圓錐曲線解答題的策略

1、攻克圓錐曲線解答題的策略1.直線方程的形式1直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。2與直線相關的重要內容傾斜角與斜率k tan ,0,)點到直線的距離夾角公式:3弦長公式ABk2 x-! x2直線y kx b上兩點A(Xi,yJ B(X2,y2)間的距離:(1 k2)(Xi X2)2 4x1X2或4兩條直線的位置關系 l1 l2k1k21 hl2 k1 k2且b1 b22、圓錐曲線方程及性質 (1)、橢圓的方程的形式有幾種？三種形式2 2標準方程：1(m 0,n 0且m n)m n距離式方程：(x c)2 y2 , (x c)2 y2 2a參數方程： x a cos ,

2、 y bsin、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程：橢圓:型；雙曲線:2b2拋物線：2p距離式方程：L.(x c)2 y2,(x c)2 y2 | 2a、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎?、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎?如：Fi、F2是橢圓的兩個焦點，平面內一個動點M滿足MFimf22那么動點M的軌跡是A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線;D 條射線(5)、焦點三角形面積公式：P在橢圓上時，Srpf2P在雙曲線上時，S f,pf2b2 tan 2b2 cot-2其中 F1PF2-COS 幣牆巴 PF1?PF2 |PF1|PF2|COS(6)、記住焦半徑公式：1橢圓焦點在x軸上時為a exo；焦點在

3、y軸上時為a ey°，可簡記為“左加右減，上加下減。2雙曲線焦點在x軸上時為e|x0| a3拋物線焦點在x軸上時為|x1 |號,焦點在y軸上時為| y1 | 2(6)、橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲藏1、點差法中點弦問題設、Bxzy，M a,b為橢圓的弦AB中點那么有，；兩式相減得2222X1X2y1y 043X1 X2 X1%兀力兀kAB=更434b2、聯立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？經典套路是 什么？如果有兩個參數怎么辦？設直線的方程，并且與曲線的方程聯立，消去一個未知數，得到一個二次方程，使用判別式 0,以及根與系數的關系，代入弦長公

4、式，設曲線上的兩點A(X1,yJ,B(X2,y2)，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元，假設有兩個字母未知數，那么要找到它們的聯系，消去一個，比方直線過焦點，那么可以利用三點A、B、F共線解決之。假設有向 量的關系，那么尋找坐標之間的關系，根與系數的關系結合消元處理。旦設直線為y kx b，就意味著k存在。例1、三角形的三個頂點均在橢圓 4x2 5y2 80上，且點A是橢圓短軸的一個端 點點A在y軸正半軸上.1假設三角形的重心是橢圓的右焦點，試求直線的方程；2假設角A為900，垂直于D,試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦的斜率，從而

5、寫出直線的方程。第二問抓住角A為900可得出丄，從而得X1X2 y°2 14(yi y2) 16 0，然后利用聯立消兀法及交軌法求出點D的軌跡方程;2 2 2 2 解：設B X1,yj(X2,y2)中點為(x°,y°)(2,0)那么有務 琴1，盞魯1兩式作差有(X1 X2)(X1 X2)(y1 y2)(y1 y2)0(1)20 16F(2,0)為三角形重心，所以由，得X0 3，由得y 2，代入1得直線的方程為6x 5y 28 02)由丄得X1X2ym14(y1y2)16 02設直線方程為y kXb,代入4x25y280，得(4 5k2)x2 10bkx 5b280

6、08k,y24b280k2代入2式得y1 y224 5k4 5k2，解得b 4(舍)或直線過定點0,4),設D，那么，即9y2 9X2 32y 16 09所以所求點D的軌跡方程是X2 (y詈)2 (20)2(y 4)。4、設而不求法例2、如圖，梯形中|AB 2CD，點E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過C、 D、E三點，且以A、B為焦點當時，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考察坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建立直角坐標系xoy，如圖，假設設 C，代入，求得h，進而求得Xe,yE,再代入，建立目標函 數f(a,b,c,

