CE，在ABD和ACE中，ABDACE（AAS）BDCE在RtBCD和RtCBE中，RtBCDRtCBE（HL）BC證法四：如圖14-3-5，分別取AB、AC的中點(diǎn)E、D，連接BD、CEABAC，ADDCAC，AEBEAB，ADBEAEDC在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）BDCE在BCE和CBD中BCECBD（SS

5、S）ABCACB【說明】從以上的證法二、三、四中可以看出，要證兩角相等，都是想方設(shè)法把它們放在兩個(gè)三角形中，證兩個(gè)三角形全等3等腰三角形的性質(zhì)2（簡稱“三線合一”）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線相互重合如圖14-3-6，在ABC中，ABAC，AD為頂角的平分線，那么AD既是中線，又是高線，這三條線重合在使用時(shí)，在這三條線段中，只要作出其中一條，另外兩條也就可以認(rèn)為作出來了即ABC中，ABAC，若AD平分BAC，則ADBC，BDCD；若BDCD，則ADBC，BADCAD；若ADBC，則BDDC，BADCAD因此，等腰三角形中的這條線非常重要，一旦作出，邊、角的等量關(guān)系就都有了

6、【說明】（1）“三線合一”僅限于等腰三角形中才有，其他三角形中沒有（2）在一般三角形中，這三條線是不會(huì)重合的如圖14-3-7，在ABC中，AD為高，AE為中線，AF平分BAC，因此，這三條線不重合只有等腰時(shí)，三條線才會(huì)重合；反過來，若某一三角形中三線重合，則該三角形為等腰三角形（3）在今后的證明題中，經(jīng)常會(huì)使用“三線合一”進(jìn)行證明例如：ABC中，ABAC，BDAC交AC于D，如圖14-3-8求證：BAC2DBC證法一：在BCD中，BDAC，BDC90°DBC90°C在ABC中，ABAC，ABCACBBAC180°（ABCACB）180°2ACB2（90&

7、#176;C）BAC2DBC證法二：借助于三線合一的性質(zhì)，過A作AMBC于M，則AM平分BAC，BAC2BAM2CAM.又BDAC交AC于D，AMBC交BC于M，DBC90°C又AMBC，CAM90°C，DBCCAM4等腰三角形的性質(zhì)3（軸對(duì)稱性）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在的直線就是它的對(duì)稱軸如圖14-3-9，ABC中，ABAC，AD平分BAC，則ABC的對(duì)稱軸為AD所在的直線，ABDACD過D作DEAB，交AB于E，作DFAC，交AC于F由ABDACD可知DEDF同理，過D分別作AB、AC邊上的中線和角平分線，它們都相等因此，得到等

8、腰三角形的一個(gè)重要結(jié)論重要結(jié)論：過等腰三角形底邊的中點(diǎn)向兩腰所作的高線、中線以及角平分線，其與兩腰所截得的線段都分別對(duì)應(yīng)相等5等腰三角形的性質(zhì)4（兩腰上的對(duì)應(yīng)線段相等）等腰三角形兩腰上的中線、高線和兩底角平分線對(duì)應(yīng)相等例如：如圖14-3-10，ABC中，ABAC，若BD、CE分別為AC、AB邊上的高線，則BDCE證明：ABAC，ABCACB（等邊對(duì)等角）又BDAC，CEAB，BDCCEB90°在BCD和CBE中，BCDCBE（AAS）BDCE或SABCAB·CEAC·BDABAC，BDCE此法較為簡便同樣道理，可分別作出兩腰上的中線，兩底角的平分線，它們也分別對(duì)應(yīng)

9、相等6等腰三角形的判定定理（等角對(duì)等邊）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”）例如：如圖14-3-11，ABC中，若BC，則ABAC證明：過點(diǎn)A作AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D，則BADCAD在ABD和ACD中，ABDACD（AAS）ABAC因此，這一結(jié)論可直接利用【說明】（1）在使用“等邊對(duì)等角”或“等角對(duì)等邊”時(shí)，一定要注意是在同一個(gè)三角形中才有這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，不在同一三角形中的邊、角沒有這一對(duì)應(yīng)關(guān)系（2）有了這一結(jié)論，為今后證明線段相等又添了一種重要的解題途徑例如：如圖14-3-12，ABC中，ABAC，BD、CE相交于O點(diǎn)且BECD求證：OBOC證明

