公開課：直線的參數(shù)方程

1、預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：1.向量共線的條件向量共線的條件abaab )0(/2.直線直線l的方向向量是指：的方向向量是指：與直線與直線l平行的非零向量平行的非零向量經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x0,y0),傾斜角為傾斜角為 的直線的直線l的的普通方程是普通方程是_;)(tan00 xxyy如何建立直線如何建立直線l的參數(shù)方程呢？的參數(shù)方程呢？e),(),(),(00000yyxxyxyxMM)sin,(coseyx0),(000yxMl),(yxM經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x0,y0),傾斜角為傾斜角為 的直線的直線l的的參數(shù)方程：參數(shù)方程：)(sincos00為參數(shù)ttyytxx參數(shù)參數(shù)t的幾何意義是什么？的幾何意義

2、是什么？|0MMt eyx0),(000yxMl),(yxM重合與則點(diǎn)若方向向下則若方向向上則若000, 0, 0, 0MMtMMtMMt21211ttMM ）（2221ttt ）（3.3.弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：弦的中點(diǎn)：弦的中點(diǎn)：)(231211是參數(shù)ttytx)(311是參數(shù)ttytx若直線的參數(shù)方程為：若直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)為參數(shù))00 xxatyybt則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0 , y0),斜率為斜率為bka220| | |MMtab1.直線參數(shù)方程2.利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,簡(jiǎn)化求直線上兩點(diǎn)間的距離.0cos(sinttyyt0 x=x是參數(shù)）探究探究:直線

3、的直線的參數(shù)方程形參數(shù)方程形式是不是唯式是不是唯一的一的|t|=|M0M|00(xxattyybt為參數(shù)）221abt當(dāng)時(shí)，才具有此幾何意義其它情況不能用。1 22 32233-3322xttyt (2)若直線的參數(shù)方程為為參數(shù) ，則直線的斜率為 （ ） A、 B、 C、 D、 D(1)1111111,2222xatybtta btttt(3)若直線L的參數(shù)方程為為參數(shù) ，L上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)是t，則點(diǎn)P與P之間的距離是（ ） A、 B、 C、 D、C(2)例1.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(2,-4),傾斜角為 (1)求l的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l與直線x-y+1=0交于點(diǎn)B，求線段AB的長(zhǎng).65yx0)

4、,(000yxMl),(yxM|tOyxBAl01 yx|t直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)M與參數(shù)與參數(shù)t的值是一一對(duì)應(yīng)的的值是一一對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)|AB|=中點(diǎn)中點(diǎn)P的參數(shù)的參數(shù)| |t tt t| |2 21 1例例2：已知直線：已知直線 與拋物線與拋物線 交于交于A,B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 點(diǎn)點(diǎn)M(-1,2)在直線在直線AB上，上，（1）求線段）求線段AB的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)）求點(diǎn)M(-1,2)到到A , B兩點(diǎn)的距離之積；兩點(diǎn)的距離之積；（3）求）求AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)P的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。01: yxl2xy 22 21 1t tt t t練習(xí)：練習(xí)： 求直線求直線 被雙曲線被雙曲線x2-y2=1截得的弦長(zhǎng)截

5、得的弦長(zhǎng)|AB|.)(23212為參數(shù)ttytx例例3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)作直線作直線l ,交橢圓交橢圓141622yx于于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M恰好為線段恰好為線段AB的的中點(diǎn)，求直線中點(diǎn)，求直線l的方程的方程.練習(xí)：已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)練習(xí)：已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)，斜率為，斜率為 的直線的直線和拋物線和拋物線y2=2x相交于相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo) .34弦的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為弦的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為2 2t tt t2 21 121.:10l xyyx 例 已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度和點(diǎn)M(-1,2)到A,

6、B兩點(diǎn)的距離之積。分析:3.點(diǎn)M是否在直線上1.用普通方程去解還是用參數(shù)方程去解;2.分別如何解.例1ABM(-1,2)xyO(*)010122 xxxyyx得：得：解：由解：由112121 xxxx，由韋達(dá)定理得：由韋達(dá)定理得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解得：解得：由由25325321 yy，)253,251()253,251( BA，坐標(biāo)坐標(biāo)記直線與拋物線的交點(diǎn)記直線與拋物線的交點(diǎn)2222)2532()2511()2532()2511( MBMA則則245353 1l（）如何寫出直線的參數(shù)方程？122?A Btt（ ）如何求出交點(diǎn) ， 所對(duì)應(yīng)

7、的參數(shù) ，123AB MA MBtt（）、與 ， 有什么關(guān)系？22.2,11,164xyA BMABL例2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作直線L,交橢圓于兩點(diǎn)。如果點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，求直線 的方程。2,12cos1sin,MLxttyt 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線 的參數(shù)方程為為參數(shù) 代入橢圓方程為22123sin14 cos2sin80,.ttAMtMBtM則在橢圓內(nèi)所以122124 cos2sin3sin110,cos2sin0,tan22122402ttMttklxxy 因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)所以直線 的方程是：y-1=即ABlOxy思考：思考：例例2的解法對(duì)一般圓錐曲線適用嗎？把的解法對(duì)一般圓錐曲線適用嗎？把“中中點(diǎn)點(diǎn)

8、”改為改為“三等分點(diǎn)三等分點(diǎn)”，直線的方程怎樣求？，直線的方程怎樣求？思考：思考：例例2還有別的解方法嗎？還有別的解方法嗎？ABlOxy的參數(shù)方程為的直線解：設(shè)過(guò)點(diǎn)lM) 1 , 2(代入橢圓方程得為參數(shù))(sin1cos2ttytx08)sin2(cos4) 1sin3(22tt12,MAtMBt由t的幾何意義知因?yàn)辄c(diǎn)有兩個(gè)實(shí)根，所以在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必M1sin3)sin2(cos4221tt1sin38221t t）得（平方2) 1 (的三等分點(diǎn)，為線段因?yàn)辄c(diǎn)ABM的方程為，因此直線lk32tan)2(321xy212tt) 1 (1sin3)sin2(cos42221ttt)2(21s

9、in3822221tt t例3例41.經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x0,y0),傾斜角為傾斜角為 的直線的直線l的的參數(shù)方程：參數(shù)方程：)(sincos00為參數(shù)ttyytxx2.參數(shù)參數(shù)t的幾何意義的幾何意義:|0MMt 3. 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)M與參數(shù)與參數(shù)t的值是一一對(duì)應(yīng)的的值是一一對(duì)應(yīng)的.重合與則點(diǎn)若方向向下則若方向向上則若000, 0, 0, 0MMtMMtMMt若直線若直線l:)(sincos00為參數(shù)ttyytxx與曲線與曲線y=f(x)交于交于M1,M2兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為分別為t1,t2,(1)曲線的弦曲線的弦M1M2的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是(2)線段線段M1M2的中點(diǎn)的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值的值是是4.