第三節(jié)垂徑定理[1](1)

1、3.3 3.3 垂徑定理垂徑定理九年級(jí)數(shù)學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)( (下下) )第三章第三章 圓圓1.1.圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形. . 圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線, ,它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸. .2.2.圓也是中心對(duì)稱圖形圓也是中心對(duì)稱圖形. .它的對(duì)稱中心就是圓心它的對(duì)稱中心就是圓心. .知識(shí)回顧知識(shí)回顧4.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。的弦相等。 5.定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角圓心角、兩條、兩條弧弧、兩條、兩條弦弦中有一組

2、量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。等。3.頂點(diǎn)頂點(diǎn)在在圓心圓心的角叫做的角叫做圓心角圓心角.AM=BM,垂徑定理垂徑定理AB是是 O的一條弦的一條弦.作直徑作直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由.O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM 由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)

3、的弧。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理垂徑定理證明：連接證明：連接OA,OB,則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM RtOAM RtOBMAM=BM, AOC=BOCAOD=180AOC, BOD=180BOC AOD=BOD垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧OABCDMAC=BC AM=BM 由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OABCDM垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。并

4、且平分弦所對(duì)的弧。CD是直徑，是直徑， CDAB ,AB是弦是弦AM=BM，ADBD，ACBCCDAB,垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理AB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由你的想法和理由.O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么? 小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CD 由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.

5、CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBC討論討論（1）過(guò)圓心）過(guò)圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所對(duì)優(yōu)弧分弦所對(duì)優(yōu)弧 （5）平分弦所對(duì)的劣?。┢椒窒宜鶎?duì)的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1 1）平分弦（）平分弦（不是直徑不是直徑）的直徑垂直于）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條?。? 3

6、）平分一條弧的直徑，垂直平分弧所平分一條弧的直徑，垂直平分弧所對(duì)的弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧對(duì)的弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧OABCDM垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用例例1 :如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧即圖中弧CD,點(diǎn)點(diǎn)O是是弧弧CD的圓心的圓心),其中其中CD=600m,E為弧為弧CD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),且且OECD垂足為垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑.解解:連接連接OC.m)90R(OF,Rm 則則設(shè)設(shè)彎彎路路的的半半徑徑為為,CDOE ).m(30060021CD21CF 得得根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理,即即,OFCF

7、OC222 .90R300R222 .545R, 得得解解這這個(gè)個(gè)方方程程.m545這這段段彎彎路路的的半半徑徑約約為為OCDEFOABCDM弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離,叫弓形高或叫弓形高或弓弓高高，如圖線段，如圖線段CM是弓高是弓高圓心到弦的距離圓心到弦的距離,叫叫弦心距弦心距。如圖。如圖線段線段OM是是O到弦到弦AB的弦心距。的弦心距。趙州石拱橋趙州石拱橋1. 1300多年前多年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋拱是圓弧的橋拱是圓弧形形,它的跨度它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為為 37.4 m,拱高拱高(弧的中點(diǎn)到弦弧的中點(diǎn)到弦的距離的

8、距離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑(精確到精確到0.1m).趙州石拱橋趙州石拱橋解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為Rm，經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.根根據(jù)垂徑定理，據(jù)垂徑定理，D是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD就是拱高就是拱高.由題設(shè)由題設(shè)ABABABAB, 2 . 7CD, 4 .37AB AB21AD, 7 .184 .3721 DCOCOD . 2 . 7R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,OD

9、ADOA222 .)2 . 7R(7 .18R222 即即解得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.37.47.2OABCRDABOCOABCD如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么弧相等嗎？為什么?EFMN還有其他情況嗎？還有其他情況嗎？OABCDCD“圓材埋壁圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)中的一中的一個(gè)問(wèn)題，個(gè)問(wèn)題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)鋸幾何？一寸，鋸道長(zhǎng)

10、一尺，問(wèn)鋸幾何？”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“如下圖，如下圖，CD為為 O的直徑，弦的直徑，弦ABCD垂足為垂足為E，CE1寸，寸，AB10寸，求直徑寸，求直徑CD的長(zhǎng)的長(zhǎng)”， 如圖，已知如圖，已知 O的半徑為的半徑為30mm，弦，弦AB=36mm.則點(diǎn)則點(diǎn)O到到AB的距離及的距離及 OAB的余弦值。的余弦值。C 如圖，兩個(gè)圓都是以如圖，兩個(gè)圓都是以O(shè)為圓心，小圓的弦為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦與大圓的弦AB在同在同一條直線上，你認(rèn)為一條直線上，你認(rèn)為AC與與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？的大小有什么關(guān)系？為什么？ ABCD理由：過(guò)理由：過(guò)O作作OEAB于于E，解后指出

11、解后指出：在圓中，解有關(guān)：在圓中，解有關(guān)弦弦的問(wèn)的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出題時(shí)，常常需要作出“垂直于弦的垂直于弦的直徑直徑”作為輔助線，實(shí)際上，往往作為輔助線，實(shí)際上，往往只需只需從圓心作弦的垂線段。從圓心作弦的垂線段。則則 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即即AC=BD解：解：AC=BDOE如圖如圖,M為為 O內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦利用尺規(guī)作一條弦AB,使使AB過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M.并并且且AM=BM.OMAB判斷判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧弧.( )（2）弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且）弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心.( )（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分分.( )（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條弧( )（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的?。┢椒窒业闹睆?，平分這條弦所對(duì)的弧 ( ） （7）平分弦的直線，必定過(guò)圓心）平分弦的直線，必定過(guò)圓心 （ ）（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦這