中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《相似》專項(xiàng)綜合練習(xí)含答案

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)相似專項(xiàng)綜合練習(xí)含答案一、相似1 .如圖，已知 A (-2, 0) , B (4, 0),拋物線 y=ax2+bx - 1過A、B兩點(diǎn)，并與過 A點(diǎn)的直線y=-x- 1交于點(diǎn)C.(1)求拋物線解析式及對稱軸;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形 ACPO的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由;(3)點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn) M作直線AC的垂線，垂足為 N.問：是否存 在這樣的點(diǎn) N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與 4AOC相似，若存在，求出點(diǎn) N的坐 標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：把A (-2,0), B (4, 0)代入拋物線

2、y=ax2+bx-1,得, 0=4a - 2b - I 0=I6a 4b - I，拋物線解析式為：y=&x2- x-12a.12 x 一，拋物線對稱軸為直線x=-E = 1(2)解：存在使四邊形ACPO的周長最小，只需 PC+POM小取點(diǎn)C (0,-1)關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C'(2, -1),連C' 0與直線x=1的交點(diǎn)即為 P與八、 設(shè)過點(diǎn)C'、。直線解析式為：y=kx ' k=-1y=- i3 x/則p點(diǎn)坐標(biāo)為（i, - w）(3)解：當(dāng)AO84MNC 時(shí)，如圖，延長 MN交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE，y軸于點(diǎn)E / ACO=Z NCD, / AOC

3、=Z CND=90 °/ CDN=Z CAO由相似，/CAO=/CMN/ CDN=Z CMN. MN ±AC M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點(diǎn)I設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a,-2a-1）由 EDNs OACED=2aJ 點(diǎn)D坐標(biāo)為（0,二a-1 ）N為DM中點(diǎn)Id 點(diǎn) M 坐標(biāo)為（2a,3 a-1 ）1 1把M代入y= 8 X2- Jx-1 ,解得a=4則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3）當(dāng) AOACNM 時(shí)，/ CAO=Z NCM.CM/AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C即為點(diǎn)N由(2) N (2, -1).N 點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3)或(2, -1)【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn) A、B的坐標(biāo)，可

4、求出拋物線的解析式，再求出它的對稱軸 即可解答。(2)使四邊形 ACPO的周長最小，只需 PC+PO最小，取點(diǎn) C (0,-1)關(guān)于直線x=1的對 稱點(diǎn)C' (2, -1),連C' 0與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線 C' 0的解 析式，再求出點(diǎn) P的坐標(biāo)。(3)分情況討論：當(dāng) AOgMNC時(shí)，延長 MN交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE，y軸于 點(diǎn) E,由/ ACO=/ NCD, / AOC=/ CND=90 得出 / CDN=Z CAO,再證明 / CDN=Z CMN,根/據(jù)MNLAC,可彳#出 M、D關(guān)于AN對稱，則 N為DM中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) N坐標(biāo)為(a,二

5、a- 1),根據(jù)EDNsOAC,得出點(diǎn)D、M的坐標(biāo)，然后將點(diǎn) M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 求出a的值，即可得出點(diǎn) N的坐標(biāo)；當(dāng) AOgCNM時(shí)，/ CAO=/ NCM,得出CM/AB 則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C'即為點(diǎn)N,就可求出點(diǎn) N的坐標(biāo)。2,已知二次函數(shù)y=ax2+bx2的圖象與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的 坐標(biāo)為(4, 0),且當(dāng)x= 2和x= 5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值 y相等.%小(1)求實(shí)數(shù)a, b的值;(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)E, F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn) E以每秒2個(gè)單位長度的速度沿 AB邊 向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒 七值個(gè)單位長度的速度沿射線 AC方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)

6、點(diǎn) E停止運(yùn)動(dòng) 時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒.連接EF,將4AEF沿EF翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn) D處，得到ADEF.是否存在某一時(shí)刻 t,使得4DCF為直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，請 說明理由； 設(shè)4DEF與4ABC重疊部分的面積為 S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.檢I +勤-2 =。日 一金【答案】(1)解：由題意得：5 " -=為'帥 2 ,解得：a=上，b= 三-3(2)解：由(1)知二次函數(shù)為 二'(4,0),B ( - 1, 0) , C(0, - 2),.OA=4, OB=1, OC=2,AB=5, AC=人,，BC=V , /. AC

