二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

1、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題浙江省永康市古山中學(xué)（321307） 吳汝龍二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題是同學(xué)們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識之一，學(xué)習(xí)這節(jié)同學(xué)們主要應(yīng)該注意掌握好四個知識點：一是二元一次不等式表示平面區(qū)域與由平面區(qū)域確定二元一次不等式組；二是有關(guān)線性規(guī)劃的概念；三是簡單的線性規(guī)劃問題；四是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用.下面，我們就這四個知識點的內(nèi)容分別提醒同學(xué)們應(yīng)該弄清的問題.一、要了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區(qū)域）邊界的概念及實線、虛線邊界的含義，會用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域。我們知道，坐標平面內(nèi)的一條直線把整個平面分成三部

2、分，即直線兩側(cè)的點集及直線上的點集，它們構(gòu)成不同的平面區(qū)域。把平面內(nèi)的任意一點的坐標代入三項式，得到一個實數(shù)，或大于0，或等于0，或小于0。1一般地，二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側(cè)的所在點組成的平面區(qū)域（半平面），不含邊界直線，不等式所表示的平面區(qū)域（半平面），包括邊界直線。2對于直線同一側(cè)的所有點，使得的值的符號相同，也就是位于同一平面的點，其坐標適合同一個不等式（或）0；而位于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標適合另一個不等式（或）0。一般地，若（），則當(dāng)時，表示點在直線的上方；當(dāng)時，表示點在直線的下方。若（），與上述情況相反。3判斷不等式所表示的平面區(qū)域，可在直線的某一側(cè)的半平面

3、內(nèi)選取一個特殊點，如選原點或坐標軸上的點來驗證的符號的正負，當(dāng)時，常選用原點。例如判斷所表示的平面區(qū)域時，可選原點，將其坐標代入，不適合此不等式，說明原點一定不在不等式所表示的區(qū)域內(nèi)，于是不等式所表示的應(yīng)是直線與原點異側(cè)的半平面（不包括邊界）。4由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。5逆用不等式（組）確定平面區(qū)域的方法：“直線定界，特殊點定域”，注意運用兩點法確定直線方程，并且注意實、需線的區(qū)分。例1：畫出不等式組表示的平面區(qū)域。分析：由于所求平面區(qū)域的點坐標要同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部

4、分。解：不等式表示直線下方的區(qū)域；不等式表示直線上方的區(qū)域。取兩區(qū)域重疊的部分就是不等式組所表示的區(qū)域。圖中的陰影部分就是（不包括直線）。點評：解題的關(guān)鍵在于正確的描繪出邊界直線，然后根據(jù)給出的不等式，利用所在直線外任一特殊點，（一般選用點、或）判斷出所表示的平面區(qū)域。二、要了解線性規(guī)劃的有關(guān)概念1約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的約束條件。2線性約束條件：關(guān)于，的一次不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件。3目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式。目標函數(shù)（、不全為零），當(dāng)時，由，得，這樣，二元一次函數(shù)就可視為斜率為，在軸上截距為，且隨變化的一族

5、平行線。于是，把求的最大值和最小值的問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點時，直線在軸上的截距的最大值或最小值問題。對線性目標函數(shù)中的的符號一定要注意。當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸上截距最小時，值最小；當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大。4線性目標函數(shù)：目標函數(shù)為，的一次解析式。5線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題。6可行解：滿足線性約束條件的解。7可行域：所有可行解組成的集合?？尚杏蚓褪嵌淮尾坏仁浇M所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域。8最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或

6、最小值的可行解。最優(yōu)解的求法：如果可行域是一個多邊形，那么一般在某頂點處使目標函數(shù)取得最大值或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個頂點，到底哪個頂點為最優(yōu)解，可有兩種確定方法：一是將目標函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷。若圍成可行域的直線，的斜率分別為，而且目標函數(shù)的直線的斜率為，則當(dāng)時，直線與相交的頂點一般是最優(yōu)解。特別地，當(dāng)表示線性目標函數(shù)的直線與可行域的某條邊平行時（），其最優(yōu)解可能有無數(shù)個。若實際問題要求的最優(yōu)解（近似解）時，應(yīng)進行適當(dāng)調(diào)整，其方法是應(yīng)以與線性目標函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整數(shù)點

