空間向量與立體幾何單元測試題

1、空間向量與立體幾何單元測試題姓名:學(xué)號：時間：120分鐘 總分：100分空間向量與立體幾何單元測試題第4頁共8頁一、選擇題(本題共有10個小題，每小題4分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在試卷指定的位置上。)1 .下列各組向量中不平行的是()A. a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4)B. c = (1,0,0), d =(-3,0,0)C. e =(2,3,0), f =(0,0,0)D. g =(-2,3,5),h =(16,24,40)2 .已知點A(-3,1,T),則點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標為()A. (-3,-1,4)B. (-3,

2、-1,-4)C. (3,1,4) D, (3,-1,-4)83,若向量a =(1,%2),b =(2,1,2),且a與b的夾角余弦為8 ,則九等于()92八21 . 2B. -2 C. -2 或花 D. 2 或-法4 .若 A (1,2,1), B (4,2,3), C(6,1,4),則 ABC 的形狀是()A.不等邊銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形x的值等于()5 .若 A(x,5x,2x-1) , B(1,x +2,2 -x),當(dāng) AB 取最小值時,8A. 19 B. -78C. 一7D.19146 .空間四邊形 OABC中，OB=OC, /AOB=/AOC=一,3貝U

3、 cos < OA, BC > 的值是()A. 1 B. -C. - 1 D. 02227 .在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若AB = a, AD1 =b , AA=c.則下列向量中與 BM相等的向量是()1 1 11 1 1, 1A. -a -b cb, -a -b c2 222圖10 .把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60的二面角，點 A到BC的距離是()(A) a_ 76a(B) (C)逅 3(D)而a4題號12345678910答案二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上。1 - 1C. a b+c2

4、28.在下列條件中，使 M與A、B、CA. OM =2OA -OB -OCc. mA+mb.+mC=01 - 11 bD. a _ _ b+c22定共面的是()11 - 1 -B. OM = OA+OB+OC532D. OM +OA + OB+OC =09.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若AB= <2 BBn則AB1與CB所成的角的大小為()A. 60°B, 90°C. 105°D. 7511.若向量 a =(4,2,T),b =(6,3,2),則(2a 3b)|_(a+2b) =-. - ._ . _ 4 , -412 .已知向量 a = (2, -1

5、,3), b =(-4,2,x)，右 a _L b ,則 x =；右 a b 則 x =。13 .在正方體 ABCD A B1C1D1中，E為ABi的中點，則異面直線 DE和BG間的距離 .14 .在棱長為1的正方體 ABCD ABC1D1中，E、F分別是 AB1、CD的中點，求點B到截面 AEGF 的距離.15 .已知棱長為1的正方體 ABCD A1B1C1D1中，E是AiBi的中點，求直線 AE與平面ABCiDi 所成角的正弦值.三、解答題(本大題4小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16 . (10分)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面 AEC1F所截面而得到的，

6、其中AB =4,BC =2,CCi =3,BE =1.(I)求BF的長；(n)求點C到平面AECiF的距離.解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則 D(0,0,0) , B(2,4,0)A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1)C(0,4,3)設(shè) F(0,0, z). AECiF為平行四邊形，二由AEC1F為平行四邊形，二由AF =EO,(2,0,z) =(2,0,2),.z=2. F (0,0,2).EF=(-2T,2).于是| BF |=2,6,即BF的長為276.(II)設(shè) 稱為平面AECiF的法向量，顯然不垂直于平面ADF,故可設(shè)n1 = (x,y,1)上 n1 AE

7、 =0,由,n AF =0,07+4父丫+1=0即4y +1 =0,2x +2 =0,x = 1,1 y-4又CC1 =(0,0,3)，設(shè)CG與n1的夾角為a ,則CC1nl34.33cos =|CC1| |n1|311r 3316 C到平面AEC1F的距離為d T CC1 |cos 二34.33334、331117. (10分)已知正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為2,點E為棱AB的中點，求:(I) DE與平面BC1D所成角的大小；(n)二面角 DBC1C的大小；(出)異面直線 B1D1與BC1之間的距離._2xx+0My+2 =017.解：建立坐標系如圖，則 A(2,0,0 )、B(

8、2,2,0 ), C(0,2,0 ),A (2,0,2 ), Bi (2,2,2 ), Di (0,0,2), E (2,1,0),ITDiE=(2,1, 卜 AB =(0,2,0 ) BBi =(0,0,2 )(I)不難證明 AiC為平面BCiD的法向量,cos空山iE二苴AC 際 一 9zDiE與平面BCiD所成的角的大小為-a rcc 03 (即arcsin43).299(n) AC、AB分別為平面BCiD、BCiC的法向量,ABAC.UAB 3AB面角DBCiC的大小為arccos，3 . 3(BiDi"平面BCiD,，BiDi與BCi之間的距離為dAC2/3ri8、( i0