7、2+BC2=25=AB2 , .ABC為直角三角形，且 /ACB=90.AF AB 事 . AE=2t, AF=/ t, . . AE AC 2 .又,：乙 EAF=Z CAB, .AEFAACB, . / AEF=/ACB=90 .AEF沿EF翻折后，點(diǎn) A落在x軸上點(diǎn)D處； i由翻折知，DE=AEAD=2AE=4t, EF=_ AE=t.假設(shè)ADCF為直角三角形，當(dāng)點(diǎn) F在線段AC上時(shí)：i ）若C為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn) D與點(diǎn)B重合，如圖2,.AE= 3 AB= " t= - + 2=;ii）若D為直角頂點(diǎn)，如圖 3.因3 / CDF=90 ,°/ ODC+/ EDF=90

8、,° / EDF=Z EAF,/ OBC+Z EAF=90 ,/ ODC=Z OBC,BC=DC . OCX BD,.OD=OB=1,.AD=3,J.AE=二，t= J;當(dāng)點(diǎn)F在AC延長線上時(shí)，/DFO90°, 4DCF為鈍角三角形.三-綜上所述，存在時(shí)刻t,使得4DCF為直角三角形，t=,1或t= 7 .i）當(dāng)0VtM時(shí)，重疊部分為 4口£匕如圖1、圖2,，S=_ X2tht=tii）當(dāng)4vt W時(shí)，設(shè)DF與BC相交于點(diǎn)G,則重疊部分為四邊形 BEFG如圖4,過點(diǎn)G作GHXBET H,13腦設(shè) GH=m,則 BH= f , DH=2m, . . DB= 1.目

9、i. DB=AD- AB=4t - 5, .二'=4t - 5, . m= 3 (4t 5),11J134025- HT_ 產(chǎn) *S=Sdef Sadbg= J X 2t»N (4t 5) X-J (4t5)=',；5iii)當(dāng)2vt時(shí)，重疊部分為 ABEG,如圖5. BE=DE- DB=2t- ( 4t 5) =5- 2t, GE=2BE=2 (5 2t),.S=1 25-2t) X2 (5-2t) =4t2-20t+25.產(chǎn) S U f w 713 .4025 5S - 尸工一/T W少333 4【解析】【分析】（1）根據(jù)已知拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)A,以及當(dāng)x=-2和

10、x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等兩個(gè)條件，列出方程組求出待定系數(shù)的值即可。（2） 由x=0及y=0時(shí)，求出點(diǎn) A、B C三點(diǎn)的坐標(biāo)，以及線段 OA、OB、OC的長，禾U 用勾股定理的逆定理證明 4ABC是直角三角形，用含 t的代數(shù)式表示出線段 AD、AE、AF （即DF）的長，則根據(jù) AE、EF、OA、OC的長以及公共角 / OAC能判定AEF、AAOC相似，可證得4AEF也是一個(gè)直角三角形，及 /AEF是直角；若4DCF是直角三角形，可分成 三種情況討論：i）點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，由于 4ABC恰好是直角三角形，且以點(diǎn) C為直角頂點(diǎn)，所以此時(shí)點(diǎn)B、D重合，由此得到 AD的長，進(jìn)而求出t的值；ii）點(diǎn)

11、D為直角頂點(diǎn)，此時(shí) /CDB與/CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD,再得到AD的長后可求出t的值；iii）、點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) F在線段AC上時(shí)，/ DFC是銳角，而點(diǎn)F在射線AC的延長 線上時(shí)，/DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意.此題需要分三種情況討論：pi）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與線段 AB中點(diǎn)之間時(shí)，即當(dāng) 0VtM 兩個(gè)三角形的重疊部分是整個(gè) DEF;口ii）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB中點(diǎn)與點(diǎn)。之間時(shí)，即'vtw對，重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形，根據(jù) S=S def- Sa dbg 可求解。Jiii）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，即2vtw時(shí)，重疊部分是個(gè)小直角三角形，根據(jù)三角形的面積 公式，

12、即可求解。3.如圖，正方形 ABCD等腰RtBPQ的頂點(diǎn)P在對角線AC上（點(diǎn)P與A、C不重合）， QP與BC交于E, QP延長線與 AD交于點(diǎn)F,連接CQ.DC(1) 求證：AP=CQ 求證：PA2=AF?AD;（2）若 AP： PC=1: 3,求 tan/CBQ.【答案】（1）證明：二.四邊形 ABCD是正方形，AB=CB, Z ABC=90 , / ABP+/ PBC=90,° . BPQ是等腰直角三角形，. .BP=BQ, / PBQ=90 ； . . / PBC+/CBQ=90 °，/ABP=/ CBQ,AABPACBQ, . AP=CQ;二.四邊形 ABCD是正方