7、，不要在用圖解法所得的近似解附近尋找。三、簡單線性規(guī)劃問題的求解簡單線性規(guī)劃問題一般用圖解法求解，用圖解法解決簡單線性規(guī)劃問題的一般步驟是：分析并將已知數(shù)據(jù)填入表格；確定線性約束條件；確定線性目標函數(shù)；畫出可行域；利用線性目標函數(shù)（直線）求出最優(yōu)解；實際問題需要整數(shù)解時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解。例2：設(shè)，滿足約束條件，求的最大值。分析：先畫出可行域，在可行域內(nèi)尋找最優(yōu)解。解：先畫出滿足約束條件的可行域，如圖的陰影部分， ，求的最大值，即求在約束條件下，斜率為的直線在軸上截距的最大值，可見當(dāng)直線過時，在軸上截距最大。點評：解題的關(guān)鍵在于正確的描繪出邊界直線，然后根據(jù)給出的不等式組，利用所在直線外任

8、一特殊點，確定可行域，最后找到直線在軸上截距的最大值。四、簡單線性的應(yīng)用在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型；給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源量最?。唤o定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大。不管是哪種類型，解線性規(guī)劃的實際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性約束條件及線性目標函數(shù)，然后作出可行域，在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解。例3：某公司的倉庫A存有貨物12噸，倉庫B存有貨物8噸，現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調(diào)運給甲、乙、丙三個商店，從倉庫A運貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運費分別為8元、6元、9元；從倉庫B運貨物到商

9、店甲、乙、丙，每噸貨物的運費分別為3元、4元、5元，問應(yīng)如何安排調(diào)運方案，才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最??？分析：商品將實際問題的一般語言翻譯成數(shù)學(xué)語言可得下表（即運費表，單位：元）每噸運費倉庫甲乙丙A869B345解：設(shè)倉庫A運給甲、乙商店的貨物分別為噸、噸，則倉庫A運給丙商店的貨物為噸；從而倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物應(yīng)分別為噸、噸、噸，于是總運費為，從而將問題轉(zhuǎn)化為求總運費在約束條件，即下的最小值。作出上述不等式組所表示的可行域，如圖所示。作出直線：，把直線作平行移動，顯然當(dāng)直線移動到過點A時，在可行域內(nèi)，取得最小值，即，時，總運費最小。答：倉庫A運給甲、乙、丙商店的貨物

10、分別為0噸、8噸、4噸，；倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物應(yīng)分別為7噸、0噸、1噸時，可使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最小。點評：利用線性規(guī)劃解決實際問題的一般步驟為：模型建立（就是把一般語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言）；模型求解；模型應(yīng)用。例3：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品需要電力、煤、勞動力及產(chǎn)值如下表所示；品種電力（千度）煤（噸）勞動力（人）產(chǎn)值（千元）甲2357乙85210該廠的勞動力滿員200人，根據(jù)限額每天用電不得超過160千度，用煤不得超過150噸時，問每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各幾噸，才能創(chuàng)造最大的經(jīng)濟價值？分析： 本題已經(jīng)建立好了數(shù)學(xué)模型，只要直接利用線性規(guī)劃的知識去求解就可以。解：設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品噸，乙種產(chǎn)品噸，所創(chuàng)造價值千元，由題意得： 目標函數(shù)為，作出可行域，如圖所示，把直線：向右上方平移到的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點P，此時，取最大值。解方程組得點P的坐標為。答：每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品噸，乙種產(chǎn)品噸時，才能創(chuàng)造最大的經(jīng)濟價值。點評：確定實際問題的最優(yōu)解，要注意結(jié)合所建立的目標函數(shù)的特點而選定可行域中的特殊點作為最優(yōu)解。附作者簡介：吳汝龍，浙江省永