二次函數(shù)根的分布和最值

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程根的分布情況設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見(jiàn)下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個(gè)根小于，一個(gè)大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根

2、在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時(shí)，； （2）時(shí)，對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說(shuō)明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時(shí)不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因?yàn)?，所以，另一根為，由得即為所求?方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，即，此時(shí)由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，

3、求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當(dāng)時(shí)，根，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。例4、已知二次方程只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個(gè)正根，則 即為所求范圍。（

4、注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在內(nèi)，由計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大）1二次函數(shù)及圖象設(shè)有一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，判別式=b2-4ac，當(dāng)0時(shí)y=f(x)與x軸有二交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，y=f(x)與x軸僅有一交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，y=f(x)與x軸無(wú)交點(diǎn)當(dāng)0時(shí)，設(shè)y=f(x)圖象與x軸兩交點(diǎn)為x1x2一元二次函數(shù)y=f(x)與x軸交點(diǎn)x1，x2就是相應(yīng)一元二次方程f(x)=0的兩根觀察圖象不難知道圖像為觀察圖象不難知道=0，a0, =0，a0當(dāng)0時(shí)，y=f(x)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)，其圖象為觀察圖象不難知道a0時(shí),絕對(duì)不等式f(x)0解為xRa0時(shí),絕對(duì)不等式f

5、(x)0解為xR2討論一元二次方程的根的分布情況時(shí)，往往歸結(jié)為不等式（組）的求解問(wèn)題，其方法有3種：（1）應(yīng)用求根公式；（2）應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系；（3）應(yīng)用二次函數(shù)圖象在進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)保證這種轉(zhuǎn)化的等價(jià)性就這三種方法而言，應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)應(yīng)是比較簡(jiǎn)捷的一種方法設(shè)f（x）=ax2bxc（a0），方程ax2bxx=0的個(gè)根為，（），m，n為常數(shù)，且nm，方程根的分布無(wú)外乎兩種情況：，同居一區(qū)間時(shí)，不但要考慮端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮三、好題解給你(1) (1)  預(yù)習(xí)題1. 設(shè)有一元二次函數(shù)y2x2-8x+1試問(wèn)，當(dāng)x3，4時(shí)，隨x變大，y的值變大還是變??？由此yf(x)在3，4上的

6、最大值與最小值分別是什么？解：經(jīng)配方有y2(x-2)2-7對(duì)稱軸x2，區(qū)間3，4在對(duì)稱軸右邊，yf(x)在3，4上隨x變大，y的值也變大，因此ymax=f(4)1yminf(3)-52.設(shè)有一元二次函數(shù)y2x2-4ax+2a2+3試問(wèn)，此函數(shù)對(duì)稱軸是什么？當(dāng)x3，4時(shí)，隨x變大，y的值是變大還是變??？與a取值有何關(guān)系？由此，求yf(x)在3，4上的最大值與最小值解：經(jīng)配方有y2(x-a)2+3對(duì)稱軸為x=a當(dāng)a3時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間3，4在對(duì)稱軸的右邊，因此，當(dāng)x3，4時(shí)，隨x變大，y的值也變大當(dāng)3a4時(shí)，對(duì)稱軸x=a在區(qū)間3，4內(nèi)，此時(shí)，若3xa，隨x變大，y的值變小，但若ax4，隨x變大，y的值變

7、大當(dāng)4a時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間3，4在對(duì)稱軸的左邊，因此，當(dāng)x3，4時(shí)，隨x變大，y的值反而變小根據(jù)上述分析，可知當(dāng)a3時(shí)，ymax=f(4)=2a2-16a+35ymin=f(3)2a2-12a+21當(dāng)3a4時(shí)，yminf(a)3其中，a3.5時(shí)，ymaxf(4)2a2-16a+35a3.5時(shí)，ymaxf(3)2a2-12a+21當(dāng)a4時(shí)，ymaxf(3)2a2-12a+21yminf(4)2a2-16a+35(2) (2)  基礎(chǔ)題例1設(shè)有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)0試問(wèn)：(1)m為何值時(shí)，有一正根、一負(fù)根(2)m為何值時(shí)，有一根大于1、另一根小于1(3)m為何值時(shí)，有兩

8、正根(4)m為何值時(shí)，有兩負(fù)根(5)m為何值時(shí)，僅有一根在1，4內(nèi)？解：(1)設(shè)方程一正根x2，一負(fù)根x1，顯然x1、x20，依違達(dá)定理有m+20 m-2反思回顧：x1、x20條件下，ac0，因此能保證0(2)設(shè)x11，x21，則x1-10，x2-10只要求(x1-1)(x2-1)0，即x1x2-(x1+x2)+10依韋達(dá)定理有(m+2)+2(m-1)+10(3)若x10，x20，則x1+x20且x1，x20,故應(yīng)滿足條件依韋達(dá)定理有(5)由圖象不難知道，方程f(x)0在3，4內(nèi)僅有一實(shí)根條件為f(3)·f(4)0，即9+6(m-1)+(m+2)·16+8(m-1)+(m+

