圓錐曲線綜合題高考常見題型與分析(學(xué)生)

1、圓錐曲線綜合題高考常見題型與分析本部分重點(diǎn)考查直線和圓錐曲線的綜合性問題,從近幾年的高考試題來看,除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外,在選擇題或填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來.本部分的主要特點(diǎn)是運(yùn)算量大、思維難度較高,但有時(shí)靈活地借助幾何性質(zhì)來分析問題可能會(huì)收到事半功倍的效果.(1)關(guān)于圓錐曲線的方程求解,一般是由定義法求曲線的方程或由已知條件直接求曲線方程,有時(shí)也會(huì)以求軌跡的形式出現(xiàn),難度中等.(2)除了方程的求解,還有如下考查內(nèi)容,圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題、最值問題、定點(diǎn)定值問題、探索性問題等,考查的知識(shí)點(diǎn)較多,能力要求高,尤其在考查學(xué)生的運(yùn)算求解變形能力上,此類問題體現(xiàn)

2、的淋漓盡致,是高考試題中區(qū)分度較高的題目.(3)預(yù)測(cè)2015年的高考,對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查仍以解答題為主,選擇的載體一般是橢圓,主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題,有時(shí)會(huì)與向量的共線、模和內(nèi)積等聯(lián)系起來;對(duì)于方程的求解,不要忽視軌跡的求解形式,后面的設(shè)問將是對(duì)最值、定值、定點(diǎn)、參數(shù)范圍的考查,探索類和存在性問題考查的概率也很高.一、直線和圓錐曲線經(jīng)典結(jié)論橢 圓1. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.2. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.3. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.4. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.

3、5. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.6. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).7. AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。8. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.9. 若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.雙曲線1. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.2. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）3. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.4. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦

4、P1P2的直線方程是.5. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.6. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,7. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。8. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.9. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.拋物線1. 以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. A、O、三點(diǎn)共線；8. B、O、三點(diǎn)共線；9. ；10. （定值）；11. ；12. ；

5、13. ；14. ;15. ;16.過拋物線上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為 注意：過拋物線上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為：過拋物線上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為：過拋物線上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為：17.過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)的拋物線的切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；過拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線，則過兩切點(diǎn)的弦必過焦點(diǎn)二、20072014廣東高考圓錐曲線綜合題回顧年份載 體求 解2014橢 圓（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程2013拋物線（1）求拋物線方程；（2）求直線方程（3）求最值2012橢 圓（1）求橢圓方程；（2）存在性問題求最值2011圓（1）求點(diǎn)的軌跡

6、方程；（2）求最值2010雙曲線（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）求值2009拋物線（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）求最值2008橢 圓（1）求橢圓方程和拋物線方程；（2）存在性問題2007橢 圓（1）求圓方程；（2）存在性問題求最值三、圓錐曲線常考題型與解題策略題型1：求軌跡方程解題策略：（1）熟練各種圓錐曲線的有關(guān)定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)；（2）認(rèn)真審題；（3）列式求解；（4）查漏補(bǔ)缺下結(jié)論。特別注意：若所求的方程后面要用到，必須驗(yàn)算！例1. （2014廣東）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.變式練習(xí)：

7、1.(2014遼寧) 圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線過點(diǎn)P且離心率為.（1）求的方程；（2）橢圓過點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求的方程2.2014·陜西 如圖，曲線C由上半橢圓C1：1(a>b>0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過點(diǎn)B的直線l與C1，C2分別交于點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A，B)，若APAQ，求直線l的方程題型2：與圓錐曲線相關(guān)的最值問題解題策略：(1

8、)常用方法有配方法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性等;(2)參數(shù)方程法（三角代換法）,把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的有界性;(3)不等式法,通過基本不等式求最值;(4)數(shù)形結(jié)合法.解決最值問題一定要分清哪些量為變量,哪些量為常量;解決此類問題要綜合應(yīng)用多種知識(shí),注意問題切入點(diǎn)的突破.例2. 2014·四川 已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)

9、解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)證法一：由(1)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2，0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ.直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)>0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以直線OM的斜率kOM，又直線OT的斜率kOT，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.

