卡方分布概念及表和查表方法

1、卡方分布概念及表和查表方法若n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，.,n，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和構(gòu)成一新的隨機(jī)變量，其分布規(guī)律稱為卡方分布（chi-square distribution）。中文名卡方分布外文名chi-square distribution別    稱西格瑪分布提出者Friedrich Robert Helmert提出時(shí)間1863應(yīng)用學(xué)科統(tǒng)計(jì)學(xué)目錄1 簡(jiǎn)介2 定義3 性質(zhì)4 概率表簡(jiǎn)介 分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有重要意義。 &#

2、160;分布是由阿貝(Abbe)于1863年首先提出的，后來(lái)由海爾墨特(Hermert)和現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人之一的卡·皮爾遜(C K·Pearson)分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來(lái)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)非常有用的著名分布。定義若n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量、n ，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和  構(gòu)成一新的隨機(jī)變量，其分布規(guī)律稱為  分布（chi-square distribution）， 卡方分布其中參數(shù)  稱為自由度，正如正態(tài)分布中均數(shù)或方差不同就是另

3、一個(gè)正態(tài)分布一樣，自由度不同就是另一個(gè)  分布。記為  或者  （其中  ，  為限制條件數(shù)）?？ǚ椒植际怯烧龖B(tài)分布構(gòu)造而成的一個(gè)新的分布，當(dāng)自由度  很大時(shí)，  分布近似為正態(tài)分布。對(duì)于任意正整數(shù)x， 自由度為  的卡方分布是一個(gè)隨機(jī)變量X的機(jī)率分布。性質(zhì)1)  分布在第一象限內(nèi)，卡方值都是正值，呈正偏態(tài)（右偏態(tài)），隨著參數(shù)  的增大，  分布趨近于正態(tài)分布；卡方分

4、布密度曲線下的面積都是1。2)  分布的均值與方差可以看出，隨著自由度  的增大，分布向正無(wú)窮方向延伸（因?yàn)榫?#160; 越來(lái)越大），分布曲線也越來(lái)越低闊（因?yàn)榉讲?#160; 越來(lái)越大）。3）不同的自由度決定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。4) 若  互相獨(dú)立，則：  服從  分布，自由度為  。5)  分布的均數(shù)為自由度  ，記為 E(  ) =  。6)

5、60; 分布的方差為2倍的自由度(  )，記為 D(  ) =  。概率表 分布不象正態(tài)分布那樣將所有正態(tài)分布的查表都轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去查，在  分布中得對(duì)每個(gè)分布編制相應(yīng)的概率值，這通過(guò)  分布表中列出不同的自由度來(lái)表示， 卡方分布臨界值表在  分布表中還需要如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中給出不同 P 值一樣，列出概率值，只不過(guò)這里的概率值是  值以上  分布曲線以下的概率。由于 分布概率表中要列出很多 

6、 分布的概率值，所以  分布中所給出的 P 值就不象標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中那樣給出了400個(gè)不同的 P 值，而只給出了有代表性的13個(gè)值，因此  分布概率表的精度就更差，不過(guò)給出了常用的幾個(gè)值，足夠在實(shí)際中使用了。查  分布概率表時(shí)，按自由度及相應(yīng)的概率去找到對(duì)應(yīng)的  值。如上圖所示的單側(cè)概率 0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7這一行，在第一行中找到概率0.05這一列，行列的交叉處即是14.1。表中所給值直接只能查單側(cè)概率值，可以變化一下來(lái)查雙側(cè)概率值。例如，要在自由度為7的卡

7、方分布中，得到雙側(cè)概率為0.05所對(duì)應(yīng)的上下端點(diǎn)可以這樣來(lái)考慮：雙側(cè)概率指的是在上端和下端各劃出概率相等的一部分，兩概率之和為給定的概率值，這里是0.05，因此實(shí)際上上端點(diǎn)以上的概率為0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端點(diǎn)的值為16，記為  0.05/2(7)=16。下端點(diǎn)以下的概率也為0.025，因此可以用0.975查得下端點(diǎn)為1.69，記為  1-0.05/2(7)=1.69。當(dāng)然也可以按自由度及  值去查對(duì)應(yīng)的概率值，不過(guò)這往往只能得到一個(gè)大概的結(jié)果，因?yàn)?#160; 分布概率表的精度有限，只給了13個(gè)

