雙曲線函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用

1、一個(gè)十分重要的函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用 新課標(biāo)高一數(shù)學(xué)在“基本不等式”一節(jié)課中已經(jīng)隱含了函數(shù)的圖象、性質(zhì)與重要的應(yīng)用，是高考要求范圍內(nèi)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)那么在高三第一輪復(fù)習(xí)課中，對(duì)于重點(diǎn)中學(xué)或基礎(chǔ)比較好一點(diǎn)學(xué)校的同學(xué)而言，我們務(wù)必要系統(tǒng)介紹學(xué)習(xí)（ab0）的圖象、性質(zhì)與應(yīng)用21 定理：函數(shù)（ab0）表示的圖象是以y=ax和x=0（y軸）的直線為漸近線的雙曲線首先，我們根據(jù)漸近線的意義可以理解：ax的值與的值比較，當(dāng)很大很大的時(shí)候， 的值幾乎可以忽略不計(jì)，起決定作用的是ax的值；當(dāng)?shù)闹岛苄『苄。瑤缀鯙?的時(shí)候，ax的值幾乎可以忽略不計(jì)，起決定作用的是的值從而，函數(shù)（ab0）表示的圖象是以y=ax和x

2、=0（y軸）的直線為漸近線的曲線另外我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象應(yīng)該關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱由于函數(shù)形式比較抽象，系數(shù)都是字母，因此要證明曲線是雙曲線是很麻煩的，我們通過一個(gè)例題來說明這一結(jié)論OxyAA1例1圖例1若函數(shù)是雙曲線，求實(shí)半軸a，虛半軸b，半焦距c，漸近線及其焦點(diǎn)，并驗(yàn)證雙曲線的定義 分析：畫圖，曲線如右所示；由此可知它的漸近線應(yīng)該是和x=0兩條直線；由此，兩條漸近線的夾角的平分線y=x就是實(shí)軸了，得出頂點(diǎn)為A（，3），A1（-，-3）； a=, 由漸近線與實(shí)軸的夾角是30º，則有=tan30º, 得b=2 , c=4, F1(2,)F2(-2,-)為了驗(yàn)證

3、函數(shù)的圖象是雙曲線，在曲線上任意取一點(diǎn)P（x, ）滿足即可；所以，函數(shù)表示的曲線是雙曲線（在許多地方，老師把這個(gè)曲線形狀形象概括為“雙鉤曲線”，其實(shí)很不準(zhǔn)確的）22五種表現(xiàn)形式表現(xiàn) 1：函數(shù) （a>0,b>0）的雙曲線大概圖象如下：OxyAA1y=ax表現(xiàn)1圖漸近線含雙曲線部分的夾角是銳角，在和上函數(shù)分別是單調(diào)遞增的，在和上函數(shù)分別是單調(diào)遞減的；在x=處有極大值，在x=處有極小值；值域是表現(xiàn) 2：函數(shù) （a<0,b<0）的雙曲線大概圖象如下：OxyAA1y=ax表現(xiàn)2圖漸近線含雙曲線部分的夾角是銳角，在和上函數(shù)分別是單調(diào)遞減的，在和上函數(shù)分別是單調(diào)遞增的；在x=處有極小

4、值，在x=處有極大值；值域是OxyAA1y=ax表現(xiàn)3圖表現(xiàn) 3：函數(shù) （a>0,b<0）的雙曲線大概圖象如右：此時(shí)，漸近線含雙曲線部分的夾角是鈍角，>0，所以，函數(shù)在和上函數(shù)分別是單調(diào)遞增的，每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的值域都是R表現(xiàn) 4：函數(shù) （a<0,b>0）的雙曲線圖象如右：OxyAA1y=ax表現(xiàn)4圖此時(shí)，漸近線含雙曲線部分的夾角是鈍角，<0，所以，函數(shù)在和上函數(shù)分別是單調(diào)遞減的，每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的值域是R特別，后面兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性很“單純”，在解題時(shí)候要引起重視，在高考中也多次應(yīng)用，注意總結(jié) 表現(xiàn) 5：函數(shù) (x0) 是等軸雙曲線，以x軸、y軸為漸近線，在

5、兩個(gè)區(qū)間和上函數(shù)分別是單調(diào)遞減的這個(gè)學(xué)生在初中就應(yīng)該掌握了的函數(shù)2、3應(yīng)用舉例與重點(diǎn)推廣這個(gè)函數(shù)最大有用處就是它的單調(diào)性，因此往往是利用的它在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性來求函數(shù)的值域，或比較大小，或求最值等例2已知x>y>0 , xy=1 ,求的最小值及此時(shí)x、y的值解：x>y>0 ，x-y>0, 又 xy=1，=；解混合式得：所以當(dāng)： 時(shí)候，取得最小值為例3求y= (x0)解：令x+2=t 則 x=t-2 代入得 由 x0得t2,而在上是減函數(shù)的，所以y-5,值域?yàn)槔?1已知（1）若a0，求的單調(diào)區(qū)間（2）若當(dāng)時(shí)，恒有0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：= 當(dāng)0時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間

6、為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）（i）當(dāng)時(shí)，顯然0成立，此時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，由0，可得，令 則0，在要求區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增，可知0，在要求區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減，可知此時(shí)的范圍是（1，3）綜合i、ii得：的范圍是（1，3）從上面幾個(gè)例子可以看出，形如 或（m0,a0）函數(shù)值域不但可以用二次方程的判別式來求，也可以用這個(gè)雙曲線函數(shù)的單調(diào)性來求，尤其對(duì)于自變量不是自然的定義域，而是某個(gè)限制的范圍時(shí)候，更要利用這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性來解決了重點(diǎn)推廣：到此我們來看看函數(shù) （adbc，a0）究竟是什么樣的圖象與性質(zhì)呢？xyO它可以通過變形化為，繼續(xù)化為，因此，函數(shù)（adbc，a0）的圖象是可以從的圖象通過平移而來的，從而（

7、adbc，a0）的圖象也是等軸雙曲線，漸近線是，的兩條直線，在和兩個(gè)區(qū)間上都具有相同的單調(diào)性，>0時(shí)都是單調(diào)遞減，<0時(shí)都是單調(diào)遞增這個(gè)函數(shù)與函數(shù) （a>0,b>0）要與一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)一樣，作為高三復(fù)習(xí)時(shí)候的基本函數(shù)，要熟練理解和應(yīng)用，例4已知正項(xiàng)數(shù)列滿足a1=a (0<a<1)且an+1,求證 分析：本題有別的證法，這里就用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合上面函數(shù)的單調(diào)性思想來處理； i）n=1時(shí) a1=a，符合求證結(jié)論 ii設(shè)n=k時(shí) 結(jié)論成立 則n=k+1時(shí)候， ak+1,而，因此，考慮函數(shù)f(x)=1- 在區(qū)間和區(qū)間都是遞增函數(shù)，（0，1），所以f(x)=在0，1）也是遞增函數(shù)，從而，ak+1，所以 n=k+1