2020年中考數(shù)學(xué)北師大版專題復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、2020年中考數(shù)學(xué)北師大版專題復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、考點突破1 .反比例函數(shù)在中考題中，多以選擇題或填空題出現(xiàn)，主要考查反比例函數(shù)的概念和圖象特征。2 .解答題往往與其他函數(shù)相結(jié)合，出綜合性較強的題目。二、重難點提示重點：反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；反比例函數(shù)解析式的確定。難點：反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合運用?？键c精講1 .反比例函數(shù)的概念k一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表不成 y (k為常數(shù)，k 0)的形式,x這樣的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。【要點詮釋】(1) k是常數(shù)，且k不為零；k 2(2)中分母x的指數(shù)為1,如y 不是反比例函數(shù)。xx(3)自變量x和函數(shù)值y的取值范圍均

2、為一切非零實數(shù)。2 .反比例函數(shù)的圖象(1)圖象的畫法：描點法列表(應(yīng)以 O為中心，沿。的兩邊分別取三對或三對以上互為相反的數(shù))描點(由小到大的順序)連線(從左到右光滑的曲線)(2)圖象的特征：圖象的位置：當(dāng)k 0時，x、y同號，圖象在第一、三象限；當(dāng)k 0時，x、y異號，圖象在第二、四象限。k反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，y (k為常數(shù)，k 0)中自變量x 0,函數(shù)值xy 0,所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠不與坐標(biāo)軸相交。系數(shù)k的幾何意義：kk反比例函數(shù)y (k 0)中比例系數(shù)k的幾何意義是：過雙曲線y (k 0)xx上任意一點引X軸y軸的垂線，所得矩形

3、面積為 k O3 .反比例函數(shù)性質(zhì)：(1)對稱性： k ky (k 0)的變形形式為xy k (常數(shù))，所以若點(m, n)在反比例函數(shù)y 白xx圖象上，則點(一 m, n)也在此.圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。(2)增減性:k的取值圖象所在象限函數(shù)的增減性k 0一、三象限在每個象限內(nèi)，y值隨x的增大而減小k 0二、四象限在每個象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大4 .反比例函數(shù)解析式的確定：方法一：利用待定系數(shù)法(只需一對對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標(biāo)即可求出k) k步驟：設(shè)所求的反比例函數(shù)為：y (k 0)；x根據(jù)已知條件，列出含 k的方程；解出待定系數(shù)k的值；一k把k值代入函數(shù)關(guān)系r式y(tǒng)

4、中x方法二：利用k值的幾何意義直接寫出解析式。典例精析例題1在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m與y=m (mO)的圖象可能是(CDm的取值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，判x思路分析：先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出 斷出m的取值，二者一致的即為正確答案。A.由函數(shù)y=mx+m的圖象可知 m>0,由函數(shù)y=一的圖象可知 m>0,故本選項正x確；B.由函數(shù)y=mx+m的圖象可知 m< 0,由函數(shù)y=m的圖象可知 m>0,相矛盾，故x本選項錯誤;C.由函數(shù)y= mx+ m的圖象y隨x的增大而減小，則m< 0,而該直線與y軸交于正半 軸，則m>0,相矛盾，故本選項錯誤

5、；D.由函數(shù)y=mx+m的圖象y隨x的增大而增大，則 m>0,而該直線與y軸交于負 半軸，則m<0,相矛盾，故本選項錯誤。故選：A。答案：A技巧點撥：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題。4例題2如圖，A、B兩點在雙曲線y=4上，分別經(jīng)過 A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1,求 S + &=()思路分析：欲求S1+S2,只要過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，求出與坐標(biāo)軸所形4 成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線y=的系數(shù)|k |,由此即可求出 S + S2。x答案：二點A、B是雙曲線y=4上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x

