基本不等式知識梳理

1、基本不等式【考綱要求】1.了解基本不等式的證明過程，理解基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；2.會用基本不等式解決最大（?。┲祮栴}.3.會應(yīng)用基本不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題【知識網(wǎng)絡(luò)】基本不等式重要不等式最大（?。┲祮栴}基本不等式基本不等式的應(yīng)用【考點梳理】考點一：重要不等式及幾何意義1重要不等式：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.2基本不等式：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.要點詮釋：和兩者的異同：（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=” 的條件在形式上是相同的

2、，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”。（3）可以變形為：，可以變形為：.3.如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，過點作交圓于點D，連接、.易證，那么，即.這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合，即時，等號成立.要點詮釋：1.在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù). 因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.考點二：基本不等式的證明1. 幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊

3、長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有。得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）2. 代數(shù)法 ，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.要點三、用基本不等式求最大（小）值在用基

4、本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。 一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)； 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值； 三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值。要點四、幾個常見的不等式1），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號。2），當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時取“=”號。3）；特別地：；4） 5）；【典型例題】類型一：基本不等式的理解例1. ，給出下列推導(dǎo)，其中正確的有 （填序號）. （1）的最小值為；（2）的最小值為；（3）的最小值為.【解析】（1）；（2）（1），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.（3），（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號），與矛盾，上

5、式不能取等號，即【總結(jié)升華】在用基本不等式求函數(shù)的最值時，必須同時具備三個條件：一正二定三取等，缺一不可.舉一反三：【變式1】給出下面四個推導(dǎo)過程： ，； ，； ， ； ，.其中正確的推導(dǎo)為（ ）A. B. C. D.【解析】，符合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確.雖然，但當(dāng)或時，是負數(shù)，的推導(dǎo)是錯誤的.由不符合基本不等式的條件，是錯誤的.由得均為負數(shù)，但在推導(dǎo)過程中，將整體提出負號后，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故正確.選D.【變式2】下列命題正確的是（ ）A.函數(shù)的最小值為2. B.函數(shù)的最小值為2C.函數(shù)最大值為 D.函數(shù) 的最小值為2【答案】C【解析】A選項中，當(dāng)時由基本不等式；當(dāng)時

6、.選項A錯誤.B選項中，的最小值為2（當(dāng)且僅當(dāng)時，成立）但是，這是不可能的. 選項B錯誤.C選項中，故選項C正確。類型二：利用基本不等式求最值例2設(shè)，則的最小值是A1B2C3D4【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.【答案】D舉一反三：【變式1】若,求的最大值.【解析】因為,所以, 由基本不等式得:,（當(dāng)且僅當(dāng)即時, 取等號）故當(dāng)時,取得最大值.【變式2】已知，求的最大值.【解析】， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立）（當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立）故當(dāng)時，的最大值為4.例3.已知a0，b0，ab2，則y的最小值是AB4CD5【解析】,，答案選C舉一反三：【變式1】若,且,求的最小值 .【解析】,，（當(dāng)且僅當(dāng)即，

7、時，等號成立）（當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立）故當(dāng)，時，的最小值為64.【變式2】已知x0，y0，且，求x+y的最小值?！窘馕觥浚瑇0，y0，（當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時，取等號）又，x=4，y=12當(dāng)x=4，y=12時，x+y取最小值16。類型三：基本不等式應(yīng)用例4. 設(shè),求證：【證明】 成立舉一反三：【變式1】已知，求證:【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)即,等號成立）.【例5】(2015春 東城區(qū)期末)已知，且.(1)若則的值為 .(2)求證：【解析】(1)由題意可得帶入計算可得(2)由題意和基本不等式可得，舉一反三：【變式】(2015 石家莊一模)已知函數(shù)的定義域為R.(1)求實數(shù)m的取值范圍.(2)若m的最大

8、值為n，當(dāng)正數(shù)a、b滿足時，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因為函數(shù)的定義域為R,恒成立設(shè)函數(shù)則m不大于的最小值即的最小值為4，(2)由(1)知n=4當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.的最小值為類型四：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用例6. 某農(nóng)場有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m,現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建立一座豬圈，平面圖為矩形，面積為，預(yù)計（1）修復(fù)舊墻的費用是建造新墻費用的 ，（2）拆去舊墻用以改造建成新墻的費用是建新墻的，（3）為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出的空缺。試問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費用最??？ 【解析】顯然，使舊墻全部得到利用，并把圈門留在新墻處為好。設(shè)修復(fù)成新墻的舊墻為 ,則拆改成新墻的舊墻為，于是還需要建造新墻的長為設(shè)建造新墻需用元，建造圍墻的總造價為元，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立）故拆除改造舊墻約為米時，總造價最小.舉一反三：【變式1】某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張卡240元.并規(guī)定不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名學(xué)生，