13、形，Z DAC=Z BAC=Z ACB=45°, / PQB=45 ； C CEP4 QEB,/ CBQ=Z CPQ由得ABPCBQ, /ABP=/CBQ / CPQ=Z APF,/ APF=Z ABP, . APM ABP,AP AF ,二不二一,： 1尸:譽(yù) ,加二肝* AD;AB AP（本題也可以連接 PD,證APFsADP）（2）證明：由 得 4AB國 ACRQ,/ BCQ=/ BAC=45 , / ACB=45,°,. / PCQ=45+45 =90 ° .tan / CPQ=仃,由得AP=CQ,CQ AP 1又 AP:PC=1:3,tan / CPQ=

14、 75 b 3 ,由 得/CBQ=/CPQitanZ CBQ=tanZ CPQ= J .【解析】【分析】（1 ）利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易證 ABP CBQ,可得 AP=CQ; 利用正方形的性質(zhì)可證得/ CBQ=Z CPQ,再由 ABPCBQ可證得/APF=Z ABP,從而證出 APM4ABP,由相似三角形的性質(zhì)得證；（2）由ABPCBQ 可得 / BCQ=Z BAC=45 ,可得 Z PCQ=45+45° =90°,再由三角函數(shù)可 a得 tan Z CPQ=匕 由 AP:PC=1:3, AP=CQ 可得 tan/CPQ= 再由 / CBQ=/ CPQ 可求出

15、答 案.4.如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4, 0）、（ 0, 8）,點(diǎn)C是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E在 x軸正半軸上，四邊形 OEDC是矩形，且 OE=2OC設(shè)OE=t （t>0）,矩形 OEDC與4AOB 重合部分的面積為 S.根據(jù)上述條件，回答下列問題：求t的值;當(dāng)t=4時(shí)，求S的值；直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出解題過程）；(2)(3)(4)若 S=12,貝U t=【答案】（1）解：由題意可得 /BCD=/ BOA=90 , /CBD=/ OBA, .BCgBOA,而 CD= OE= t, BC= 8-CO=8- J , OA= 4,8 r 2 t16 II 二則8-84 ,解

16、得t= 5 ,76，當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，t= 5(2)解：當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)E與A重合，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)F,CF QA則由 CBM AOBA得6 位，CF J即廳2百，解得CF=333S=工 OC(OE+CFB X 2 X 豐3+4)161(3)解：當(dāng)0vt5時(shí)，S=E t2161：當(dāng) jtw酎,S=-"t2+10t-16Ld當(dāng) 4vtw1時(shí)，S=J't2+2t(4) 8【解析】【解答】解：（3）當(dāng)0<tw時(shí)，如圖（1）,16當(dāng)5<t w時(shí)，如圖（2）,(2)- A (4,0) , B (0,8)，直線AB的解析式為y=-2x+8, G (t,-2t+8) ,F(

17、4-<-), .DF='t-4,DG=1-8,S=S矩形 COE-SA DFG=t 當(dāng)4<t < 1時(shí)，如圖（3）. CD/ OA, .BCMBOA,BC C 而一 OA.CF=4-,(4)由題意可知把 S=12 代入 S=t2+ t2+2t 中， 必.t2+2t=12,整理，得 t2-32t+192=0.解得 ti=8,t2=24>16 (舍去)=當(dāng) S=12 時(shí)，t=8【分析】(1)首先判斷出 BC2 BOA ,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 BC : BO=CD : OA ,根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段的和差得出 CD= OE= t, BC= 8-CO = 8-

18、, OA= 4,利用比例式即可得出方程，求解得出 t的值；(2)當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn) E與A重合，設(shè) CD與AB交于點(diǎn) F,則由CBD4OBA得CF : CB=OA : OB ,根據(jù)比例式得出方程，求解得出CF的長，根據(jù)梯形的面積公式即可算出答案；16(3)當(dāng)0<tE時(shí)，如圖(1),其重疊部分的面積就是矩形的面積，根據(jù)矩形的面積1b公式即可得出函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)下 <tW4時(shí)，如圖(2),利用待定系數(shù)法，求出直線AB的解析式，根據(jù)和坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)分別表示 出G,F的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出 DF的長，DG的長，根據(jù) S=S矩形coedS.dfg即可得出函數(shù)關(guān)系

