對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題講義

1、1對(duì)數(shù)的概念如果axN(a>0，且a1)，那么數(shù)x叫做_，記作_，其中a叫做_，N叫做_2常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做_，以e為底的對(duì)數(shù)叫做_，log10N可簡記為_，logeN簡記為_3對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系若a>0，且a1，則axNlogaN_.對(duì)數(shù)恒等式：alogaN_；logaax_(a>0，且a1)4對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)1的對(duì)數(shù)為_；(2)底的對(duì)數(shù)為_；(3)零和負(fù)數(shù)_1有下列說法：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)；以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D42有以下四個(gè)結(jié)論：lg(lg

2、 10)0；ln(ln e)0；若10lg x，則x100；若eln x，則xe2.其中正確的是()A B C D3在blog(a2)(5a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa>5或a<2 B2<a<5 C2<a<3或3<a<5 D3<a<44方程的解是()Ax Bx Cx Dx95若logac，則下列關(guān)系式中正確的是()Aba5c Bb5acCb5ac Dbc5a6的值為()A6 B. C8 D.7已知log7log3(log2x)0，那么_.8若log2(logx9)1，則x_.9已知lg a2.431 0，lg b1.431 0，則

3、_.10(1)將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：103；0.530.125；(1)11.(2)將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：log262.585 0；log30.80.203 1；lg 30.477 1.11已知logax4，logay5，求A的值能力提升12若loga3m，loga5n，則a2mn的值是()A15 B75 C45 D22513(1)先將下列式子改寫成指數(shù)式，再求各式中x的值：log2x；logx3.(2)已知6a8，試用a表示下列各式：log68；log62；log26.1對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是互逆的，即abNlogaNb(a>0，且a1)，據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：(

4、1)logaabb；(2) N.2在關(guān)系式axN中，已知a和x求N的運(yùn)算稱為求冪運(yùn)算；而如果已知a和N求x的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算3指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)_；(2)loga_；(3)logaMn_(nR)2對(duì)數(shù)換底公式logab(a>0，且a1，b>0，c>0，且c1)；特別地：logab·logba_(a>0，且a1，b>0，且b1)一、選擇題1下列式子中成立的是(假定各式均有意義)()Alogax·l

5、ogayloga(xy)B(logax)nnlogaxC.logaD.logaxlogay2計(jì)算：log916·log881的值為()A18 B. C. D.3若log5·log36·log6x2，則x等于()A9 B. C25 D.4已知3a5bA，若2，則A等于()A15 B.C± D2255已知log89a，log25b，則lg 3等于()A. B.C. D.6若lg a，lg b是方程2x24x10的兩個(gè)根，則(lg)2的值等于()A2 B. C4 D.72log510log50.25()÷_.8(lg 5)2lg 2·lg

6、50_.92008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震，給人民的生命財(cái)產(chǎn)造成了巨大的損失里氏地震的等級(jí)最早是在1935年由美國加州理工學(xué)院的地震學(xué)家里特判定的它與震源中心釋放的能量(熱能和動(dòng)能)大小有關(guān)震級(jí)Mlg E3.2，其中E(焦耳)為以地震波的形式釋放出的能量如果里氏6.0級(jí)地震釋放的能量相當(dāng)于1顆美國在二戰(zhàn)時(shí)投放在廣島的原子彈的能量，那么汶川大地震所釋放的能量相當(dāng)于_顆廣島原子彈三、解答題10(1)計(jì)算：lglglg 12.5log89·log34；(2)已知3a4b36，求的值11若a、b是方程2(lg x)2lg x410的兩個(gè)實(shí)根，求lg(ab)·(