9、分)在直三棱柱 ABC - ABiCi中，底面是等腰直角三角形， D, E分別是CCi ,與AiB的中點，點E在平面ABD上的射影是 與平面ABD所成角的正弦值；(2)求點A到平面ABD的距離./ACB =90 1側(cè) AA = 2 ,ABD的重心G , (i)求ABi8、解：建立如圖的空間直角坐標系，設(shè)Ai(a,0,0),則 B(0,a,0) , A(a,0,2) , B(0, a,2) , C(0,0,2), D, E分別是CCi,與AB的中點，a a .、 一 . D(0,0,i), E(-,-,i), G 是 AABD 的重心,2 2a a 5-aa a 2G(a, a ,一),. EG

10、 =(一=，)，AB=(a,a,0), 3 3 36 63AD =(0,a,-1) , EG _L 平面 ABD, EG _L AB, EG _L AD,一.一 .一,6得a =2,且AB與平面ABD所成角ZEBG , | EG |=,3BE=1BA=B sin/EBG =曳=比，2BE 32.6(2) E是AB的中點，A1到平面ABD的距離等于E到平面ABD的距離的兩倍, EG，平面ABD , A1到平面ABD的距離等于2| EG |=319. (10分)已知四棱錐 P-ABCD的底面為直角梯形,AB/DC , /DAB =90 ： PA _L底面 ABCD ,且_1PA=AD=DC=, A

11、B=1, M 是 PB 的中點。(i)(n)(m)證明:2證明：面PAD，面PCD;求AC與PB所成的角的余弦值；求面 AMC與面BMC所成二面角的余弦值。以A為坐標原點 AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為-1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1), M (0,1,2).證明：因 Ap =(0,Q1),dC =(0,1,0)，故AP DC =0,所以AP_LDC.由題設(shè)知 AD _L DC ,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得 DC _L面PAD .又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD.(n)解：因 A

12、C -(1,1,0), PB -(0,2,-1),故 IACI="2,|PBI=j5,AC PB = 2,所以AC PB cos : AC, PB = -=|AC| |PB|.105(m)解：在MC上取一點N(x, y,z),則存在NC =(1 -x,1-y,-z),MC =(1,0,-2)九 W R,使 NC =?“MC,/1,x = 1 一 , y = 1,z =萬要使AN _LMC,只需ANWiCr- 1r4=0 即 x - - z = 0,解得 k =25可知當(dāng)九=4時，N點坐標為(1,1, 2)，能使AN WC =0. 55 51 2 -12一 一一此時，AN =( 一,1

13、,一), BN =(一,1,一)，有BN MC =0 5 555由AN MC =0, BN MC =04AN _L MC,BN _L MC.所以/ANB為所求二面角的平面角.-330 -130 -15.cos(AN,BN)| AN | | BN |,JAN |=-,| BN | = -, AN_BN2故所求的一面角為 arccos( -).3一、選擇題1. D b = _2a= a b; d = 7c= d c;而零向量與任何向量都平行2. A3. C4. A關(guān)于某軸對稱，則某坐標不變，其余全部改變55AB =(3,4,2), AC =(5,1,3), BC =(2, 3,1),>0,得

14、A為銳角;5.>0 ,得C為銳角；bAubC >0 ,得B為銳角；所以為銳角三角形AB =(1x,2x3, 3x+3), AB =1 -x)2 (2x-3)2 (-3x 3)2空間向量與立體幾何單元測試題第8頁共8頁=J14x2 -32x+19，當(dāng) x = 8 時，AB 取最小值6.cos OA,BC =BCC. OAL(OC -OB)OA BC兀cosOA BC兀 cos -3 =0 、1 ' 1 、一a+b)= a + b + c.評22,1.17. A；解析：B1 M = B1 B + BM = A A + 3 (BA + BC) = c + (述：用向量的方法處理立

15、體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.8. A；解析：空間的四點 P、A、B、C共面只需滿足 OP = xOA + yOB+zOC,且x+y + z = 1 既可.只有選項 A.9、B10、D二、填空題1. -212 2a -3b =(-10,13,-14) , a +2b =(16,40)10102. 一，-6若a_Lb ,則 T2+3x = 0,x=；若 ab ,則 2: (M) =(1): 2 =3: x, x = 6333, "6分析：設(shè)正方體棱長為2 ,以D1為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則DE=(

16、2,1,0),即3CiB' =(2,0, 2),設(shè)DiE和BG公垂線段上的向量為空間向量與立體幾何單元測試題, - -2,，n =0 29 ,1D1C1 n 4又 D1C1 =(0, 2,0),，二一厘=n V62.63,所以異面直線D1 E和BG間4分析：以D為原點 建立如圖所示的空間直角坐標系.則 A (1,0,0),11，AE =(0,1), 2,1 、(0,-,0),21,1 、(1,-,1).21AF =(f-,0)；2設(shè)面AEQF的法向量為n =(1，九,為，t 一弓 r 則有：n AE =0,n AF =0 ,1 1 ' '' - 02 二1T - ' =02' =2