10、證法二：設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中點(diǎn)M（x0，y0），則若m=0，則PQ中點(diǎn)為F，滿足OT平分線段PQ；若，則由，得O,M,T花線綜上：OT平分線段PQ。 方一：由可得，|TF|，|PQ|.所以.當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m±1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值故當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)或(3，1)方二：由（1），得是橢圓的左準(zhǔn)線，離心，由及橢圓第二定義，得，余略。變式練習(xí)：3.2014·浙江卷 如圖，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限(1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P

11、的坐標(biāo)；(2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.4.2014·山東卷 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，ADF為正三角形(1)求C的方程(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E.證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由題型3：與圓錐曲線相關(guān)的存在性問題求解策略： (1)思路:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在;若結(jié)論不正確則不存在

12、.(2)策略:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論;當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件;當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)法解題很難時(shí),可先由特殊情況探究,再推廣到一般情況.例3.(2014深圳一模) 如圖，直線，拋物線，已知點(diǎn)在拋物線上，且拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（1）求直線及拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過點(diǎn)）與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為， 問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）（法一）點(diǎn)在拋物線上， 設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由 得， ，由，得，則直線方程為兩直線、間的距離即為拋

13、物線上的點(diǎn)到直線的最短距離，有，解得或（舍去）直線的方程為，拋物線的方程為 （法二）點(diǎn)在拋物線上， ，拋物線的方程為 設(shè)為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)圖象，有，的最小值為，由，解得因此，直線的方程為，拋物線的方程為 （2）直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由 得，設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則， 由 得， 因此，存在實(shí)數(shù)，使得成立，且點(diǎn)評(píng):(1)常常根據(jù)題意建立含有參數(shù)的等式或不等式,通過解等式或不等式求參數(shù)的值或范圍.(2)建立關(guān)于某變量的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系或利用判別式求參數(shù)或參數(shù)的范圍.變式練習(xí)：5.已知?jiǎng)訄AP與圓F1:(x+3)2+y2=81相切,且與圓F2:(x

14、-3)2+y2=1相內(nèi)切,記圓心P的軌跡為曲線C;設(shè)Q為曲線C上的一個(gè)不在x軸上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)F2作OQ的平行線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N.(1)求曲線C的方程;(2)試探究|MN|和|OQ|2的比值能否為一個(gè)常數(shù)?若能,求出這個(gè)常數(shù);若不能,請(qǐng)說明理由;(3)記QF2M的面積為S1,OF2N的面積為S2,令S=S1+S2,求S的最大值.6. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(diǎn)(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量OP+OQ與AB共線?如果存在,

15、求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.7.2014·邯鄲期末 已知點(diǎn)F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)直線l1：ykxm，l2：ykxm，若l1，l2均與橢圓C相切，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)M，點(diǎn)M到l1，l2的距離之積恒為1.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由題型4：與圓錐曲線的弦長(zhǎng)、距離、面積等有關(guān)的問題解題策略：（1）當(dāng)直線的斜率是否存在未定時(shí)，用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線時(shí)，需分類討論；當(dāng)直線與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線為的形式。將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,構(gòu)成方程組,得到

16、型如的方程，判別式為，利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng),設(shè)兩交點(diǎn)為，則|AB|=（k為直線AB的斜率）；（2）當(dāng)涉及過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題時(shí),可考慮用圓錐曲線的定義；（3）當(dāng)弦過原點(diǎn)時(shí)，可考慮轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程解。例4 (2014大綱全國(guó),理21)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l'與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.命題定位:本題主要考查拋物線的定義、直線方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式

17、等知識(shí),體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)方程思想.對(duì)運(yùn)算求解能力、分析問題和解決問題的能力、數(shù)學(xué)探究能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力有較高的要求. 解：（I）設(shè)，代入，得由題設(shè)得，解得（舍去）或，C的方程為；（II）由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)的方程為，代入，得設(shè)則故的中點(diǎn)為又的斜率為的方程為將上式代入，并整理得設(shè)則故的中點(diǎn)為由垂直平分，故四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，則 即，化簡(jiǎn)得，解得或所求直線的方程為或變式練習(xí)：8.(2014課標(biāo)全國(guó)) 已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).()求的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.9. 在平面直角坐標(biāo)系xO

18、y中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。題型5：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題解題策略：這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題。其解法有“點(diǎn)差法”、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對(duì)稱變換法等。例5.2014·湖南 如圖7，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率

