二輪復(fù)習(xí)專題四：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

1、構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例1】 已知函數(shù)，求證：當(dāng)時，恒有分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明?！窘狻?當(dāng)時，即在上為增函數(shù) 當(dāng)時，即在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間于是函數(shù)在上的最

2、大值為，因此，當(dāng)時，即 （右面得證），現(xiàn)證左面，令， 當(dāng) ，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，當(dāng)時，即，綜上可知，當(dāng) 【警示啟迪】如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（小）值，則有（或），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過就可得證2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù) 求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；分析：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方問題，即，只需證明在區(qū)間上，恒有成立，設(shè)，考慮到要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)時，這只要證明： 在區(qū)間是增函數(shù)即可?！窘狻吭O(shè)，即，則=當(dāng)時，=從而在上為增函數(shù)，當(dāng)時 ，即，故在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方?！揪締⒌稀勘绢}首先根據(jù)題意構(gòu)造

3、出一個函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式 都成立. 分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，恒有成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明?！窘狻苛?，則在上恒正，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，恒有 即，對任意正整數(shù)n，取【警示啟迪】我們知道，當(dāng)在上單調(diào)遞增，則時，有如果，要證明當(dāng)時，那么，只要令，就可以利用的單調(diào)增性來推導(dǎo)也就是說，在可導(dǎo)的前提下，只要

4、證明即可4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=在R上可導(dǎo)且滿足不等式x>恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：a>b【解】由已知 x+>0 構(gòu)造函數(shù) ， 則 x+>0， 從而在R上為增函數(shù)。 即 a>b【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項(xiàng)后，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)。5、主元法構(gòu)造函數(shù)例（全國）已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的最大值；(2) 設(shè),證明 ：.分析：對于（II）絕大部分的學(xué)生都會望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)

5、與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.證明如下：證明：對求導(dǎo),則.在中以b為主變元構(gòu)造函數(shù),設(shè),則.當(dāng)時，,因此在內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)時,因此在上為增函數(shù).從而當(dāng)時, 有極小值.因?yàn)樗?即又設(shè).則.當(dāng)時,.因此在上為減函數(shù).因?yàn)樗?即.6、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性例已知函數(shù)(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x0時,f(x)>1+x解：(1)f(x) aex，（）在上為增函數(shù)，f(x)對恒成立，即-

6、對恒成立記（）-，則()-=(1-x)e-x，當(dāng)時，（），當(dāng)時，（）知（）在(-,1)上為增函數(shù),在(1,+ )上為減函數(shù), g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e,即a的取值范圍是1/e, + ) (2)記F(X)=f(x) (1+x) =則F(x)=ex-1-x,令h(x)= F(x)=ex-1-x,則h(x)=ex-1當(dāng)x>0時, h(x)>0, h(x)在(0,+ )上為增函數(shù),又h(x)在x=0處連續(xù), h(x)>h(0)=0即F(x)>0 ,F(x) 在(0,+ )上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), F(x)>

7、;F(0)=0,即f(x)>1+x小結(jié)：當(dāng)函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法7.對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)8.構(gòu)造形似函數(shù)例：證明當(dāng)例：已知m、n都是正整數(shù)，且證明：【思維挑戰(zhàn)】 1、（2007年，安徽卷） 設(shè)求證：當(dāng)時，恒有，2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)其中a>0，且， 求證：3、已知函數(shù)，求證：對任意的正數(shù)、， 恒有4、（2007年，陜西卷）是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有 （ ）（A）af (b)bf (a)（B）bf (a)af (b)（C）af (a)f (b)（D）bf (b)f (a)【答案咨詢】1、提示：，當(dāng)，時，不難證明 ，即在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時， ，當(dāng)時，恒有2、提示：設(shè)則 = ， 當(dāng)時， 故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，于是函數(shù) 在上的