10、：ABAC，ABCACB（等邊對(duì)等角）在BCE和CBD中BCECBD（SAS）BCECBD，即OBCBCOOBOC（等角對(duì)等邊）【說明】證兩條線段相等，若這兩條線段在同一個(gè)三角形中，可利用等腰三角形的判定定理來證明7已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形已知線段a、b，求作等腰三角形ABC，使底邊BCa，高為b作法：（1）作線段BCa；（2）作線段BC的垂直平分線MN與BC交于點(diǎn)D；（3）在MN上截取ADb；（4）連接AB、AC，ABC就是所求的等腰三角形【說明】（1）由作法知MN為BC的垂直平分線，ABACABC為等腰三角形，如圖14-3-13（2）以前所作的三角形分別為：已知三邊，兩邊夾角，

11、兩角夾邊和已知斜邊、直角邊求作三角形，今天又學(xué)習(xí)了已知底邊和底邊上的高求作等腰三角形，共有五種情況，今后還將學(xué)習(xí)一些更為復(fù)雜的作法，都是以這五種為基礎(chǔ)進(jìn)行作圖的8等邊三角形（equilateral triangle）（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形如圖14-3-14，ABC中，ABBCCA，則ABC為等邊三角形（2）性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°如圖14-3-14中，若ABC為等邊三角形，則ABC60°除此之外，還具有等腰三角形的一切性質(zhì)，如三線合一，軸對(duì)稱等（3）判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等

12、腰三角形是等邊三角形下面證明以上兩條判定判定：如圖14-3-15，已知ABC中，ABC求證：ABC是等邊三角形證明：BC，ABAC又ABACBCABACBC，ABC是等邊三角形判定：如圖14-3-15，已知ABC中，ABAC，B60°求證：ABC是等邊三角形證明：ABAC，BC又B60°，BC60°又ABC180°，A180°（BC）60°ABC，ABBCACABC為等邊三角形（4）應(yīng)用：例如：如圖14-3-16，ABC為等邊三角形，D、E為直線BC上的兩點(diǎn)，且BDBCCE，求DAE的度數(shù)分析：要求DAE的度數(shù)，需分開求，先求BAC，

13、再求DAB和CAE，由ABC為等邊三角形知BAC60°，又BDBC，而BCBA，則BDBA，ABD為等腰三角形，DDABABC30°同理可知，CAE30°解：ABC為等邊三角形，ABBCAC，BACABCACB60°又BDBC，BDBCABDABD，又ABCDDAB，ABC2DAB60°，DAB30°同理，CAE30°DAEDABBACCAE30°60°30°120°【說明】本題中用到了等邊三角形的性質(zhì)再如：如圖14-3-17，已知ABC為等邊三角形，D、E、F分別為ABC三邊上的點(diǎn)，

14、且BDCEAF，直線AD、BE、CF兩兩相交于點(diǎn)R、Q、P求證：PQR是等邊三角形分析：本題既用到了等邊三角形的性質(zhì)，又用到了其判定要證PQR為等邊三角形，證三邊相等難度較大，可考慮證其三角相等也可先證PQR60°，而PQRACQQAC，又因?yàn)锳CQBCF60°，只需證BCFDAC，由此可聯(lián)想證BCF與CAD全等證明：ABC為等邊三角形，BACABCBCA60°，ABBCCA又BDCEAF，BFDCAE在ABE和BCF和CAD中，ABEBCFCAD（SAS）ABEBCFCADACQBCF60°，ACQCAQ60°AQFACQCAQ60°

15、;，即PQR60°同理，RPQPRQ60°PQR為等邊三角形【說明】（1）此題證明思路比較清晰，只是步驟書寫較繁，書寫應(yīng)認(rèn)真；（2）在證明過程中用到了三個(gè)三角形全等的連等形式，可仿照兩個(gè)三角形全等的方式使用9含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半如圖14-3-18，在RtABC中，C90°，A30°，則BCAB，這一性質(zhì)反過來也成立即在RtABC中，C90°，若BCAB，則A30°因此RtABC中，C90°，A30°BCAB這一性質(zhì)在

16、解題中經(jīng)常用到例如：如圖14-3-19，在RtABC中，BAC為直角，高AD交BC于D，B30°，BC12米，求CD，BD的長解：在RtABC 中，BAC90°，B30°，C60°，BC2ACACBC6（米）在RtACD中，ADBC，C60°，CAD30°DCAC×63（米）BDBCDC961239（米）【說明】在本題中兩次用到直角三角形的這一性質(zhì)，并且用的方式都一樣10證明線段相等的方法到目前為止，學(xué)過的證明線段相等的方法，有以下幾種：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等（在兩個(gè)三角形中）（2）等角對(duì)等邊（在一個(gè)三角形中）（3）軸