19、為，已知，且. （）求的方程；圖7（）過作的不垂直于軸的弦，為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值.解：（），即，從而，于是，故橢圓方程為,雙曲線的方程為.（）因?yàn)橹本€不垂直于軸且過點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為. 由得，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，因此，的中點(diǎn)為，故直線的斜率為，的方程為，即.由得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線的異側(cè)，所以，于是,從而又因?yàn)?，所以四邊形面積而，故當(dāng)時(shí)，取得最小值2.故四邊形面積的最小值為2.變式練習(xí)：10.（2013新課標(biāo)）平面直角坐標(biāo)系xoy中,過橢圓 的右焦點(diǎn)作直交于A,B兩點(diǎn),為的中點(diǎn),且OP的斜率為.()求的方程;()為上的

20、兩點(diǎn),若四邊形的對(duì)角線,求四邊形面積的最大值.11. 已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。題型6：圓錐曲線中的參數(shù)問題解題策略：(1)函數(shù)法,用其他變量表示該參數(shù),建立函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)值域來求解;(2)不等式法,根據(jù)題意建立含有參數(shù)的不等式,通過解不等式求參數(shù)的范圍;(3)判別式法,建立關(guān)于某變量的一元二次方程,利用判別式0求參數(shù)的范圍;(4)方程思想,建立含有參數(shù)的等式,通過等式確定參數(shù).例6.2014·佛山質(zhì)檢 已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且F2到直線xy90的距離

21、等于橢圓的短軸長(zhǎng)(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P的圓心為P(0，t)(t>0)，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2，Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外，過點(diǎn)Q作圓P的切線，切點(diǎn)為M，當(dāng)|QM|的最大值為時(shí)，求t的值解：(1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)依題意可知，2b4，所以b2.又c1，故a2b2c25，故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)Q(x0，y0)，圓P的方程為x2(yt)2t21.因?yàn)镻MQM，所以|QM|.若4t2，即t，當(dāng)y02時(shí)，|QM|取得最大值，|QM|max，解得t<(舍去)若4t>2，即0<t<，當(dāng)y04t時(shí)，|QM|取最大值，且|QM|max，解得t2

22、.又0<t<，所以t.綜上可知，當(dāng)t時(shí)，|QM|的最大值為.變式練習(xí)： 12.2014·湖北卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(2，1)，求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍13.已知橢圓C:x22+y2=1,右焦點(diǎn)為F2.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-12,線段AB的中垂線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn).求F2P·F2Q的取值范圍.題型7：與圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)、定值問題解題策略：與圓錐曲線相關(guān)的

23、定點(diǎn)、定值問題往往與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關(guān),如橢圓的長(zhǎng)、短軸,雙曲線的虛、實(shí)軸,拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等.定值問題的求解與證明類似,在求定值之前,已經(jīng)知道定值的結(jié)果(題中未告知,可用特殊值探路求之),解答這類題要大膽設(shè)參,運(yùn)算推理,到最后參數(shù)必清,定值顯現(xiàn).處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明，例7.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)

24、 解：（）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)， 聯(lián)立， 得，又，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右焦點(diǎn)，即，解得：，且均滿足，當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 例8.（2014江西）如圖，已知雙曲線C：y2=1（a0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線AFx軸，ABOB，BFOA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求雙曲線C的方程；（2）過C上一點(diǎn)P（x0，y0）（y00）的直線l：y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=相交于點(diǎn)N證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值（1）解：依題意知，A（c，），設(shè)B（t，），AB

25、OB，BFOA，=1，=，整理得：t=，a=，雙曲線C的方程為y2=1；（2）證明：由（1）知A（2，），l的方程為：y0y=1，又F（2，0），直線l：y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=相交于點(diǎn)N于是可得M（2，），N（，），=即恒為定值。變式練習(xí)：14.（2013山東（理）橢圓C：（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,離心率為 ，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1. （）求橢圓C的方程； （）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1、PF2,設(shè)F1PF2的角平分線 ，PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍； （）

26、在（）的條件下，過點(diǎn)p作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1，k2，若k0，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.15.（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。題型8：與圓錐曲線相關(guān)的求值問題解題策略：熟練各種曲線的定義、方程和性質(zhì)。例9.2014·天津卷 設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1

27、，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知|AB|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率解：(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c，0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，則，所以橢圓的離心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故橢圓方程為1.設(shè)P(x0，y0)由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有·0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以1.由和可得3x4cx00.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，

28、故x0c.代入得y0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1c，y1c，則圓的半徑rc.設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx.由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4±，所以直線l的斜率為4或4.變式練習(xí)： 16.2014·重慶卷 如圖所示，設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1F1F2，2，DF1F2的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑17.2014·新課標(biāo)全

