數(shù)學(xué)的公理化

1、.數(shù)學(xué)的公理化十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，數(shù)學(xué)已開展成為一門龐大的學(xué)科，經(jīng)典的數(shù)學(xué)部門已經(jīng)建立起完好的體系：數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)家開場(chǎng)探訪一些根底的問題，例如什么是數(shù)？什么是曲線？什么是積分？什么是函數(shù)？另外，怎樣處理這些概念和體系也是問題。經(jīng)典的方法一共有兩類。一類是老的公理化的方法，不過非歐幾何學(xué)的開展，各種幾何學(xué)的開展暴露出它的許多缺點(diǎn)；另一類是構(gòu)造方法或生成方法，這個(gè)方法往往有局限性，許多問題的解決不能靠構(gòu)造。尤其是涉及無窮的許多問題往往靠邏輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無法斷定的。對(duì)于根底概念的分析研究產(chǎn)生了一系列新領(lǐng)域抽象代數(shù)學(xué)、拓

2、撲學(xué)、泛函分析、測(cè)度論、積分論。而在方法上的完善，那么是新公理化方法的建立，這是希爾伯特在1899年首先在?幾何學(xué)根底?中做出的。1初等幾何學(xué)的公理化十九世紀(jì)八十年代，非歐幾何學(xué)得到了普遍成認(rèn)之后，開場(chǎng)了對(duì)于幾何學(xué)根底的討論。當(dāng)時(shí)已經(jīng)非常清楚，歐幾里得體系的缺點(diǎn)很多：首先，歐幾里得幾何學(xué)原始定義中的點(diǎn)、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學(xué)運(yùn)用許多直觀的概念，如“介于之間等沒有嚴(yán)格的定義；另外，對(duì)于公理系統(tǒng)的獨(dú)立性、無矛盾性、完備性沒有證明。在十九世紀(jì)八十年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家巴士提出一套公理系統(tǒng)，提出次序公理等重要概念，不過他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒有，因此他公理系統(tǒng)不夠完美。而

3、且他也沒有系統(tǒng)的公理化思想，他的目的是在其他方面想通過理想元素的引進(jìn)，把度量幾何包括在射影幾何之中。十九世紀(jì)八十年代末期起，皮亞諾和他的學(xué)生們也進(jìn)展了一系列的研究。皮亞諾的公理系統(tǒng)有局限性；他的學(xué)生皮埃利的“作為演繹系統(tǒng)的幾何學(xué)1899，由于根本概念太少只有“點(diǎn)和“運(yùn)動(dòng)而把必要的定義和公理弄得極為復(fù)雜，以致整個(gè)系統(tǒng)的邏輯關(guān)系極為混亂。希爾伯特的?幾何學(xué)根底?的出版，標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化新時(shí)期的到來。希爾伯特的公理系統(tǒng)是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深化地影響其后數(shù)學(xué)根底的開展，他這部著作重版屢次，已經(jīng)成為一本廣為流傳的經(jīng)典文獻(xiàn)了。希爾伯特的公理系統(tǒng)與歐幾里得及其后任何公理系統(tǒng)的不同之

4、處，在于他沒有原始的定義，定義通過公理反映出來。這種思想他在1891年就有所透露。他說：“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點(diǎn)、線、面。當(dāng)然，他的意思不是說幾何學(xué)研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學(xué)中，點(diǎn)、線、面的直觀意義要拋掉，應(yīng)該研究的只是它們之間的關(guān)系，關(guān)系由公理來表達(dá)。幾何學(xué)是對(duì)空間進(jìn)展邏輯分析，而不訴諸直觀。希爾伯特的公理系統(tǒng)包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個(gè)公理，為關(guān)聯(lián)公理附屬公理；第二組四個(gè)公理，為次序公理；第三組五個(gè)公理；第四組是平行公理；第五組二個(gè)，為連續(xù)公理。希爾伯特在建立公理系統(tǒng)之后，首要任務(wù)是證明公理系統(tǒng)的無矛盾性。這個(gè)要求很自然，否那么假如從這個(gè)公理系統(tǒng)中推出互

5、相矛盾的結(jié)果來，那么這個(gè)公理系統(tǒng)就會(huì)毫無價(jià)值。希爾伯特在?幾何學(xué)根底?第二章中證明了他的公理系統(tǒng)的無矛盾性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術(shù)模型。實(shí)際上，由解析幾何可以把點(diǎn)解釋為三數(shù)組可以理解為坐標(biāo)x、y、z，直線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個(gè)公理的。因此，公理的推論假設(shè)出現(xiàn)矛盾，那么必定在實(shí)數(shù)域的算術(shù)中表現(xiàn)出來。這就把幾何學(xué)公理的無矛盾性變成實(shí)數(shù)算術(shù)的無矛盾性。其次，希爾伯特考慮了公理系統(tǒng)的獨(dú)立性，也就是說公理沒有多余的。一個(gè)公理假如由其他公理不能推出它來，它對(duì)其他公理是獨(dú)立的。假設(shè)把它從公理系統(tǒng)中刪除，那么有些結(jié)論就要受到影響。希爾伯特證明獨(dú)立性的方法

