二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯編

1、學(xué)習(xí)-好資料二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理：(a+bf=C0an+C：an，b十一+C：an”bk+C：bn(nwN")等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做n(a+bn的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)C：(k=0,1,2,3n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對(duì)二項(xiàng)式定理的理解：(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)(2)字母a按降哥排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1到0；字母b按升哥排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1到n(3)二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,等式都成立，通過(guò)對(duì)a,b取不同的特殊值，可為某些問(wèn)題的解決帶來(lái)方便。在定理中假設(shè)a=1,b=x,則(1+xf=C0xn+C：x+C：xn十一+C：xn(nWN*

2、)(4)要注意二項(xiàng)式定理的雙向功能：一方面可將二項(xiàng)式(a+bf展開，得到一個(gè)多項(xiàng)式；另一方面，也可將展開式合并成二項(xiàng)式abn二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tk1=C：an,bk二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)T«=C：anAbk(k=0,1,2,3門)是二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)，它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定哥的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對(duì)通項(xiàng)Tk+=C：an*bk(k=0,1,2,32的理解：(1)字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同(2) a與b的次數(shù)之和為n(3)在通項(xiàng)公式中共含有a,b,n,k,

3、Tk由這5個(gè)元素，知道4個(gè)元素便可求第5個(gè)元素更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料n4-1D.3例1C：+3C；+9Cn3+一+3nC：等于4nnnA.4nBo34nCo-13例2.(1)求(1+2x)7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；1.9.3.一一(2)求(x-)9的展開式中X3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù).X三、二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)：對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0_n1_n-12_n_2k_n_k.n-Cn7cn-Cn7cn-Cn，Cn-Cn，增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即n

4、偶數(shù)：(C：max=Cn2；n1n:h如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大，即(C：»ax=Cn=Cn二項(xiàng)展開式的各系數(shù)的和等于2n,令a=1,b=1即C0+C；+C；=(1+1)n=2n；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，令a=1,b=-1即C0C2.c1C3.o：,CnCn-CnCn-211例題：寫出(x-y)的展開式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(5)各項(xiàng)系數(shù)的和更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料四、多項(xiàng)式的展開式及展開式中的特定項(xiàng)(1)求多項(xiàng)式(a1+a2+十a(chǎn)n

5、)n的展開式，可以把其中幾項(xiàng)結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式定理展開。1Q例題：求多項(xiàng)式(x2+-2)3的展開式x(2)求二項(xiàng)式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開式中的特定項(xiàng)，可以先寫出各個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)再分析。例題：求(1十x)2(1x)5的展開式中X3的系數(shù)例題:(1)如果在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料,1c(2)求x+2的展開式的常數(shù)項(xiàng)。x【思維點(diǎn)撥】求展開式中某一特定的項(xiàng)的問(wèn)題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來(lái)定例題：已知(12x)7=a0+a1x+a

6、2x2+a7x7,求：(1)ai+a2+11!+a7;(2)ai+a3+%+a7；(3)|a()|+|a|+IH+|a?|.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料六、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：1、二項(xiàng)式定理還應(yīng)用與以下幾方面：(1)進(jìn)行近似計(jì)算(2)證明某些整除性問(wèn)題或求余數(shù)(3)證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：2n>2n(n之3,nwN嫩2n=(1+1/的展開式中的四項(xiàng)即可。2、各種問(wèn)題的常用處理方法(1)近似計(jì)算的處理方法當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)可以用展開式的前幾項(xiàng)求(1+x)n的近似值。例題：(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是()A.1.23B,1.24C.1.33D,1.34(2)整

7、除性問(wèn)題或求余數(shù)的處理方法解決這類問(wèn)題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把哥的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，這里的k通常為±1,若k為其他數(shù)，則需對(duì)哥的底數(shù)k再次構(gòu)造和或差的形式再展開，只考慮后面(或者是某項(xiàng))一、二項(xiàng)就可以了要注意余數(shù)的范圍，對(duì)給定白勺整數(shù)a,b(b豐0)，有確定的一對(duì)整數(shù)q和r,滿足a=bq+r,其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，r=0,b，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題：求201363除以7所得的余數(shù)更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例題：若n為奇數(shù)，則7n+C：7n,+C27n/+

8、十C/7被9除得的余數(shù)是（）A.0Bo2C。7D.8一.1c-例題：當(dāng)nwN且n>1,求證2<(1+)<3n【思維點(diǎn)撥】這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，它的取舍根據(jù)題目而定更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料綜合測(cè)試、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的在(xJ31)0的展開式中,x6的系數(shù)為2.3.4.5.6.7.A.27C：0B.27C40C.-9C60D.9C40已知a+bA0,b=4a,等，那么正整數(shù)n等于A.4A.10B.(a+bn的展開式按a的降哥排列,其中第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相C.10D.11已知(.a,5310被8

9、除的余數(shù)是A.1n的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為11：2,則n是()B.B.(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到A.1.23B.式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是A.1設(shè)（3x式的B.11C.12D.13C.D.0.01的近似值是1.24C.1.33D.1.34(nWN)的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開C.3D.113+x2)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為t,其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h,若t+h=272,則展開A.x2項(xiàng)的系數(shù)是B.1C.2D.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料8.在（1+xx2）6的展開式中x5的系數(shù)為9.10.A.4B.5C.（晨+5/1）n展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于A.330B.462C.D

10、.71024,則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是680D.790(&+1)4(x1)5的展開式中,4，x的系數(shù)為A.40B.10C.40D.45二項(xiàng)式（1+sinx）n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7,且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為則x在0,2兀內(nèi)的值為A.一或一63二f2二C.一或33一二#5二D.1或3612.在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n-5的A.第2項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.第20項(xiàng)D.第24項(xiàng)二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果13.(x22x）9展開式中x9的系數(shù)是414.若(2x+=a0+ax+a4x4,則(

11、a。+a?+a4f-儂+a32的值為32n15 .若（x+x）的展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是16 .對(duì)于二項(xiàng)式（1-x）1999,有下列四個(gè)命題:展開式中T1000=一C1999x；展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1;更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)；當(dāng)x=2000時(shí)，（1-x）1999除以2000的余數(shù)是1.其中正確命題的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）三、解答題：本大題滿分74分.17. （12分）若（我+4V展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.x（1）求n的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？18. （12分

12、）已知（1+2x）n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37,求展式中二項(xiàng)4式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料19. （12分）是否存在等差數(shù)列an，使a1c:+a2c；+a3c2+an+C：=n.2n對(duì)任意nWN*都成立？若存在，求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20. （12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料21. (12分)設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN),若其展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為11,試問(wèn)：m、n取何值時(shí)，f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這個(gè)最小值.22. (14分)規(guī)定Cm=x(x-