9、2)0(7m+1)(9m+10)0例2. 當(dāng)m為何值時(shí)，方程 有兩個(gè)負(fù)數(shù)根？解：負(fù)數(shù)根首先是實(shí)數(shù)根， ，由根與系數(shù)關(guān)系：要使方程兩實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，必須且只需兩根之和為負(fù)，兩根之積為正由以上分析，有即 當(dāng) 時(shí)，原方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根 (3) (3)  應(yīng)用題例1. m取何實(shí)數(shù)值時(shí)，關(guān)于x的方程x2+（m-2）x5-m=0的兩個(gè)實(shí)根都大于2？解：設(shè)f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如圖原方程兩個(gè)實(shí)根都大于2所以當(dāng)-5m-4時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根大于2例2已知關(guān)于x方程：x2-2axa0有兩個(gè)實(shí)根，且滿足01，2，求實(shí)根a的取值范圍解：設(shè)f（x）=x2-2axa，則方程f（x）=0的兩

10、個(gè)根，就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖01，2的條件是：1，2例3m為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程x2+（m-2）x5-m=0的一個(gè)實(shí)根大于2，另一個(gè)實(shí)根小于2.解：設(shè)f（x）=x2（m-2）x5-m，如圖，原方程一個(gè)實(shí)根大于2，另一個(gè)實(shí)根小于2的充要條件是f（2）0，即42（m-2）5-m0解得m-5所以當(dāng)m-5時(shí)，方程的一個(gè)實(shí)根大于2，另一個(gè)實(shí)根小于2(4) (4)  提高題例1已知函數(shù) 的圖象都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：（1）當(dāng) ，則所給函數(shù)為二次函數(shù)，圖象滿足：  ，即 解得： （2）當(dāng) 時(shí)， 若 ，則 的圖象不可能都在x軸上方， 若 ，則y=

11、3的圖象都在x軸上方由（1）（2）得： 反思回顧：此題沒(méi)有說(shuō)明所給函數(shù)是二次函數(shù)，所以要分情況討論 例2已知關(guān)于x的方程（m-1）x2-2mxm2+m-6=0有兩個(gè)實(shí)根，且滿足01，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：設(shè)f(x)=x2-2mx+m2m-6，則方程f（x）=0的兩個(gè)根，就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)如圖，01的條件是解得例3已知關(guān)于x的方程3x2-5xa=0的有兩個(gè)實(shí)根，滿足條件（-2，0），（1，3），求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)f（x）=3x2-5xa，由圖象特征可知方程f（x）=0的兩根，并且（-2，0），（1，3）的解得-12a0四、課后演武場(chǎng)1.已知方程(m-1)x2+3

12、x-1=0的兩根都是正數(shù)，則m的取值范圍是（ B ）A B C D 2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比-1小，則m的取值范圍是（ C ）A0m2B-3m1C-2m0D-1m13.已知方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ C ）A B C D 4已知關(guān)于x的方程3x2+（m-5）x7=0的一個(gè)根大于4，而另一個(gè)根小于4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要條件是：f（4）0）5已知關(guān)于x的方程x22mx2m3=0的兩個(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍征可知方程f（x）=0的兩根都在（0，2）內(nèi)的充要

13、條件是2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值問(wèn)題探討設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對(duì)于開(kāi)口向下的情況，討論類似。其實(shí)無(wú)論開(kāi)口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上時(shí)，自變量的取值離開(kāi)對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過(guò)來(lái)，當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向下時(shí)，自變量的取值離開(kāi)對(duì)稱軸軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無(wú)非就是從三個(gè)方面入手：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三個(gè)例題各代表一種情況。例1、函數(shù)在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對(duì)稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上

14、單調(diào)。（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故 ；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故 例2、求函數(shù)的最小值。解：對(duì)稱軸（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，改：1本題若修改為求函數(shù)的最大值，過(guò)程又如何？解：（1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，。 2本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行？ 解：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)， ，；（3）當(dāng)時(shí)，；（4）當(dāng)時(shí)， ，。 例3、求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。解：對(duì)稱軸（1）當(dāng)即時(shí)，；（2）當(dāng)即時(shí)，；（3）當(dāng)即時(shí)，例4、討論函數(shù)的最小值。解：，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，由于上下兩段上的對(duì)稱軸分別為直線，當(dāng)，時(shí)原函數(shù)的圖象分別如下（1），（2），（3）因此，（1）當(dāng)時(shí)，；

15、（2）當(dāng)時(shí)，； （3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)根的分布二次函數(shù)根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用。下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹二次函數(shù)根的分布的充要條件及其運(yùn)用。一一元二次方程根的基本分布零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程（）的兩個(gè)實(shí)根為，且。【定理1】例1若一元二次方程有兩個(gè)正根，求的取值范圍。

16、【定理2】【定理3】例3 在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根？【定理4】 1)，且；2)，且。例4若一元二次方程有一根為零，則另一根是正根還是負(fù)根？二一元二次方程的非零分布分布設(shè)一元二次方程（）的兩實(shí)根為，且。為常數(shù)。則一元二次方程根的分布（即，相對(duì)于的位置）有以下若干定理?！径ɡ?】【定理2】【定理3】【定理4】有且僅有（或）【定理5】或此定理可直接由定理4推出，請(qǐng)自證?！径ɡ?】，則或1.方程x2+2px+1=0有一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，求p的取值范圍2.若關(guān)于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的兩實(shí)根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實(shí)數(shù)k的取值范圍3.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0僅有一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍4.若關(guān)于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，求k的取值范圍5.已知集合A=x|x2+(2-a)x+1=0，若AR+，求a