6、軸、y軸作垂線段， x則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=4,S + q = 4+41X2= 6。技巧點撥：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及任一點坐標(biāo)的意義，有一定的難度。例題3如圖，已知在RtOAC中，O為坐標(biāo)原點，直角頂點 C在x軸的正半軸上，反 k . . . 比例函數(shù)y= - (kwQ在第一象限白圖象經(jīng)過 OA的中點B,交AC于點D,連接OD。若 x OCDsACO,則直線 OA的解析式為 。O C思路分析：設(shè)OC= a,根據(jù)點D在反比例函數(shù)圖象上表示出 CD,再根據(jù)相似三角形對 應(yīng)邊成比例列式求出 AC,然后根據(jù)中點的定義表示出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)點 B在反

7、比例函再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)數(shù)圖象上表示出a、k的關(guān)系，然后用a表示出點B的坐標(biāo), 解析式解答。答案：設(shè)OC=a, .點D在OC/A OCDA ACO , CDk ry=上,xACOC點B是OA的中點，點 BCD =上,aOC2AC =CD3aa-,，點 A (a, a-), kk),點B在反比例函數(shù)圖象上,2k,解得，a2=2k, .點B的坐標(biāo)為2k設(shè)直線OA的解析式為y=mx,則m? = a,解得m=2,所以，直線 OA的解析式為y= 2x。故答案為:技巧點撥: 長度表示出點y= 2x本題考查了相似三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用 B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點。O

8、C的例題4如圖，若雙曲線y= k與邊長為5的等邊 AOB的邊OA, AB分別兩點，且OC= 3BD,x求實數(shù)k的值。相交于C, DD思路分析：過點 分另I表示出點C、點 可得出k的值。C作CE!x軸于點E,過點D作DF, x軸于點F,設(shè)OC= 3x,則BD= x, D的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出 k,繼而可建立方程，解出 x的值后即答案：過點C作CE! x軸于點E,過點D作DFx軸于點F,D設(shè) OC= 3x,貝U BD=x,在 RtOCE中，/ COE= 60°,e八 33.3貝U OE= x, CE=x,則點C坐標(biāo)為（3x, 33 x）, 22在 Rt"DF 中，BD=x,

9、 / DBF= 60°,則 BF= lx, DF= x, 22 1. 3則點D的坐標(biāo)為（5-1x y-x）,將點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：k= 9x2,4將點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：k=至3 x Y3x2,24則卜5.3.3 22 x4 x '解得：xi= 1 , x2=0 （舍去），9 32 9 3故 k=x i=,故答案為：9-3。4解答本題的關(guān)鍵是利用k的值技巧點撥：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征, 相同建立方程，有一定的難度。提分寶典【難點剖析】巧用系數(shù)“ k”的幾何意義kk反比例函數(shù)y （k 0）中比例系數(shù)k的幾何意義是：過雙曲線 y （k

10、 0）xx上任意一點引x軸、y軸的垂線，所得矩形面積為 |k。也就是說，過反比例函數(shù)圖象上任 意一“點向坐標(biāo)軸引垂線所得的矩形的面積為定值，定值是個好東西，它往往會將許多復(fù)雜 問題化腐朽為神奇，特別是在研究一些變化問題時非常好用。滿分訓(xùn)練：（溫州）如圖，矩形 ABCD的頂點A在第一象限，AB/ x軸，AD/ y軸，且 對角線的交點與原點 O重合。在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，若矩形ABCD的 k 周長始終保持不變，則經(jīng)過動點A的反比例函數(shù)y= - （kw。中k的值的變化情況是（）DcA. 一直增大B. 一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大思路分析：設(shè)矩形ABCD中，AB=2a,

11、 AD= 2b ,由于矩形 ABCD的周長始終保持不變，則a+ b為定值。根據(jù)矩形對角線的交點與原點O重合及反比例函數(shù)比例系數(shù) k的幾何意義一.11一.，一.可知k= -AB?-AD= ab,再根據(jù)a+b 一定時，當(dāng)a= b時，ab最大可知在邊 AB從小于AD22到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小。解：設(shè)矩形 ABCD 中，AB=2a, AD =2b, 矩形ABCD的周長始終保持不變， -2 (2a+2b) =4 (a+ b)為定值， 矩形對角線的交點與原點O重合k= - AB? - AD =ab, 222m 2 mfm ,設(shè) a+b為th值 m(m 0), k ab a(m a) (