19、 式；當(dāng)4<tW16時(shí)，如圖(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出CD/ OA,根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出BCFBOA,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出 BC: BO=CF OA,根據(jù)比例式表示出 CF的長，再根據(jù) S=Sxboa-Sabcf即可得 出函數(shù)關(guān)系式。5.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 丫 = &K , bx+匕6* »與上軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3, 0)、B (1, 0),與y軸交于點(diǎn)D(0, 3),過頂點(diǎn)C作CHI±x軸于點(diǎn)H.¥(2)連結(jié)AD、CD,若點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) E與頂點(diǎn)C不重合)，當(dāng)4ADE

20、與 ACD面積相等時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P與頂點(diǎn)C不重合)，過點(diǎn) P向CD所在的直線作垂 線，垂足為點(diǎn)Q,以P、C Q為頂點(diǎn)的三角形與 4ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y =d一手取匚血、川，拋物線過點(diǎn) A(-3, 0),B(1, 0), D(0, 3),- 3b c = Cf a + b * t = © 七二 3,解得，a=-1, b=-2, c=3,，拋物線解析式為卜二 .3,J,頂點(diǎn)C (-1,4);(2)解：如圖 1, A(-3, 0), D(0, 3),直線AD的解析式為y=x+3,設(shè)直線AD與CH交點(diǎn)為F,

21、則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1, 2) .CF=FH分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E,由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知，直線EC的解析式為y=x+5,直線EH的解析式為y=x+1, ADE與 ACD面積相等,分別與拋物線解析式聯(lián)立，得(3)解：若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)(如圖 2),只能是CPgACH,得/PCQ=/ CAH,由2PQ CHE 一 疝”，分別過點(diǎn)C、P作x軸的平行線，過點(diǎn) Q作y軸的平行線，交點(diǎn)為 M和N,由CQMsQPN,PQ PNQN得 CQ 蜘CH =2,/ MCQ=45 °,設(shè) CM=m ,貝U MQ=m , PN=QN=2m, MN=3m ,，P 點(diǎn)

22、坐標(biāo)為(-m-1 , 4-3m),將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式，得 -向，"-&衣3二1一卡，解得m=3,或m=0(與點(diǎn)C重合，舍去).P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4, -5); 若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)(如圖 )，只能是PCMACH,得/PCQ=Z ACH,PQ AH ;.CQ CH ,延長CD交x軸于M ,M(3 , 0)過點(diǎn)M作CM垂線，交CP延長線于點(diǎn)F,彳FN工x軸于點(diǎn)N, / MCH=45 ； CH=MH=4，MN=FN=2,，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(5, 2),直線CF的解析式為y= 3十三,1 11 f y - -t + y -33_ m 3聯(lián)立拋物線解析式，得 F / 分.，3 ,解得點(diǎn)P坐

23、標(biāo)為(3,3 ),£ 35綜上所得，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-5),( 工，行).【解析】【分析】(1)將A (-3, 0)、B (1, 0)、D(0, 3),代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直線AD的解析式，分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E,利用 ADE與4ACD面積相等，得出直線 EC和直線EH的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3)(3)分兩種情況討論： 點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)；點(diǎn)P在對稱軸右側(cè).6.如圖，在 ABC 中，/ACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,點(diǎn) D 從點(diǎn) C 出發(fā)，以 2cm/s 的速 度沿折線 C-A-B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)

24、，同時(shí)點(diǎn) E從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn) 動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (單位：s) (0vtv8).(1)當(dāng)4BDE是直角三角形時(shí)，求 t的值；(2)若四邊形 CDEF是以CD DE為一組鄰邊的平行四邊形， 設(shè)它的面積為 S,求S關(guān) 于t的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某個(gè)時(shí)刻 t,使平行四邊形 CDEF為菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：如圖1,當(dāng)/BED=90時(shí)，4BDE是直角三角形，貝U BE=t, AC+AD=2t,，BD=6+10-2t=16-2t , / BED=Z C=90 ；.DE/ AC,BE DEBC AC, t )b3r.DE=DE

25、sinB=t=GJ7?如圖2,當(dāng)/EDB=90時(shí)，BDE是直角三角形,貝U BE=t, BD=16-2t,BD BC 8 cosB="尸 AR答：當(dāng)BDE是直角三角形時(shí),t的值為或7(2)解：如圖 3,當(dāng) 0vtw 時(shí),BE=t, CD=2t, CE=8-t,圖3.S?cdeF=2Sacde=2 >C X 21(渴-t) =-2t2+16t,如圖 4,當(dāng) 3vt<8 時(shí)，BE=t, CE=8-t,過 D 作 DHL BC,垂足為 H,BLAB16 - 2f103(16 - 2t).DH=t+卻3(16.S?cdeF=2Sacde=2 >C X CEX DH=CEX

