圓與扇形題匯總

1、圓與扇形公式與割補(bǔ)內(nèi)容提要本講主要講解與圓和扇形有關(guān)的概念，及周長、面積公式等下面我們來說說這方面的基礎(chǔ)知識(shí)圓是我們?cè)谏钪薪?jīng)常見到的圖形，它也是最完美的平面圖形：有無數(shù)條通過圓心的對(duì)稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任何角度還保持原狀而且，所有的平面圖形在周長相同的情況下，圓的面積是最大的我們知道，圓的周長和直徑的比值是一個(gè)固定不變的數(shù)，這正是圓周率，用表示另外，一般把直徑記作d，半徑記作r，如圖1所示dr圖1所以，圓的周長，圓的面積如圖3，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫扇形它是圓的一部分，所以關(guān)于扇形的各種計(jì)算可以應(yīng)用圓里面的結(jié)論nr圖3扇形的圓心角為n時(shí)，它的弧長和面積應(yīng)該分別是圓周

2、長和圓面積的所以，扇形弧長=，面積=我們先來熟悉一下這些公式練習(xí)：1. 半徑是2的圓的面積和周長分別是多少？2. 直徑是5的圓的面積和周長分別是多少？3. 周長是10的圓的面積是多少？4. 面積是9的圓的周長是多少？例題一、 基本公式運(yùn)用例題1. 已知扇形的圓心角為120，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積和周長各是多少？（圓周率按3.14計(jì)算）例題2. 已知扇形面積為18.84平方厘米，圓心角為60，則這個(gè)扇形的半徑和周長各是多少？ （圓周率按3.14計(jì)算）60隨堂練習(xí)：1. 已知一個(gè)扇形的弧長為0.785厘米，圓心角為，這個(gè)扇形的半徑和周長各是多少？2. 扇形的面積是31.4平方厘米,它所在圓的面

3、積是157平方厘米,這個(gè)扇形的圓心角是多少？例題3. 如圖，直角三角形ABC的面積是45，分別以B，C為圓心，3為半徑畫圓已知圖中陰影部分的面積是35.58請(qǐng)問：角A是多少度？（取3.14）ABC二、 圓中方，方中圓例題4. 如圖，左下圖和右下圖中的正方形邊長都是2，那么大圓、小圓的面積分別為_、_隨堂練習(xí)：1. 已知外面大圓的半徑是4，里面小圓的面積是多少？（答案用表示）二、割補(bǔ)法例題5. 求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為厘米，圓周率按3.14計(jì)算）：223（1） （2）隨堂練習(xí)：求下圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為厘米，圓周率按3.14計(jì)算）：（1） （2） 47 例題6. 求

4、下列各圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為厘米，圓周率按3.14計(jì)算）：22（1） （2）例題7. 已知圖中正方形的邊長為2，分別以其四個(gè)頂點(diǎn)為圓心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么圖中陰影部分的面積為_（答案用表示）例題8. 根據(jù)圖中所給數(shù)值，求下面圖形的外周長和總面積分別是多少？（取3.14） 4隨堂練習(xí)：1. 根據(jù)下圖中給出的數(shù)值，求這個(gè)圖形的外周長和面積（取3.14）6例題9. 求圖中陰影部分的面積（圓周率p取3.14）45o 45o20厘米思考題圖中的4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心如果每個(gè)圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？ 作業(yè)：1.

