常用概率分布

1、1第四章 常用概率分布2第一節(jié) 正態(tài)分布Normal Distribution3p定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為p其中為平均數(shù)，2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布， 記為xN(,2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為正態(tài)分布(normal distribution)222)(21)(xexfxxdxexF222)(21)(4正態(tài)分布正態(tài)分布1.正態(tài)分布密度曲線是單峰、對(duì)稱的懸鐘形曲線，對(duì)稱軸為x=；2.f(x) 在 x = 處達(dá) 到 極 大 ， 極大值 ； 3.f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-至+4.曲線在x=處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在(-,-)和(+,+) 區(qū)間上是下凸的，在-

2、,+區(qū)間內(nèi)是上凸的21)(f5正態(tài)分布正態(tài)分布p正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差6正態(tài)分布正態(tài)分布p分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，121)(222)(dxexPx7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)p=0,2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)p隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作uN(0，1)2221)(ueudueuuu22121)(8標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布p對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x，都可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換u=(x-) 將 其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量upu稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

3、變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standard normal deviate)9三、正態(tài)分布的概率計(jì)算三、正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè)設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u 在在u1,u2 ）何內(nèi)取值的概率為：何內(nèi)取值的概率為： (u2)(u1) 而而(u1)與與(u2)可由附表可由附表1查得。查得。 dueduedueuuuPuuuuuuu122221221212121212121)(10標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布p正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出下列關(guān)系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地計(jì)算有關(guān)概率： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(uu11-2

4、(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1)11計(jì)算計(jì)算p已知uN(0，1)，試求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =?12計(jì)算計(jì)算查附表1得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.3038913例例3 3 在總體 中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量為3

5、6的樣本,求樣本均值 落在50.8到53.8之間的概率.)3 . 6,52(2NX解解)36/3 . 6,52(2NX故6/ 3 . 6528 .506/ 3 . 6528 .53)8 .538 .50( XP8239. 0)1429. 1()7143. 1 (14p關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記：P（-1u1）=0.6826P（-2u2）=0.9545P（-3u3）=0.9973P（-1.96u1.96）=0.95P (-2.58u2.58)=0.9915計(jì)算計(jì)算u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(u1)=2(-1)=1- P(-1u1) =1-0.6826=0.3174 P

6、(u2)=2(-2) =1- P（-2u2） =1-0.9545=0.0455 P(u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1-0.95=0.05 P(u2.58)=1-0.99=0.01 16由表42可見，實(shí)際頻率與理論概率相當(dāng)接近，說(shuō)明126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布，從而可推斷基礎(chǔ)母羊體重這一隨機(jī)變量很可能是服從正態(tài)分布的 17雙側(cè)概率和單側(cè)概率雙側(cè)概率和單側(cè)概率p隨機(jī)變量隨機(jī)變量x落在平均數(shù)落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率之外的概率稱為雙側(cè)概率(兩尾概率兩尾概率)，記作，記作。對(duì)。對(duì)應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量

7、應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于小于-k或大或大于于+k的概率，稱為單側(cè)概率的概率，稱為單側(cè)概率(一尾概率一尾概率),記作記作/2。例如，。例如，x落在落在(-1.96,+1.96)之外之外的雙側(cè)概率為的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為，而單側(cè)概率為0.025。P(x+1.96)=0.02518px落在落在(-2.58,+2.58)之外的雙側(cè)概率為之外的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率，而單側(cè)概率P(x+2.58)=0.00519第二節(jié) 卡方分布Chi-square Distribution20定義定義p如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量z zi i( (i i = 1, ., = 1, ., n n)

8、 )為相互獨(dú)為相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則定義：立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則定義： , , i i = 1, ., = 1, ., n n 變量變量 2 2服從自由度等于服從自由度等于n n卡方分布（卡方分布（chi chi square distributionsquare distribution）。）。 iiz2221卡方分布曲線卡方分布曲線圖圖4-1 不同自由度下的不同自由度下的2分布分布圖圖4-2 2分布的分布的上側(cè)和下側(cè)分位數(shù)上側(cè)和下側(cè)分位數(shù)示意圖示意圖 22卡方分布特征卡方分布特征1.卡方分布于區(qū)間卡方分布于區(qū)間0，+ )，并且呈反，并且呈反J形形的偏斜分布。的偏斜分布。2.卡