7、) 0，整理f(e, ) Oh可采取設而不求的解題策略,建立目標函數f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0,化繁為簡.解法一：如圖，以為垂直平分線為y軸，直線為x軸，建立直角坐標系xOy , 那么丄y軸因為雙曲線經過點 C、D,且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知 C、 D關于y軸對稱依題意，記A c,0 ,G E Xo, yo,其中為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點坐標公式得cc 一212c2 1 ，設雙曲線的方程為，那么離心率Xo由點C、E在雙曲線上，將點ce -aC、E的坐標和e雙曲線方程得由式得將式代入式，整理得由題設得，解得7 e ,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為

8、.7, .10分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,AC用E,C的橫坐標表示， 回避h的計算,到達設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一，AE a exE , AC a exC ,Xecc21+，又，代入整理，由題設得，解得7 e "0所以雙曲線的離心率的取值范圍為 ,7,J05、判別式法例3雙曲線，直線I過點A .2,0，斜率為k，當0 k 1時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線I的距離為.2，試求k的值及此時點B的坐標。分析1:解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有這個微觀入手，對照草圖，不

9、難想到：過點B作與I平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數 表現形式是所構造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設計如下解題思路：解題過程略.分析2:如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅有一點 B到直線I的距離為.2 ，相當于化歸的方程有唯一解.據此設計出如下解題思路：簡解：設點M(x,.2 x2)為雙曲線C上支上任一點，那么點 M到直線I的距離問題ikx v'2 x2V2k關于x的方程E 11 k 1有唯-3轉化求解為一元二次方程根的問題為:kx込x2 v'2k于是，問題即可轉化為如上關于x的方程.由于0 k 1，所以 2x2kx，從而有kx$2

10、x2 血kkx 2x22k.于是關于x的方程kx 22x22k 2(k2 1)2 x2(2(k21)2kkxf,2(k21)2k kx0k21 x222k 2(k1)2k x2( k2-2(k21)2k kx 0. 21) 2k 20,由0 k 1可知:. 2方程 k2 1x2 2k.2(k21) ,2kx 2(k21) ,.2k 2 0 的二根同正，故 ,2(k1)2k kx 0恒成立，于是 等價于k2 1 x2 2k . 2(k2 1) . 2k x , 2(k2 1) . 2 2 0.由如上關于x的方程有唯一解，得其判別式0,就可解得.點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進展問題轉換，充分表

11、達了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4橢圓C: x2 2y2 8和點P 4，1，過P作直線交橢圓于A、B兩點，在 線段上取點Q使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解.因此，首先是選定參數，然后想方設法將點 Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可到達解題的目 的.由于點Q(x,y)的變化是由直線的變化引起的，自然可選擇直線的斜率k作為參數，如何將x,y與k聯系起來？ 一方面利用點 Q在直線上；另一方面就是運用 題目條件：來轉化由A B、P、Q四點共線，不難得到x 4(xa xb) 2xax

12、b，要建立x8 (Xa Xb)與k的關系，只需將直線的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開場解題，但對于如何解決此題，已經做到心中有數.y,利用韋達定理在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于x,y的方程不含k，那么可由y k(x 4) 1解得，直接代入x f k即 可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設 Axi，yi，B(X2, y2), Q(x, y)，那么由可得：，解之得：1設直線的方程為：y k(x 4) 1，代入橢圓C的方程，消去y得出關于x的 一元二次方程：2 2 22k 1 x 4k (

13、1 4k)x 2(14k)80代入1，化簡得：(3)與 y k(x 4) 1 聯立，消去 k得：2x y 4 (x 4)0.在2中，由 64k2 64k 24 0，解得2_10 k 2_10，結合3可求得4416 2 10 16 2 -10故知點Q的軌跡方程為：2x y 4 0 16 2 10 x 16 2 10.99點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程， 其判別式、韋達定理模塊思維易于想到 這當中，難點在引出參，活點在應用 參，重點在消去參，而“引參、用參、消參三步曲，正是解析幾何綜合問題 求解的一條有效通道6、求根公式法例5設直線I過點P0, 3，和橢圓順次交于