7、logablogba)的值能力提升12下列給出了x與10x的七組近似對(duì)應(yīng)值：組號(hào)一二三四五六七x0.301 030.477 110.698 970.778 150.903 091.000 001.079 1810x235681012假設(shè)在上表的各組對(duì)應(yīng)值中，有且僅有一組是錯(cuò)誤的，它是第_組()A二 B四C五 D七13一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年的剩余質(zhì)量約是原來的75%，估計(jì)約經(jīng)過多少年，該物質(zhì)的剩余量是原來的？(結(jié)果保留1位有效數(shù)字)(lg 20.301 0，lg 30.477 1)1在運(yùn)算過程中避免出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：loga(MN)logaM·logaN.loga.l

8、ogaNn(logaN)n.logaM±logaNloga(M±N)2根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算法則可以得到對(duì)數(shù)換底公式：logab(a>0且a1，c>0且c1，b>0)由對(duì)數(shù)換底公式又可得到兩個(gè)重要結(jié)論：(1)logab·logba1；(2) logab.3對(duì)于同底的對(duì)數(shù)的化簡常用方法：(1)“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩對(duì)數(shù)的和(差)對(duì)于常用對(duì)數(shù)的化簡要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，充分利用“l(fā)g 5lg 21”來解題1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把_叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是_2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

9、象與性質(zhì)定義ylogax (a>0，且a1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域_值域_單調(diào)性在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過點(diǎn)_，即loga10函數(shù)值特點(diǎn)x(0,1)時(shí)，y_；x1，)時(shí)，y_x(0,1)時(shí)，y_；x1，)時(shí)，y_對(duì)稱性函數(shù)ylogax與y的圖象關(guān)于_對(duì)稱3.反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax (a>0且a1)和指數(shù)函數(shù)_互為反函數(shù)1函數(shù)y的定義域是()A(3，) B3，) C(4，) D4，)2設(shè)集合My|y()x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，則集合MN等于()A(，0)1，) B0，) C(，1 D(，0)(0,1)3已知

10、函數(shù)f(x)log2(x1)，若f()1，則等于()A0 B1 C2 D34函數(shù)f(x)|log3x|的圖象是()5已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax(a>0，a1)，且過點(diǎn)(9,2)，f(x)的反函數(shù)記為yg(x)，則g(x)的解析式是()Ag(x)4x Bg(x)2x Cg(x)9x Dg(x)3x6若loga<1，則a的取值范圍是()A(0，) B(，) C(，1) D(0，)(1，)7如果函數(shù)f(x)(3a)x，g(x)logax的增減性相同，則a的取值范圍是_8已知函數(shù)yloga(x3)1的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_9給出函數(shù)則f(log23)_.三、解答題10求下列函

11、數(shù)的定義域與值域：(1)ylog2(x2)；(2)ylog4(x28)11已知函數(shù)f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，(a>0，且a1)(1)設(shè)a2，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,63，求函數(shù)f(x)的最值(2)求使f(x)g(x)>0的x的取值范圍能力提升12已知圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的圖象，則a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是()Aa4<a3<a2<a1 Ba3<a4<a1<a2 Ca2<a1<a3<a4 Da3<a4<a

12、2<a113若不等式x2logmx<0在(0，)內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍1函數(shù)ylogmx與ylognx中m、n的大小與圖象的位置關(guān)系當(dāng)0<n<m<1時(shí)，如圖；當(dāng)1<n<m時(shí)，如圖；當(dāng)0<m<1<n時(shí)，如圖.2由于指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)的定義域是R，值域?yàn)?0，)，再根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化過程知道，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的定義域?yàn)?0，)，值域?yàn)镽，它們互為反函數(shù)，它們的定義域和值域互換，指數(shù)函數(shù)yax的圖象過(0,1)點(diǎn)，故對(duì)數(shù)函數(shù)圖象必過(1,0)點(diǎn)1函數(shù)ylogax的圖象如圖所示，則實(shí)