5、 半徑為4厘米的圓的周長是_厘米，面積是_平方厘米；（25.12，50.24）O7厘米2. 半徑為4厘米，圓心角為的扇形周長是_厘米，面積是_平方厘米（取3.14）（14.28，12.56）3. 家里來客人了，淘氣到超市買了4瓶啤酒，售貨員阿姨將4瓶啤酒捆扎在一起（如下圖所示），捆4圈至少要用繩子_厘米（取3.14，接頭處忽略不計(jì)）1114. 求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為厘米，圓周率按3.14計(jì)算）：（1） （2）1010 5. 下列圖形中的正方形的邊長為2，則下圖中各個(gè)陰影部分面積的大小分別為_、_（取3.14）（0.86；2）O6. 用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從

6、中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？ 圓與扇形旋轉(zhuǎn)與重疊知識(shí)總結(jié)：學(xué)習(xí)如何利用割補(bǔ)法和包含排除的思想計(jì)算圖形中特定部分的面積；學(xué)會(huì)分析幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過程，并由此得出點(diǎn)的軌跡和圖形掃過的區(qū)域例題：一、 重疊問題例題1. 下圖中甲區(qū)域比乙區(qū)域的面積大57平方厘米，且半圓的半徑是10厘米，那么其中直角三角形的另一條直角邊的長度是多少？（圓周率p取3.14） 甲乙例題2. 下圖中有一個(gè)等腰直角三角形ABC，一個(gè)以AB為直徑的半圓，和一個(gè)以BC為半徑的扇形已知厘米圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？（取3.14）ACBDE隨堂練習(xí)ABC1. 如圖17-13，以AB為直徑做

7、半圓，三角形ABC是直角三角形，陰影部分比陰影部分的面積小28平方厘米，AB長40厘米求BC的長度（p取3.14）例題3. 如圖，直角三角形的兩條直角邊分別為3和5，分別以三條邊做了3個(gè)半圓（直角頂點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上），那么陰影部分的面積為_（6）543例題4. 圖1是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，AB是直徑如圖2所示，讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)請(qǐng)問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（取3.14）圖1ABAB60圖2C二、 動(dòng)態(tài)掃面積問題ABCDEGHF例題5. 如圖，正方形ABCD邊長為1厘米，依次以A、B、C、D為圓心，以AD、BE、CF、DG為半徑畫出四個(gè)直

8、角扇形，那么陰影部分的面積為_平方厘米（取3.14）例題6. 如圖所示，以等邊三角形的B、C、A三點(diǎn)分別為圓心，分別以AB、CD、AE為半徑畫弧，這樣形成的曲線ADEF被稱為正三角形ABC的漸開線，如果正三角形ABC的邊長為3厘米，那么此漸開線的長度為多少厘米，圖中、三部分的面積之和是多少平方厘米？ABCDEIIIIII三、 運(yùn)動(dòng)圓掃面積例題7. 圖中正方形的邊長是4厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大？（取3.14） 隨堂練習(xí)1. 圖中長方形的長是10厘米，寬是4厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，

9、其掃過的面積有多大？（取3.14） 例題8. 圖中等邊三角形的邊長是3厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞等邊三角形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大？（取3.14） 思考題如圖所示，一只小狗被拴在一個(gè)邊長為4米的正五邊形的建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)處，四周都是空地繩長剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置小狗的活動(dòng)范圍是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計(jì)，取3）狗作業(yè)：1. 圖17-14由一個(gè)長方形與兩個(gè)90角的扇形構(gòu)成，其中陰影部分的面積是_平方厘米（p取3.14）52圖17-142. 圖中有一個(gè)矩形和兩個(gè)半徑分別為5和2的直角扇形，那么兩個(gè)陰影部分的面積相差為_（取3.

10、14）3. 如圖，直角三角形的兩條直角邊長分別是10cm和6cm，分別以直角邊為直徑作出兩個(gè)半圓，這兩個(gè)半圓的交點(diǎn)恰好落在斜邊上，那么陰影部分的面積是_cm2（p取3.14）（17p-30）10cm6cm4. 圖1是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，AB是直徑如圖2所示，讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)請(qǐng)問：圖中陰影部分的面積是_平方厘米（取3.14）圖1ABABC40圖2C5. 圖中正方形的邊長是6厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有_（取3.14） 6. 圖中等邊三角形的邊長是5厘米，圓形的半徑是1厘米當(dāng)圓形繞等邊三角形滾動(dòng)一