17、對(duì)稱的性質(zhì)（在某條直線的兩側(cè)）（4）角平分線的性質(zhì)（在角的平分線上的兩條線段）（5）中點(diǎn)的概念（在一條直線上）（6）利用第三條等量線段（7）作輔助線、創(chuàng)造條件例如：如圖14-3-20，點(diǎn)D、E在BC上，ABAC，ADAE求證：BDCE分析：因BD與CE在一條直線上，且又在兩個(gè)三角形中，可考慮證兩個(gè)三角形全等或用中點(diǎn)的概念進(jìn)行證明，也可用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行證明證法一：用全等三角形ABAC，BC又ADAE，ADFAEF又ADFBBAD，AEFCCAE，BADCAE在ABD和ACE中，ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS）BDCE證法二：用中線如圖14-3-20，過A點(diǎn)作AFBC于F

18、ABAC，AFBC，BFCF（三線合一）又ADAE，AFDE，DFEF（三線合一）BFDFCFEF，BDCE證法三：用軸對(duì)稱過A作BC邊上的垂線，垂足為FABAC，AFBC，ABC關(guān)于直線AF對(duì)稱，BFCF同理，DFEFBFDFCFEF即BDCE【說明】從以上的證明可以看出，一個(gè)結(jié)論有多種證明途徑和證明方法11證明角相等的方法到目前為止，學(xué)過的證明角相等的方法，有以下幾種：（1）角平分線的定義及性質(zhì)（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（在兩個(gè)三角形中）（3）等邊對(duì)等角（在一個(gè)三角形中）（4）軸對(duì)稱的性質(zhì)（5）找第三等量角（如AC，BC，則AB）（6）作輔助線，創(chuàng)造條件例如：如圖14-3-21，ABC中

19、，ABAC，12求證：BADCAD分析：要證BADCAD，因兩角在兩個(gè)三角形中，可考慮選用全等三角形和角平分線，以及軸對(duì)稱進(jìn)行證明證法一：用全等三角形12，DBDC在ABD和ACD中，ABAC，DBDC，ADAD，ABDACD（SSS）BADCAD證法二：用軸對(duì)稱12，DBDC點(diǎn)D在BC的垂直平分線上又ABAC，A點(diǎn)也在BC的垂直平分線上ABD與ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱BADCAD（軸對(duì)稱的性質(zhì)）證法三：用角平分線12，DBDC又ABAC，點(diǎn)A、D都在BC的垂直平分線上AD也為BAC的平分線（三線合一）BADCAD例如：如圖14-3-22，ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交

20、BC的延長線于F求證：BCAF分析：要證BCAF，根據(jù)全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分線也用不上，可考慮用第三等量角證明：EF垂直平分AD，F(xiàn)AFD134又ADC為ABD的外角，1B2B234又23，B4即BCAF12三角形中的不等關(guān)系（1）大邊對(duì)大角：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么這兩條邊所對(duì)的角也不等，并且較大的邊所對(duì)的角也較大，簡稱“大邊對(duì)大角”如圖14-3-23，在ABC中，若ABAC，則CB（2）大角對(duì)大邊：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不等，并且較大的角所對(duì)的邊較大，簡稱“大角對(duì)大邊”如圖14-3-23，在ABC中，若CB，則ABAC【說明】（1

21、）上述兩個(gè)定理的使用條件是在一個(gè)三角形中，否則不成立；（2）上述不等關(guān)系具有傳遞性，即ABC中的三邊分別為a、b、c，若ab，bc則ac；同樣所對(duì)的角也如此若ABC中，AB，BC，則AC例如：判斷下列說法是否正確，為什么？（1）在一個(gè)三角形中，若最長邊所對(duì)的角為銳角，則此三角形為銳角三角形（2）直角三角形中，斜邊最長（3）鈍角三角形中，鈍角所對(duì)的邊不一定是最長邊分析：此題目的在于考查三角形中邊、角不等關(guān)系的靈活應(yīng)用情況解：（1）正確因最長邊對(duì)的角是最大角，而最大角是銳角，那么這個(gè)三角形一定是銳角三角形（2）正確因?yàn)橹苯侨切沃?，直角最大，那么斜邊?yīng)是最長的（3）不正確因?yàn)殁g角三角形中，鈍角最大，它所對(duì)的邊應(yīng)該最大，所以，上述說法不正確再如：已知ABC中，ABAC，AD為BC邊上的中線求證：BADCAD分析：要比較兩個(gè)角的大小，需將其放入同一個(gè)三角形中如何放入一個(gè)三角形中，通常采用平移法，延長AD至E，使DEAD，連接BE，則BDECDA，有ECAD，BEAC，在ABE中，ABBE則EBAD，即BA