6、是建造模型，使其中除了要證明的公理比方說平行公理之外其余的公理均成立，而且該公理的否認(rèn)也成立。由于這些公理的獨(dú)立性和無矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變?yōu)榉裾J(rèn)，并由此得出新的幾何學(xué)。比方平行公理換成其否認(rèn)就得到非歐幾何學(xué)；阿基米德公理大意是一個(gè)短線段經(jīng)過有限次重復(fù)之后，總可以超出任意長(zhǎng)的線段換成非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學(xué)。希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基米德幾何學(xué)的種種性質(zhì)。希爾伯特對(duì)初等幾何公理的無矛盾性是相對(duì)于實(shí)數(shù)的無矛盾性，因此自然要進(jìn)一步考慮實(shí)數(shù)系的公理化及其無矛盾性，于是首當(dāng)其沖的問題是算術(shù)的公理化。2算術(shù)的公理化數(shù)學(xué)，顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué)。自然數(shù)和它的計(jì)算算術(shù)

7、是數(shù)學(xué)最明顯的出發(fā)點(diǎn)。歷史上不少人認(rèn)為，所有經(jīng)典數(shù)學(xué)都可以從自然數(shù)推導(dǎo)出來?？墒?，一直到十九世紀(jì)末，卻很少有人解釋過什么是數(shù)？什么是0？什么是1？這些概念被認(rèn)為是最根本的概念，它們是不是還能進(jìn)一步分析，這是一些數(shù)學(xué)家關(guān)心的問題。因?yàn)橐坏┧阈g(shù)有一個(gè)根底，其他數(shù)學(xué)部門也就可以安安穩(wěn)穩(wěn)建立在算術(shù)的根底上。什么東西可以做為算術(shù)的根底呢？在歷史上有三種方法：康托爾的基數(shù)序數(shù)理論，他把自然數(shù)建立在集合論的根底上，并把自然數(shù)向無窮推廣；弗雷格和羅素把數(shù)完全通過邏輯詞匯來定義，把算術(shù)建立在純邏輯的根底上；用公理化的方法通過數(shù)本身的性質(zhì)來定義，其中最有名的是皮亞諾公理。在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方

8、法是準(zhǔn)備向有理數(shù)、實(shí)數(shù)方面推廣，為數(shù)學(xué)分析奠定根底。他們也都注意到邏輯是根底，但都有非邏輯公理。1888年，戴德金發(fā)表?什么是數(shù)，什么是數(shù)的目的？?一文，闡述他的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。他把算術(shù)代數(shù)、分析看成邏輯的一部分，數(shù)的概念完全不依賴人對(duì)空間、時(shí)間的表象或直覺。他說“數(shù)是人類心靈的自由創(chuàng)造，它們做為一個(gè)工具，能使得許許多多事物能更容易、更準(zhǔn)確地板掌握。而創(chuàng)造的方法正是通過邏輯。他的定義是純邏輯概念類system，類的并與交，類之間的映射，相似映射不同元素映到不同元素等等。通過公理定義，戴德金證明數(shù)學(xué)歸納法。但是他沒有可以直接從純邏輯名詞來定義數(shù)。1889年，皮亞諾發(fā)表他的?算術(shù)原理：新的闡述方法?，其

9、中明顯地做了兩件事：第一，把算術(shù)明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號(hào)來表達(dá)。后來皮亞諾刻劃數(shù)列也同弗雷格一樣是從0開場(chǎng)，但是他對(duì)數(shù)的概念也同戴德金一樣，是考慮序數(shù)。皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數(shù)學(xué)結(jié)果，他編制的數(shù)理邏輯符號(hào)1894年發(fā)表于?數(shù)學(xué)論集?也主要是如此，而不是為了哲學(xué)分析。1900年羅素從皮亞諾學(xué)習(xí)這套符號(hào)之后，才對(duì)邏輯、哲學(xué)同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了宏大沖擊。從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了?數(shù)學(xué)論集?的續(xù)集，每一次都把他提出的五個(gè)公理只是用0代1作為算術(shù)的根底。但是皮亞諾除了邏輯符號(hào)之外，還有其他三個(gè)根本符號(hào)，即：數(shù)、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣

10、把數(shù)完全建立在邏輯根底上。他的公理系統(tǒng)也是有缺點(diǎn)的,特別是第五公理涉及所有性質(zhì)，因此需要對(duì)性質(zhì)或集合有所證明。有人把它改為可數(shù)條公理的序列，這樣一來，由公理系所定義的就不單純是自然數(shù)了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統(tǒng)購(gòu)非標(biāo)準(zhǔn)模型，這樣就破壞了公理系統(tǒng)的范疇性。3其他數(shù)學(xué)對(duì)象的公理化在十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初的公理化浪潮中，一系列數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)展了公理化，這些公理化一般在數(shù)學(xué)中進(jìn)展。例如由于解代數(shù)方程而引進(jìn)的域及群的概念，在當(dāng)時(shí)都是非常詳細(xì)的，如置換群。只有到十九世紀(jì)后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個(gè)元素相加或相乘仍對(duì)應(yīng)唯一的元素、運(yùn)算滿

11、足結(jié)合律、有零元素及逆元素存在。群在數(shù)學(xué)中是無處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀(jì)末才開場(chǎng)。當(dāng)然，它與數(shù)理邏輯有親密的關(guān)系。有理數(shù)集體、實(shí)數(shù)集體、復(fù)數(shù)集體構(gòu)成抽象域的詳細(xì)模型，域的公理很多。另外，環(huán)、偏序集合、全序集合、格、布爾代數(shù)，都已經(jīng)公理化。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。另一大類構(gòu)造是拓?fù)錁?gòu)造，拓?fù)淇臻g在1914年到1922年也得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀(jì)抽象數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)。在模型論中，這些數(shù)學(xué)構(gòu)造成為邏輯語句構(gòu)成理論的模型。一般說來，“老師概念