26、D8H=)X.S于t的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng) 0vtw時(shí)，S=-2t2+16t,384當(dāng) 3vtv8 時(shí)，S= 412- I 囪 t+ 5 ;DHL CE,，BH=BE+EH4(I6 - 2t)8=t+88即當(dāng)t二百時(shí)，？CDEF為菱形.【解析】【分析】(1)因?yàn)?BDE是直角三角形有兩種情況: 當(dāng)/BED=90 °時(shí)，可彳HDE/AC,根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或其延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得| 喇"/反J,于是可得比例式將 DE國用含t的代數(shù)式表示，再根據(jù) sinB=飯可得關(guān)于t的方程，解方程即可求解； 當(dāng)/EDB=90。時(shí)，同理可求解；(2)

27、當(dāng)0Vt<3時(shí)，S?cdef=2S zxcde可得s與t的關(guān)系式； 當(dāng)3vtv8時(shí)， 過D作 DH ± BC ,垂足為H,根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或其延長線)相交，所 構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得I也81 運(yùn)、/次：1,于是可得比例式將 DH用含t的代數(shù)式 表示，則S?cdef =2S zxcde可得s與t的關(guān)系式；當(dāng)3Vt<8時(shí)，同上； 存在，當(dāng)？CDEF為菱形時(shí)，DHXCE,根據(jù)BH=BE+EH 可得關(guān)于t的方程，解方程 即可求解。7.如圖1,圖形ABCD是由兩個(gè)二次函數(shù) 口 二，攝依%勿|與.電-'。小 由的 部分圖像圍成的封閉圖形，已知A(

28、1, 0)、B(0, 1)、D(0, -3).DD卸即(1)直接寫出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)判斷圖形 ABCD是否存在內(nèi)接正方形(正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上)，并說明理由；(3)如圖2,連接 BC CD AD,在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得 4BDC與4ADE相似(其中點(diǎn) C 與點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn) E的坐標(biāo).【答案】(1)解：口;一，火二3. 3(2)解：存在，理由：當(dāng)該內(nèi)接正方形的中心是原點(diǎn)O,且一組鄰邊分別平行于x軸、y軸時(shí)，設(shè) M (x,-x2+1)為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點(diǎn)，M' (x,3x2-3)為第四象限內(nèi)的圖形上一點(diǎn)，.MM'= (1-x2) -3 (

29、3x2-3) =4-4x2由拋物線的對稱性知，若有內(nèi)接正方形，則2x=4-.-0</ 十 v'T?T14x2 ,即 2x2+x-2=0, x=(舍)，存在內(nèi)接正方形，此時(shí)其邊長為-1(3)解：解：在 RAOD 中，OA=1, OD=3,AD=萬?=77 V比，同理 CD=/芯.在 RtBOC中，OB=OC=1, BC=Ja： + 城=飛金.如圖(1)ADB DC當(dāng) DBC幺 DAE 時(shí)，因/ CDB=Z ADO，在y軸上存在一點(diǎn)E,由加,得 DE=，,因 D (0, -3),E (由對稱性知在直線 DA右側(cè)還存在一點(diǎn) E'使得4DBC幺DAE',連接 EE交DA于

30、F點(diǎn)，作E'MXOD,垂足為 M,連接E'D,E、E'關(guān)于DA對稱，DF垂直平分 EE', 4DEF幺 DAO,DE DF 翦- DA DO AC7,15SM= EF-DF =Lo- DE -二，在RtA DE'M中，DM='鹿” 從夢1)% 一,使得 DBC-A DAE的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 士，)或 爐 如圖(2)卜BDB DC當(dāng) ADBC幺 ADE 時(shí)，有 /BDC=/ DAE, 砂 .亞,| 4 二嚴(yán) 口即 Iva? ae a 得 ae=工.當(dāng)E在直線DA左側(cè)時(shí)，設(shè) AE交y軸于P點(diǎn)，作EQ± AC,垂足為Q.由 / BDC=Z