8、不同的概率值進(jìn)行查表。例如，要在自由度為18 的  分布查找  =30對(duì)應(yīng)的概率，則先在第一列找到自由度18，然后看這一行可以發(fā)現(xiàn)與30接近的有28.9與31.5，它們所在的列是0.05與0.025，所以要查的概率值應(yīng)于介于0.05與0.025之間，當(dāng)然這是單側(cè)概率值，它們的雙側(cè)概率值界于0.1與0.05之間。如果要更精確一些可以采用插值的方法得到，這在正態(tài)分布的查表中有介紹。為什么從正態(tài)總體中抽取出的樣本的方差服從  分布？在抽樣分布理論一節(jié)里講到，從正態(tài)總體進(jìn)行一次抽樣就相當(dāng)于獨(dú)立同分布的n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量1，2，n的一次取值，將n

9、個(gè)隨機(jī)變量針對(duì)總體均值與方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得(i=1,n)，顯然每個(gè)都是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的，因此按照  分布的定義，應(yīng)該服從參數(shù)為  的  分布。如果將總體中的方差2 用樣本方差 s2代替，它是否也服從  分布呢？理論上可以證明，它是服從  分布的，但是參數(shù) 不是n而是n-1了，究其原因在于它是n-1個(gè)獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和。我們常常把一個(gè)式子中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)式子的“自由度”，確定一個(gè)式子自由度的方法是：若式子包含有n個(gè)變量，其中k個(gè)被限制的

10、樣本統(tǒng)計(jì)量，則這個(gè)表達(dá)式的自由度為 n-k。比如中包含1，2，n這n個(gè)變量，其中1-n-1相互獨(dú)立，n為其余變量的平均值，因此自由度為n-1。附卡方表n/P0.9950.990.9750.950.900.750.500.250.100.050.0250.010.00510.020.100.451.322.713.845.026.637.8820.010.020.020.100.210.581.392.774.615.997.389.2110.6030.070.110.220.350.581.212.374.116.257.819.3511.3412.8440.210.300.480.711.0

11、61.923.365.397.789.4911.1413.2814.8650.410.550.831.151.612.674.356.639.2411.0712.8315.0916.7560.680.871.241.642.203.455.357.8410.6412.5914.4516.8118.5570.991.241.692.172.834.256.359.0412.0214.0716.0118.4820.2881.341.652.182.733.405.077.3410.2213.3615.5117.5320.0921.9691.732.092.703.334.175.908.3411.

12、3914.6816.9219.0221.6723.59102.162.563.253.944.876.749.3412.5515.9918.3120.4823.2125.19112.603.053.824.575.587.5810.3413.7017.2819.6821.9224.7226.76123.073.574.405.236.308.4411.3414.8518.5521.0323.3426.2228.30133.574.115.015.897.049.3012.3415.9819.8122.3624.7427.6929.82144.074.665.636.577.7910.1713.

13、3417.1221.0623.6826.1229.1431.32154.605.236.277.268.5511.0414.3418.2522.3125.0027.4930.5832.80165.145.816.917.969.3111.9115.3419.3723.5426.3028.8532.0034.27175.706.417.568.6710.0912.7916.3420.4924.7727.5930.1933.4135.72186.267.018.239.3910.8613.6817.3421.6025.9928.8731.5334.8137.16196.847.638.9110.1

14、211.6514.5618.3422.7227.2030.1432.8536.1938.58207.438.269.5910.8512.4415.4519.3423.8328.4131.4134.1737.5740.00218.038.9010.2811.5913.2416.3420.3424.9329.6232.6735.4838.9341.40228.649.5410.9812.3414.0417.2421.3426.0430.8133.9236.7840.2942.80239.2610.2011.6913.0914.8518.1422.3427.1432.0135.1738.0841.6

15、444.18249.8910.8612.4013.8515.6619.0423.3428.2433.2036.4239.3642.9845.562510.5211.5213.1214.6116.4719.9424.3429.3434.3837.6540.6544.3146.932611.1612.2013.8415.3817.2920.8425.3430.4335.5638.8941.9245.6448.292711.8112.8814.5716.1518.1121.7526.3431.5336.7440.1143.1946.9649.642812.4613.5615.3116.9318.94

16、22.6627.3432.6237.9241.3444.4648.2850.992913.1214.2616.0517.7119.7723.5728.3433.7139.0942.5645.7249.5952.343013.7914.9516.7918.4920.6024.4829.3434.8040.2643.7746.9850.8953.674020.7122.1624.4326.5129.0533.6639.3445.6251.8055.7659.3463.6966.775027.9929.7132.3634.7637.6942.9449.3356.3363.1767.5071.4276.1579.496035.5337.4840.4843.1946.4652.2959.3366.9874.4079.0883.3088.3891.957043.2845.4448.7651.7455.3361.7069.3377.5885.5390.5395.02100.42104.228051.1753.5457.1560.3964.2871.1479.3388.1396.58101.88106.63112.33116.329059.2061.7565.6569.1373.2980.6289.3398.6410