11、周又回到原來位置時(shí)，掃過的面積有_（取3.14）幾何計(jì)數(shù)知識(shí)總結(jié)：例題：一、 枚舉或分類解題利用枚舉法以及分類的方法進(jìn)行幾何計(jì)數(shù)，特別是對(duì)于正方形和三角形的計(jì)數(shù)問題通常按照面積的大小或者包含基本圖形的多少來對(duì)圖形進(jìn)行分類例題1. 小杰瑞把巧克力棒擺成了如圖所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個(gè)巧克力棒請(qǐng)問：（1）一共有多少個(gè)巧克力棒？（2）這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個(gè)三角形？（3）嘴饞的小杰瑞吃掉一個(gè)巧克力棒后（圖中兩端帶有箭頭的小邊），剩下的圖形中還有多少個(gè)三角形？隨堂練習(xí)1. 圖中共有_個(gè)三角形；例題2. 如圖，它是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形，其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大

12、的正三角形圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有_*例題3. 如圖，AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中三角形個(gè)數(shù)是_OBMAEFCDN例題4. 圖中有多少個(gè)正方形？ 二、 與排列組合有關(guān)的計(jì)數(shù)利用排列組合的方法進(jìn)行幾何計(jì)數(shù)，特別是對(duì)于矩形和四邊形的計(jì)數(shù)問題例題5. 如圖，線段AB，BC，CD，DE的長度都是3厘米請(qǐng)問：（1）圖中一共有多少條線段？（2）這些線段的長度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米ABCDE隨堂練習(xí)1. 求圖中一共有多少條線段例題6. 求圖中一共有多少條線段求圖中一共有多少個(gè)矩形（15）隨堂練習(xí)1. 如圖，四條邊長度都相等的四邊形稱為菱形用16個(gè)同樣大小的菱形組成

13、如圖的一個(gè)大菱形數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)菱形？例題7. 右圖是一個(gè)長為9，寬為4的長方形網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)正方形，那么：1）從中可以數(shù)出_個(gè)矩形2）從中可以數(shù)出_個(gè)正方形3）從中可以數(shù)出包含_個(gè)，正方形有_個(gè)（450）（80）（144、15）隨堂練習(xí)（1）圖中包含的長方形有_個(gè)包含J的正方形又有_個(gè)（2）圖中同時(shí)包含J和的長方形有_個(gè) J三、 與容斥原理有關(guān)的幾何計(jì)數(shù)例題8. 圖中一共包含多少個(gè)矩形？多少個(gè)正方形？（135，35）隨堂練習(xí)1. 圖中有_個(gè)矩形思考題用16個(gè)邊長為1的等邊三角形拼成一個(gè)邊長為4的大等邊三角形，那么組成的圖形中可以找出多少個(gè)平行四邊形？作業(yè)1. 數(shù)一數(shù)圖中一共有

14、多少條線段？2. 圖中共有_個(gè)三角形【分析與解】按邊長分類數(shù)，圖中共有個(gè)三角形；平行四邊形共有個(gè)3. 在圖中，包含的長方形共有_個(gè)4. 圖中有_個(gè)矩形，_個(gè)正方形【分析與解】圖中共有個(gè)正方形，19個(gè)長方形這道題適合按大小分類數(shù)5. 圖中有三角形_個(gè)，梯形_個(gè)ABC【分析與解】三角形有個(gè)，梯形有個(gè)6. 圖中有_個(gè)正方形，_個(gè)長方形【分析與解】答案是38，144長方形有 個(gè)，正方形有個(gè)（這里給出正方形的求法比較巧妙，如果不合適，請(qǐng)按正方形的邊長分類枚舉）行程本講建議不分專題由于，我沒有看咱們秋季的題目，所以選題會(huì)有問題，我大致按照，火車問題，行船流水，多次相遇與追及，多人相遇與追及，比例來出的題知