31、DAE=Z ODA, . PD=PA 設(shè) PD=x,貝U PO=3-x, PA=x,在RtAAOP中，由E/1 =出？ +妒：得r7 =仃-x)? ，/ ,解得；，則有 pa* ,PO=因 AE=)，PE“在4AEQ中,OP/ EQ,AP AG.無一血,OQ -OP AP 2又 QE AE 3.QE=2, E (當(dāng)E在直線DA右側(cè)時(shí),因 / DAE'=Z BDC,又 / BDC=Z BDA,/ BDA=Z DAE', d.J則 AE'/ OD,E' (1 ,2),則使得 DBC幺ADE的點(diǎn)E的坐標(biāo)為綜上，使得4BDC與4ADE相似(其中點(diǎn) C與點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn))的

32、點(diǎn) E的坐標(biāo)有4個(gè)，/315即(o, 二)或；/ 或 y 或 爐【解析】【解答】(1) 二次函數(shù) 力-*/，用/ < 勿經(jīng)過點(diǎn) A (1,0) , B (0,1)代入A + w - d k = - J招 1 解得/池 1 .二次函數(shù)FJ = _，/；二次函數(shù) ”=昆E - 3 ：勿經(jīng)過點(diǎn)A (1,0) , D (0,-3)代入得3 二次函數(shù)聽 力二一3 .產(chǎn)* h = & r & = 3* b = - 3解得%【分析】(1)由A (1,0) , B (0, 1)代入二次函數(shù) 力;kr ，nt(k出 解出k, m的值可得二次函數(shù)y1的表達(dá)式；由 A (1,0) , D(0,

33、 -3)代入二次函數(shù) 叩=占爐但:' b解出k, m的值可得二次函數(shù) y1的表達(dá)式；(2)判斷是否存在，可 以列舉出一種特殊情況：當(dāng)該內(nèi)接正方形的中心是原點(diǎn)O,且一組鄰邊分別平行于x軸、y軸時(shí)，則可設(shè)點(diǎn) M (x,-x2+1)在y1圖象上，則該正方形存在另一點(diǎn)M' (x,3X2-3)在y2圖象上，由鄰邊相等構(gòu)造方程解答即可；(3)對于4BDC與4ADE相似，且C于D對應(yīng)，那么就存在兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)A,即4DBC幺DAE,此時(shí)點(diǎn)E的位置有兩處，一處 在y軸上，另一處在線段 AD的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)DA時(shí)，即4DBC幺ADE,些時(shí)點(diǎn)E有兩處，分別處于線段 AD的左右兩側(cè)；結(jié)果

34、兩種情況所有的條件解出答案即可8.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，4ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，小亮以 BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形 BEF,連接CF.圖1圖2(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，EF、BC相交于點(diǎn)D,小亮發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形全等， 請你找出來，并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動(dòng)，若四邊形 ABFC的面積為/ ，求AE 的長；(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)， CR BE相交于點(diǎn)D,請你探求ECD的面 積&與4DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖2,當(dāng) ECD的面積§=疔時(shí)，求AE的

35、長.【答案】（1）解：現(xiàn)點(diǎn)E沿邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，始終有 ABE74CBF.由圖 1 知，4ABC 與 4EBF 都是等邊三角形，AB=CR BE=BR /ABC=/ EBF=60 , / CBF土 ABE=60-Z CBE . . ABE?A CBF.（2）解：由（1）知點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中始終有 ABE?CBF,因四邊形BECF的面積等于三角形 BCF的面積與三角形 BCE的面積之和,四邊形 BECF的面積等于4ABC的面積，因4ABC的邊長為四邊形BECF的面積為又四邊形ABFC的面積是城AEsin60 ,S占函f " 丁1 ,在三角形 ABE中，因Z A=60 ；.,邊

36、AB上的高為111A|3S/詆 =-AB 小ih)r =- X 2 X AE = T P .二-A / ,則 AE=-解：出.由圖 2 知，4ABC與4EBF都是等邊三角形，AB=CR BE=BF，/ABC=/ EBF=60 ,又/CBF土 ABE=60 + /CBE, .ABE?ACBF5梃=5&屆，Sa硒=S許 * 5/欣，貝U 5金厘/ 5,iot - 5J幽7 -4,貝U |S? 另=/(4)解：由(3)知5M 5j=力,即5褥山歐 一 / ,鄧 W' AMD - - 5a郎-由8 得0 ,AABE?ACBF,AE=CR / BAE=Z BCF=60 ,°又/

37、BAE=Z ABC=60 ,得 / ABC=/ BCF, . CF/ AB,貝U 4BDF 的邊 CF 上的高與 ABC 的高 相等，即為書,則 DF= 3 ,設(shè) CE=x 則 2+x=CD+DF=CD+ i , . . CD=x'，CD Ch X 3 x 在 ABE中，由CD/ AB得，工修建,即 二 v 一，2化簡得3/ 工-2二心，x=1或x=- J （舍），即 CE=1,AE=3.【解析】【分析】（1）不難發(fā)現(xiàn)ABE?CBF,由等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的條件，根據(jù)“SA洌定三角形全等；（2）由（1）可得ABE?CBF,則褥 以留，則四邊形 ABFC=應(yīng)'5弱避蕊ecf