14、 A、B兩點，試求 竺 的取值范PB圍分析：此題中，絕大多數同學不難得到： 竺=2，但從此后卻一籌莫展，問PBXb題的根源在于對題目的整體把握不夠事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個或某幾個參數的函數關系式或方程，這只需利用對應的思想實施；其二那么是構造關于所求量的一個不等關系.分析1：從第一條想法入手， 塑=Xa已經是一個關系式，但由于有兩個變PBXb量Xa,Xb，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線的斜率k.問題就轉化為如何將xa,xb轉化為關于k的表達式，到此為止， 將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于x的一元二次方程，其求根公式呼之

15、 欲出.簡解1:當直線1垂直于x軸時，可求得；當I與X軸不垂直時，設Axi，yi，B(X2, y2)，直線1的方程為：y kx 3，代入橢27k 6 9k2 5解之得圓方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 09k24因為橢圓關于0時,Xiy軸對稱，點- 227k6 9k 5P在y軸上，所以只需考慮k 0的情形.29k24X227k 6 9k2 52 ，9k 4所以(54k)2180 9k24 0,解得，所以分析2:如果想構造關于所求量的不等式，那么應該考慮到：判別式往往是185k2綜上產生不等的根源由判別式值的非負性可以很快確定 k的取值范圍，于是問題轉 化為如何將所求量與k聯系起來

16、.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋 梁，但此題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于X1,X2的對稱關系式.原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于X1,X2的對稱關系式.簡解2 :設直線I的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k24 x2 54kx 450*那么令，那么， 丄2324疋45k220在*中，由判別式0,可得，從而有 ，所以 ，解得 .結合01得.綜上，.點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數的性質法，數形結合法等等.此題也可從數形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，

17、一時局部的勝利并不能說明問題， 有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局 觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓練：數學推理是由的數學命題得出新命題的根本思維形式，它是數學求解的核心。以的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據， 選擇恰當的解題方法，到達解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過 程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高 解題能力。例6橢圓長軸端點為A,B ,0為橢圓中心，F為橢圓的右焦點，且AF FB 1 ,0FI求橢圓的標準

18、方程;口記橢圓的上頂點為M ,直線I交橢圓于P,Q兩點，問：是否存在直線l ,使點F恰為PQM的垂心？假設存在，求出直線I的方程；假設不存在，請說明理 由。思維流程:【由 aF?fb 1,(a c)(a c) 1 , c 1a 72,b 1*寫出橢圓u由F為PQM的* PQ MF,MP FQk pq2 23x 4mx 2m 20肖兀兩根之MP ? FQ 0得出關解出解題過程：2 2I如圖建系，設橢圓方程為冷每1(a b 0),那么c 1a b又T AF FB 1 即(a c) (a c) 1 a2 c2 二 a2 2故橢圓方程為口假設存在直線I交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心，那么設

19、P(Xiy),Q(X2,y2), T M (0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 ,于是設直線I為y x m，由得，3x2 4mx 2m2 2 0T MP FQ 0 x1(x2 1) y2(y1 1)又 y x m(i 1,2)得 x1(x2 1) (x2 m)(x1 m 1) 0 即2x1x2 (x1 x2)(m 1) m2 m 0 由韋達定理得22m 2 4m22(m 1) m m 033解得或m 1舍經檢驗符合條件.點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉化為兩向量乘積 為零.例7、橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A( 2,0)、B(2,0)、三占八、I求橢

20、圓E的方程:口假設點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F( 1,0), H (1,0) , 當A DFH內切圓的面積最大時，求 DFH內心的坐標;思維流程：I由橢圓經過A、B、設方程為2 2"mxny 1得至I m,n的方解出m, n3I由DFH內切圓面I 轉化為 DFH面積 _轉化為點D的縱坐標的絕對值_D為橢圓短軸4DFH面積最大值為SDFH2周長內切圓得出D點坐標為解題過程：I設橢圓方程為 mx2 ny21 m 0, n 0 將 A( 2,0)、B(2,0)、5代入橢圓E的方程，得解得二橢圓E的方程.口|FH | 2，設A DFH邊上的高為當點D在橢圓的上頂點時，h最大為.3