15、識(shí)總結(jié)：本講重點(diǎn)學(xué)習(xí)在小升初中和各個(gè)杯賽中的較復(fù)雜的行程問題，行程問題主要有三組共9個(gè)基本公式：（1） ；（2） ；（3） ；要會(huì)靈活運(yùn)用公式，通過已知的條件求出未知的路程、速度或時(shí)間此時(shí)，我們還經(jīng)常需要用到以下這三個(gè)基本倍數(shù)關(guān)系：當(dāng)運(yùn)動(dòng)的速度相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同時(shí)，速度的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的路程相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于速度的倍數(shù)關(guān)系，但注意時(shí)間長的速度慢，時(shí)間短的速度快例題1. （ ）甲、乙兩地間的路程是600千米，上午8點(diǎn)客車以平均每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地，貨車以平均每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲地要使兩車在全程的中點(diǎn)相遇

16、，貨車必須在上午幾點(diǎn)出發(fā)？建議：加入杯賽或?qū)W校例題2. （ ）某學(xué)校組織學(xué)生去春游，以2米/秒的速度前進(jìn)，一名學(xué)生以4米/秒的速度從隊(duì)尾跑到隊(duì)頭，再回到隊(duì)尾，共用6分鐘，那么隊(duì)伍的總長為多少米？例題3. A城在一條河的上游，B城在這條河的下游A、B兩城的水路距離為396千米一艘在靜水中速度為每小時(shí)12千米的漁船從B城往A城開，一艘在靜水中速度為每小時(shí)30千米的治安巡邏艇從A城往B城開已知河水的速度為每小時(shí)6千米，從A流向B兩船在距離A城180千米的地方相遇巡邏艇在到達(dá)B城后得到消息說他們剛才遇到的那艘漁船上有一名逃犯，于是巡邏艇立刻返回去追漁船請(qǐng)問巡邏艇能不能在漁船到達(dá)A城之前追上漁船？如果能

17、的話，請(qǐng)問巡邏艇在距A城多遠(yuǎn)的地方追上漁船；如果不能的話，請(qǐng)算出巡邏艇比漁船慢多少小時(shí)到A城例題4. 蝸牛沿著公路前進(jìn)，對(duì)面來了一只兔子，他問兔子：“后面有烏龜嗎？”，兔子回答說：“10分鐘前我超過了一只烏龜”，接著蝸牛繼續(xù)爬了10分鐘，遇到了烏龜已知烏龜?shù)乃俣仁俏伵Ｋ俣鹊?0倍，那么兔子速度是烏龜速度的_倍例題5. 甲、乙二人相距100米的直路上來回跑步,甲每秒鐘跑2.8米,乙每秒鐘跑2.2米.他們同時(shí)分別在直路兩端出發(fā),當(dāng)他們跑了30分鐘時(shí),這段時(shí)間內(nèi)相遇了幾次？例題6. 甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在距離B地64千米的地方第一次相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)原速前進(jìn)，并且在到達(dá)對(duì)方出

18、發(fā)點(diǎn)之后，立即沿原路返回，途中在距離A點(diǎn)48千米處第二次相遇，問：兩次相遇點(diǎn)距離是多少千米？例題7. 甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時(shí)15千米，乙車的速度是每小時(shí)35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇（這里特指面對(duì)面的相遇）的地點(diǎn)與第四次相遇的地點(diǎn)恰好相距120千米，那么，A、B兩地之間的距離等于_ 千米例題8. 快、中、慢3輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人這3輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，那么，慢車每小時(shí)走多少千米？例題9. 有甲乙丙三車各以一定的速度從A到B，乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙，甲比乙又晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后60分鐘追上丙，問，甲出發(fā)后多少分鐘可以追上乙？思考題這個(gè)版本用的事華文彩云一次越野賽跑中，當(dāng)小明跑了1600米時(shí)，小剛跑了1450米，此后兩人分