13、數(shù)a的可能取值是()A5 B.C. D.2下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ay和y()2B|y|x|和y3x3Cylogax2和y2logaxDyx和ylogaax3若函數(shù)yf(x)的定義域是2,4，則yf()的定義域是()A，1 B4,16C， D2,44函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域?yàn)?)A(0，) B0，)C(1，) D1，)5函數(shù)f(x)loga(xb)(a>0且a1)的圖象經(jīng)過(1,0)和(0,1)兩點(diǎn)，則f(2)_.6函數(shù)yloga(x2)1(a>0且a1)恒過定點(diǎn)_一、選擇題1設(shè)alog54，b(log53)2，clog45，則()Aa<c<b

14、Bb<c<aCa<b<c Db<a<c2已知函數(shù)yf(2x)的定義域?yàn)?,1，則函數(shù)yf(log2x)的定義域?yàn)?)A1,1 B，2C1,2 D，43函數(shù)f(x)loga|x|(a>0且a1)且f(8)3，則有()Af(2)>f(2) Bf(1)>f(2)Cf(3)>f(2) Df(3)>f(4)4函數(shù)f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值與最小值之和為a，則a的值為()A. B. C2 D45已知函數(shù)f(x)lg，若f(a)b，則f(a)等于()Ab BbC. D6函數(shù)y3x(1x<0)的反函數(shù)是()Ay (x&

15、gt;0)Bylog3x(x>0)Cylog3x(x<1)Dy (x<1)7函數(shù)f(x)lg(2xb)，若x1時(shí)，f(x)0恒成立，則b應(yīng)滿足的條件是_8函數(shù)ylogax當(dāng)x>2時(shí)恒有|y|>1，則a的取值范圍是_9若loga2<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_10已知f(x)loga(3ax)在x0,2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍11已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中a為常數(shù)(1)求a的值；(2)若當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<m恒成立求實(shí)數(shù)m的取值范圍能力提升12設(shè)函數(shù)f(x)logax(a>0，a1)，若f(x1x2x2 010)8，則f(x)f

16、(x)f(x)的值等于()A4 B8C16 D2log4813已知logm4<logn4，比較m與n的大小1在對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)中，底數(shù)a對(duì)其圖象的影響無論a取何值，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的圖象均過點(diǎn)(1,0)，且由定義域的限制，函數(shù)圖象穿過點(diǎn)(1,0)落在第一、四象限，隨著a的逐漸增大，ylogax(a>1，且a1)的圖象繞(1,0)點(diǎn)在第一象限由左向右順時(shí)針排列，且當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增2比較兩個(gè)(或多個(gè))對(duì)數(shù)的大小時(shí)，一看底數(shù)，底數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小，

17、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由“底”的范圍決定，若“底”的范圍不明確，則需分“底數(shù)大于1”和“底數(shù)大于0且小于1”兩種情況討論；二看真數(shù)，底數(shù)不同但真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)可借助于圖象，或應(yīng)用換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)來比較大?。蝗抑虚g值，底數(shù)、真數(shù)均不相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)可選擇適當(dāng)?shù)闹虚g值(如1或0等)來比較1已知m0.95.1，n5.10.9，plog0.95.1，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()Am<n<p Bm<p<nCp<m<n Dp<n<m2已知0<a<1，logam<logan<0，則()A1<n<m B1<m<

18、;nCm<n<1 Dn<m<13函數(shù)y的定義域是()A(1,2) B1,4C1,2) D(1,24給定函數(shù)y，y，y|x1|，y2x1，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是()A BC D5設(shè)函數(shù)f(x)loga|x|，則f(a1)與f(2)的大小關(guān)系是_6若log32a，則log382log36_.一、選擇題1下列不等號(hào)連接錯(cuò)誤的一組是()Alog0.52.7>log0.52.8 Blog34>log65Clog34>log56 Dloge>loge2若log37·log29·log49mlog4，則m等于()A. B.C. D43設(shè)函數(shù)若f(3)2，f(2)0，則b等于()A0 B1 C1 D24若函數(shù)f(x)loga(2x2x)(a>0，a1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，) B(，)C(0，) D(，)5若函數(shù)若f(a)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)6已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f()0，則不等式f(logx)<0的解