38、- 5施'£缸-5d曲=5d曲型'5.，由四邊形 ABFC的面積為/ 和等邊三角形 ABC的邊長為2,可求得4ABE的面積，由底 ABX AEsin60；構(gòu)造方程可解出AE. ( 3)當(dāng)E在 AC的延長線上時(shí)，ABE?CBF依然成立，則蛙 5而，即 SABC十切 '5四 5啟敲J，5斕 由 等量關(guān)系 即可得答案.(4 ) 由 (3 ) 可求出4FBD 的面積，由ABE74CBF, 則 AE=CF ,/BAE=/ BCF=60=Z ABC,貝U CFAB,則對于 BDF的邊CF上的高等于 ABC的高，則可求 CD CE出DF的長度；由AE=CF可設(shè)CE=x且CD

39、/AB可得泌 AE，代入相關(guān)值解出 x即可.v - 一 5r /69.如圖1,直線1:f 與x軸交于點(diǎn)A (4, 0),與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C是線16段OA上一動(dòng)點(diǎn)(0VACV 5 ),以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作OA交x軸于另一點(diǎn) D,交線段AB于點(diǎn)E,連結(jié)OE并延長交OA于點(diǎn)F.ihz笛m聞(1)求直線1的函數(shù)表達(dá)式和tan / BAO的值;(2)如圖2,連結(jié)CE,當(dāng)CE=EFM,求證：OCa4OEA;求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 OEEF的最大值.3【答案】(1)解：把A (4, 0)代入1/解得b=3,3廣二-Y J直線1的函數(shù)表達(dá)式為1,X4+b=0 B (0,3)

40、, . AOXBO, OA=4, BO=3, tanZ BAO=九(2)證明：如圖，連結(jié) AF,.CE=EFZ CAE之 EAF, 又 AC=AE=AF / ACE玄 AEF, / OCE4 OEA, 又 / COEN EOA,.,.OCEAOEA.解：如圖，過點(diǎn) E作EHx軸于點(diǎn)H, 耳. tan / BAO= 3 ,設(shè) EH=3x, AH=4x, ，AE=AC=5x OH=4-4x, .OC=4-5x,.OCEOEA,施oc7=文即 OE2=OA OC, (4-4x) 2+ (3x) 2=4 (4-5x),解得x1= -芍，x2=0 (不合題意，舍去)52 36E (土，2s ).(3)解

41、：如圖，過點(diǎn) A作AM, OF于點(diǎn)M,過點(diǎn)O作ONLAB于點(diǎn)N,. tanZ BAO=JI- .cos/ BAO=16 - AN=OA cosZ BAO= 5設(shè) AC=AE=r,0EN= -r,. ON LAB, AM LOF, I / ONE=Z AME=90 ； EM=工 EF, 又 / OEN=Z AEM,.OENAAEM, OE E AL =&I -I , 1即 OE- EF=AEEN, 16 .OEEF=2AEEN=2r ( 5 -r), 典 |6 ；糾 16.OEEF=-2i2+ 5 r-2 (r- 5) 2+ 25 (0<r< j), 812當(dāng)r= 5時(shí)，OE

42、EF有最大值，最大值為.【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線l解析式即可求出b值從而彳#直線l的函數(shù)表 達(dá)式，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義即可求得答案 .(2)如圖，連結(jié) AF,根據(jù)等腰三角形 性質(zhì)等邊對等角可得兩組對應(yīng)角相等，根據(jù)相似三角形的判定即可得證如圖，過點(diǎn) E作EHI±x軸于點(diǎn)H,根據(jù)銳角三角函數(shù)正切值即可設(shè)EH=3x, AH=4x,從而得出AE、OH、OC,由中相似三角形的性質(zhì)可得OE2=OAOC,代入數(shù)值即可得一個(gè)關(guān)于x的方程，解之即可求出 E點(diǎn)坐標(biāo).(3)如圖，過點(diǎn) A作AM, OF于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作ONLAB于點(diǎn)N,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義OhAE =1616可求得 AN