29、國(guó)卷 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.18.2014·安徽 如圖，已知兩條拋物線E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，過原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn) (1)證明：A1B1A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點(diǎn)，記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1

30、與S2，求的值 變式練習(xí)參考答案1解：（1）（2）由（1）可知雙曲線C1的焦點(diǎn)（±，0），即為橢圓C2的焦點(diǎn)可設(shè)橢圓C2的方程為（b10）把P代入可得，解得=3，因此橢圓C2的方程為由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化為，x1+x2=，x1x2=，+，解得m=或m=，因此直線l的方程為：或 2.解：(1) （2），：，方法二：若設(shè)直線l的方程為xmy1(m0)，比照方法一給分3. 解：(1)設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0，m>0)，由得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故0，即b2m

31、2a2k20，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P.(2)由于直線l1過原點(diǎn)O且與l垂直，故直線l1的方程為xky0，所以點(diǎn)P到直線l1的距離d，整理得d.因?yàn)閍2k22ab，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)k2時(shí)等號(hào)成立所以，點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.4. 解：(1)由題意知F.設(shè)D(t，0)(t>0)，則FD的中點(diǎn)為.因?yàn)閨FA|FD|，由拋物線的定義知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2，所以拋物線C的方程為y24x.(2)證明：由(1)知F(1，0)設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD>0)因?yàn)閨FA|FD|，則|xD1|x01，由xD&

32、gt;0得xDx02，故D(x02，0)故直線AB的斜率kAB.因?yàn)橹本€l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yxb，代入拋物線方程得y2y0，由題意0，得b.設(shè)E(xE，yE)，則yE，xE.當(dāng)y4時(shí)，kAE，可得直線AE的方程為yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直線AE恒過點(diǎn)F(1，0)當(dāng)y4時(shí)，直線AE的方程為x1，過點(diǎn)F(1，0)所以直線AE過定點(diǎn)F(1，0)由知，直線AE過焦點(diǎn)F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.設(shè)直線AE的方程為xmy1，因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上，故m.設(shè)B(x1，y1)直線AB的方程為yy0(xx0)，由y00，得xy

33、2x0.代入拋物線方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以點(diǎn)B到直線AE的距離為d4，則ABE的面積S×4x0216，當(dāng)且僅當(dāng)x0，即x01時(shí)，等號(hào)成立所以ABE的面積的最小值為16.5. 解:(1)設(shè)圓心P的坐標(biāo)為(x,y),半徑為R,動(dòng)圓P與圓F1:(x+3)2+y2=81相切,且與圓F2:(x-3)2+y2=1相內(nèi)切,動(dòng)圓P與圓F1:(x+3)2+y2=81只能內(nèi)切.|PF1|=9-R|PF2|=R-1|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6.圓心P的軌跡為以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,其中2a=8,2c=6.a=4,c=3,b2=a2-c2

34、=7.故曲線C的方程為x216+y27=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),直線OQ的方程為x=my,則直線MN的方程為x=my+3.由x=my,x216+y27=1,可得x2=112m27m2+16,y2=1127m2+16,則x32=112m27m2+16,y32=1127m2+16.|OQ|2=x32+y32=112m27m2+16+1127m2+16=112(m2+1)7m2+16.由x=my+3,x216+y27=1,可得(7m2+16)y2+42my-49=0,y1+y2=-42m7m2+16,y1y2=-497m2+16.|MN|=(x2-x1)2+

35、(y2-y1)2=(my2+3)-(my1+3)2+(y2-y1)2=m2+1|y2-y1|=m2+1(y1+y2)2-4y1y2=m2+1-42m7m2+162-4-497m2+16=56(m2+1)7m2+16.|MN|OQ|2=56(m2+1)7m2+16112(m2+1)7m2+16=12.|MN|和|OQ|2的比值為一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)為12.(3)MNOQ,QF2M的面積=OF2M的面積.S=S1+S2=SOMN.O到直線MN:x=my+3的距離d=3m2+1,S=12|MN|·d=12×56(m2+1)7m2+16×3m2+1=84m2+17m2+16