12、a 一)，當(dāng) a b 一時，242k有最大值，在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小，故選C。答案：C技巧點撥：本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù) k的幾何意義及不等式的性質(zhì)，11有一"7E難度。根據(jù)題息付出k= AB? ad= ab是解題的關(guān)鍵。22同步測試101.已知反比例函數(shù) y=，當(dāng)1<xv 2時，y的取值范圍是()A. 0vyv5B. 1vyv2 C. 5V yv 10D. y> 106 一*2.正比例函數(shù)y = 6x的圖象與反比例函數(shù) y=2的圖象的交點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第一、三象限k*3.若反比例函數(shù)

13、y= (kwQ的圖象經(jīng)過點 P(2, 3),則該函數(shù)的圖象不經(jīng)過的點是 x( )A. (3, 2) B. (1, 6) C. (1,6)D. ( 1 , 6)k 一4.(江蘇南京)已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點 A(2,3),則當(dāng)x=3時，y=。 x*5.如圖，四邊形 OABC是矩形，ADEF是正方形，點 A、D在x軸的正半軸上，點 C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比仞函數(shù)y=k的圖象上，OA=1,OC = 6,x則正方形ADEF的邊長為 。*6如圖，RtAAQB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線ky=_(k 0)經(jīng)過斜邊QA的 x中點C,與另一直角邊交于點D。若Saqcd = 9

14、,貝U Saqbd 的值為*7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，邊AD在x軸上，點B在第四象限，直線(1)求反比例函數(shù)及直線(2)求點E的坐標(biāo)。BD與反比例函數(shù)y=m的圖象交于點B、E。XBD的解析式;試題答案1. C 解析：.反比例函數(shù) 丫=10中.，當(dāng)X=1時，y=10,當(dāng)x=2時，y=5,x當(dāng)1vxv2時，y的取值范圍是5V y<10,故選C。y 6x 1x 1 ,2. D 解析：解方程組6得 或y - y 6 x所以正比例函數(shù)y= 6x的圖象與反比例函數(shù)x1y66 .y=-的圖象的交點坐標(biāo)為 x(1, 6), (-1, 6),故選Dok3. D 解

15、析：二反比例函數(shù) y= (kw。)的圖象經(jīng)過點 P (2, 3), x.k=-2X 6, 只需把各點橫、縱坐標(biāo)相乘，不是 6的，該函數(shù)的圖象就不經(jīng)過此點，四個選項中只有D不符合，故選 D。k 一4. 2 解析：二.反比例函數(shù) y=的圖象經(jīng)過點 A (2, 3),，k = 2X笈6,，反比例函數(shù)解析式為 y= 9, .當(dāng)x= 3時，y= -6-=2,故答案是：2。 x35. 2 解析：.OA = 1, OB = 6,B 點坐標(biāo)為(1, 6) ,k = 1 X a 6,，反比例函數(shù)解析式為 y=6,設(shè)AD=t,則OD=1 + t,E點坐標(biāo)為(1 + t, t),x(1 + t) t=6,整理為t2

16、+t-6=0,解得ti=- 3 (舍去)，t2=2, .正方形ADEF的邊長為2,故答案 為2。6. 6 解析：如圖，過 C點作CEx軸，垂足為E, 丁小.在 RtOAB 中，/ OBA = 90°, . . CE/ AB , C 為 RtOAB 斜邊 OA 的中點，OC 1.CE為RtOAB的中位線，OECs OBA , .雙曲線的解析式是OA 2Sabod = Sa COE =1c- k, Saaob = 4Sacoe = 2k, 由 Saaob Sabod = Saaod = 2Sadoc =18,得 2k lk = 18, k = 12, Sabod = Sacoe = k= 6