9、方分布的偏斜度隨自由度的降低而增大，卡方分布的偏斜度隨自由度的降低而增大，當(dāng)自由度等于當(dāng)自由度等于1時(shí)，曲線以縱軸為漸近線。時(shí)，曲線以縱軸為漸近線。3.隨自由度的增大，卡方分豐曲線漸趨左右隨自由度的增大，卡方分豐曲線漸趨左右對(duì)稱，當(dāng)對(duì)稱，當(dāng)df 30時(shí)，卡方分布已接近正時(shí)，卡方分布已接近正態(tài)分布。態(tài)分布。 23第三節(jié)t分布24定義定義p如果如果zN(0,1), 2服從自由度等于服從自由度等于n的卡方分的卡方分布布, 則則為自由度為為自由度為n的的t分布分布pt分布的形狀與正態(tài)分布相似分布的形狀與正態(tài)分布相似nzt225t 分布分布不同自由度下的不同自由度下的t分布分布 t分布雙側(cè)分位數(shù)示意圖分

10、布雙側(cè)分位數(shù)示意圖 26t 分布密度曲線特點(diǎn)分布密度曲線特點(diǎn)pt分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條t分分布密度曲線。布密度曲線。pt分布密度曲線以縱軸為對(duì)稱軸，左右對(duì)稱，且在分布密度曲線以縱軸為對(duì)稱軸，左右對(duì)稱，且在t0時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。p與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。尾部稍高而平。df越小這種趨勢(shì)越明顯。越小這種趨勢(shì)越明顯。df越大，越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n 30時(shí)，時(shí)，t分布與分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

11、布的區(qū)別很??；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很?。籲 100時(shí)，時(shí)，t分布基本與分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n時(shí)，時(shí)，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。布完全一致。27第四節(jié)F分布28定義定義29F分布圖分布圖 (2,6)(6,10)(10,20)30F分布有以下特征分布有以下特征pF分布的平均數(shù)等于分布的平均數(shù)等于1，取值區(qū)間為，取值區(qū)間為0，+ )。pF分布曲線的形狀僅決定于分布曲線的形狀僅決定于df1和和df2。當(dāng)。當(dāng)df1=1或或2時(shí)，時(shí)，F(xiàn)分布曲線呈嚴(yán)重傾斜的反向分布曲線呈嚴(yán)重傾斜的反向J形，當(dāng)形，當(dāng)df1 3時(shí)，轉(zhuǎn)為左偏曲線。時(shí)，轉(zhuǎn)為左偏曲線。31第五節(jié)樣本平均

12、數(shù)的抽樣分布32定義定義p樣本變異性樣本變異性(sampling variability)：簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本平均數(shù)間存在差別。或抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本平均數(shù)間存在差別。或抽樣誤差誤差(sampling error)p樣本分布樣本分布(sampling distribution)：指樣本的概率分布。指樣本的概率分布。33樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的分布p從從N個(gè)總體中隨機(jī)抽取樣本含量為個(gè)總體中隨機(jī)抽取樣本含量為n的樣本，的樣本，共抽共抽m次，求樣本平均數(shù)的分布次，求樣本平均數(shù)的分布(sample distribution for the mean)。p計(jì)算每個(gè)樣本的平均數(shù)計(jì)算每個(gè)樣本的平均數(shù)p列出每次抽樣

13、的平均數(shù)，并列出每個(gè)平均列出每次抽樣的平均數(shù)，并列出每個(gè)平均數(shù)的頻率數(shù)的頻率直觀觀察直觀觀察34例題例題1p一個(gè)骰子擲兩次算一次抽樣，求所有樣一個(gè)骰子擲兩次算一次抽樣，求所有樣本的樣本平均數(shù)和方差本的樣本平均數(shù)和方差12345611,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,622,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,633,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,644,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,655,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,666,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,635例題例題 2平均數(shù)平均數(shù)頻率頻率相對(duì)頻率相對(duì)頻率1.010.0281.520.0

14、562.030.0832.540.1113.050.1393.560.1674.050.1394.540.1115.030.0835.520.0566.010.028總和總和361.00036樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的分布 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.037定理定理p情況情況1. 如果總體服從正態(tài)分布，平均數(shù)為如果總體服從正態(tài)分布，平均數(shù)為 ，方差為，方差為 2，樣本含量為，樣本含量為n，則樣本為：，則樣本為：n正態(tài)分布正態(tài)分布n平均數(shù)等于平均數(shù)等于 n方差等于方差等于 2/n，SQRT（ 2/n ）稱為平均）稱為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差(standard error of the mean), 或簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤或簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤38定理定理p情況情況2：當(dāng)總本：當(dāng)總本不是不是服從正態(tài)分布，平均數(shù)服從正態(tài)分布，平均數(shù)為為 ，方差為，方差為 2，樣本含量為，樣本含量為n，則樣本為：，則樣本為：n近似服從正態(tài)分布，隨樣本越大，近似越好。近似服從正態(tài)分布，隨樣本越大，近似越好。與總體分