36、=84m2+17m2+12+9=847m2+1+9m2+18427×9=27當(dāng)且僅當(dāng)7m2+1=9m2+1即m=±147時(shí),S取最大值27.(或：令m2+1=t,則m2=t2-1(t1),S=84t7(t2-1)+16=84t7t2+9=847t+9t.7t+9t27t·9t=67(當(dāng)且僅當(dāng)7t=9t,即t=37,亦即m=±147時(shí)取等號(hào)),當(dāng)m=±147時(shí),S取最大值27.）6. 解:(1)由已知條件知直線l的方程為y=kx+2,代入橢圓方程,得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.由直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

37、P和Q,得=8k2-412+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22.故k的取值范圍為-,-2222,+.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則OP+OQ=(x1+x2,y1+y2).由方程,知x1+x2=-42k1+2k2.又y1+y2=k(x1+x2)+22=221+2k2.由A(2,0),B(0,1),得AB=(-2,1).所以O(shè)P+OQ與AB共線等價(jià)于x1+x2=-2(y1+y2),將代入,解得k=22.因?yàn)橛?1)知k<-22或k>22,所以不存在符合題意的常數(shù)k.7. 解：(1)方法一：由F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，得

38、c1.又a22，b21，故橢圓C的方程為y21.方法二：由F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，得c1.又2a|PF1|PF2|2 ，a，b1. 故橢圓C的方程為y21.(2)把l1的方程代入橢圓方程，整理得(12k2)x24mkx2m220.直線l1與橢圓C相切，16k2m24(12k2)(2m22)0，化簡(jiǎn)得m212k2.同理把l2的方程代入橢圓方程，也得m212k2.設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(t，0)，點(diǎn)M到直線l1，l2的距離之積為1，則·1，即|k2t2m2|k21，把12k2m2代入上式并去絕對(duì)值整理，得k2(t23)2或k2(t21)0.k2(t23)2顯然不恒成立

39、，要使得k2(t21)0對(duì)任意的kR恒成立，則t210，解得t±1.綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為(1，0)或(1，0)8. 解：() 設(shè)，由條件知，得= 又，所以a=2=， ,故的方程. （）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線l：，設(shè) 將代入，得，當(dāng)，即時(shí)，從而= +又點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以O(shè)PQ的面積 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，且滿足，（或：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，且滿足）所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，的方程為： 或. 9. （）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得x2-2pkx-2p

40、2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。10. 解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

41、P(x0，y0)，則，由此可得.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為y，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|.由已知，四邊形ACBD的面積.當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.11. 解：（）離心率，即 ；又橢圓過點(diǎn)，則，式代入上式，解得，故橢圓方程為。（）解法一：設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即 由韋達(dá)定理得：

42、，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入式，可得，即，則。解法二：設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A，則兩式相減，得當(dāng)時(shí)，由得由題意，得A在直線和橢圓內(nèi)且不在x軸上，則或，在此范圍單調(diào)遞增，故或。12. 解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得|MF|x|1，即|x|1，化簡(jiǎn)整理得y22(|x|x)故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2(2)在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y24x，C2：y0(x<0)依題意，可設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由方程組可得ky24y4(2k1)0.當(dāng)k0時(shí)，y1.把y1代入軌跡C的方程，得x.故此時(shí)直線l：y1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)k0時(shí)，方程的判別式16(2k

43、2k1)設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0，0)，則由y1k(x2)，令y0，得x0.(i)若由解得k<1或k>.即當(dāng)k(，1)時(shí)，直線l與C1沒有公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)(ii)若或由解得k或k<0.即當(dāng)k時(shí)，直線l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2沒有公共點(diǎn)故當(dāng)k時(shí)，直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)(iii)若由解得1<k<或0<k<.即當(dāng)k時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn)綜上可知，當(dāng)k0時(shí)，直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，直線l與

44、軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn)13. 解:由題意知,當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),直線AB方程為x=-12,此時(shí)P(-2,0),Q(2,0),得F2P·F2Q=-1.當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k(k0),M-12,m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-1,y1+y2=2m.由x122+y12=1,x222+y22=1,得(x1+x2)+2(y1+y2)·y1-y2x1-x2=0,則-1+4mk=0,故k=14m.此時(shí),直線PQ斜率為k1=-4m,PQ的直線方程為y-m=-4mx+12,即y=-4mx-m.聯(lián)立y=-4mx-m,x22+y2=1,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x4=-16m232m2+1,x3x4=2m2-232m2+1.于是F2P·F2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=(1+16m2)(2m2-2)32m2+1+(4m2-1)(-16m2)32m2+1+1+m2=19m2-132m2+1.由于M-12,m在橢圓的內(nèi)部,故0<m2<