43、=OAcosZ BAO=，設(shè)AC=AE=r,U EN= 7-r根據(jù)相似三角形判定和性質(zhì)可知期32126斑，即OEEF=-2i2+ 5 r= (0vrv 5 ),由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求此最大值.10.已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段 AO, BM均是直線l的垂線段，且 BM在AO 的右邊，AO=2BM,將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持/ABP=90不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P.(1)當(dāng)P與O重合時(shí)(如圖2所示)，設(shè)點(diǎn) C是AO的中點(diǎn)，連接 BC.求證：四邊形OCBM是正方形；AB弧(2)請利用如圖1所示的情形，求證： 五、年;(3)若AO=2，且當(dāng)MO=2PO時(shí)，請直接寫出

44、 AB和PB的長.【答案】(1)解：-2BM=AO, 2CO=AO, .BM=CO,1. AO/ BM , 四邊形OCBM是平行四邊形， / BMO=90 °, .?OCBM是矩形，/ ABP=90 ,° C是 AO 的中點(diǎn), .OC=BC ,.矩形OCBM是正方形(2)解：連接 AP、OB, / ABP=Z AOP=90 ,° A、B、O、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可知：/ APB=Z AOB,1. AO/ BM ,/ AOB=Z OBM,/ APB=Z OBM,.APBAOBM,AB Ok而一誣(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示,P O 廿過點(diǎn)B作BDAO于

45、點(diǎn)D,易證PE8 4BED,PO 0b .BD DR易證：四邊形DBMO是矩形,.BD=MO, OD=BM, .MO=2PO=BD, 一, .AO=2BM=2 M ,.OE=易證ADBsABE, .AB2=AD?AE, -，ad=do=dm=., .AE=AD+DE=.AB= ,由勾股定理可知:BE=易證：APEOAPBM,PB PM 3 .PB= V"當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí)，如圖所示,過點(diǎn)B作BDOA于點(diǎn)D, .MO=2PO, 點(diǎn)P是OM的中點(diǎn)，設(shè) PM=x, BD=2x, . /AOM=/ABP=90,° A、O、P、B四點(diǎn)共圓，四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，/ BPM=Z

46、 A, .ABDAPBM, AD 丹i -1 皿加，又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM ,.AD=BM= ,f6 x.業(yè)解得：x= *'4,BD=2x=2 .由勾股定理可知： AB=3BM=3【解析】【分析】(1)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形OCBM是平行四邊形，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出？OCBM是矩形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=BC根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得出結(jié)論；(2)連接 AP、OB,根據(jù)/ABP=/ AOP=90,判斷出 A、B、O、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定 理可知：/APB=/ AOB,根據(jù)二直線平行

47、內(nèi)錯(cuò)角相等得出ZAOB=Z OBM,根據(jù)等量代換得出/APB=/ OBM,從而判斷出APBsOBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 陰 砒;(3)當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn) B作BD± AO于點(diǎn)D,易證APEOABED,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 助 值,易證:四邊形 DBMO是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì) 得出 BD=MO, OD=BM,故 MO=2PO=BD,進(jìn)而得出 BM,OE,DE 的長，易證ADBsABE, 根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AB2=AD?AE,從而得出AE,AB的長，由勾股定理可得BF的長，易證：PE84PBM ,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 BE :

48、PB=OM : PM=2 : 3 ,根據(jù)比例式得出 PB的長；當(dāng)點(diǎn)P在。的右側(cè)時(shí)，如圖所示， 過點(diǎn)B作BD± OA于點(diǎn)D,設(shè)PM=x, BD=2x,由/ AOM= / ABP=90 ,得出四邊形 AOPB是 圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/BPM=/A,從而判斷出 ABDsPBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AD : BD=PM : BM,根據(jù)比例式得出 x的值，進(jìn)而得出BD, AB, BP 的長。11.如圖，在 RtABC中，/C=90°,頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-1,2), ( 3, 2)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0),拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)

49、過A、C兩點(diǎn). J/(i)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng) Sapab= -J Saabc時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 口口(3)若點(diǎn)N由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿邊 BC CA向點(diǎn)A移動(dòng)，J秒后，點(diǎn)M 也由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BO向點(diǎn)O移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)N的移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)MNLAB時(shí)，請直接寫出t的值，不必寫出解答過程.【答案】(1)解：將點(diǎn)A (- 1, 2) , C (3, 2),代入拋物線y=-x2+bx+c中，f - 1 - b -h c = 2 b = 2,得；9，凄)一一解得fc 仄，拋物線 y=-x2+2x+5.(2)解：二.點(diǎn) A (-1,2) , B (3,0) , C (