21、，所以S dfh的最大值為-3 .設厶DFH的內切圓的半徑為R，因為 DFH的周長為定值6.所以，所以R的最大值為扌所以內切圓圓心的坐標為11的周長2例8定點c( 10)及橢圓x2 3y2 5，過點C的動直線與橢圓相交于 A B兩點. I假設線段AB中點的橫坐標是 1，求直線AB的方程；2口在x軸上是否存在點M ,使MA MB為常數？假設存在，求出點 M的點石成金：S的內切圓r的內切圓坐標；假設不存在，請說明理由 思維流程:I解：依題意，直線 AB的斜率存在，設直線 AB的方程為y k(x 1),6k2x 3k2 5 0.將y k(x 1)代入x2 3y2 5 ,消去y整理得(3k2 1)x2

22、設 A(Xi, yi), B(X2, y?),那么x1 冷36k4 4(3k2 1)(3k26k23k2 1.5) 0,(1)由線段AB中點的橫坐標是彳得 x1 X23k23k21g，解得，符合題意。所以直線AB的方程為x、3y0，或 x ,3y 1 0.口解：假設在x軸上存在點M (m,0)，使 MA MB為常數.當直線AB與x軸不垂直時，由I知x1x26k23k21NX?I.(3)所以 MA MB (Xj m)(x2 m) %y2 (x, m)(x2 m) k2(x1 1)(x2 1)(k2 1)X1X2 (k2 m)(x1 X2) k2 m2. 將 (3) 代1214-(6m 1)k2

23、52 (2m 3)(3k 1) 2m 1422 21MA MB2m 323 m m 2m入，整理得6m 143(3k2 1)3k2 13k2 13 當直線AB與x軸垂直時，此時點A, B的坐標分別為，當時，亦有綜上，在x軸上存在定點，使MA MB為常數.點石成金:MA MB(6m 1)k2 53k2 11214(2 m )(3k2 1) 2m 333k2 12m -6m 1423(3k1)例9、橢圓的中心在原點，焦點在 x軸上，長軸長是短軸長的 2倍且經過點M 2, 1，平行于的直線|在y軸上的截距為m說0，|交橢圓于A、B兩個不 同點。I求橢圓的方程；口求m的取值范圍；山求證直線、與x軸始終

24、圍成一個等腰三角形思維流程：解：1設橢圓方程為a 2b橢圓方程為H直線l平行于，且在y軸上的截距為m又11l的方程為：y -x m212yx m由222x2 2mx 2m2 4 0xy- 182那么±丄a2 b221解得b2:直線l與橢圓交于A、B兩個不同點,(2m)24( 2m24)0,解得 2 m 2,且m 0山設直線、的斜率分別為k1, k2，只需證明k12=0即可設 A(x1, y1), B(x2, y2),且x1 x22m, x1x2 2m2 4由x22mx 2m240可得XiX22m, x2x22m2 4而kik2yi 2x22y2i (yi1) (X22) (y21)(

25、xiX22(Xi2)(X22)(2 Xim 1)( x22)/1(x2m1)(Xi2)那么ki窪,k23x1 2x2 22)(Xi 2)(X22)x1x2 (m 2)(x1x2) 4(m 1)(Xi 2)(X22)2m24 (m 2)( 2m) 4(m 1)(Xi 2)(X22)2 22m 4 2m 4m 4m 4°(Xi 2)(X22)0k1 k2故直線、與X軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線、與X軸始終圍成一個等腰三角形ki k2 0例10、雙曲線的離心率過A（a，0）,B（0，b）的直線到原點的距離是中1求雙曲線的方程；2直線y kx 5（k 0）交雙曲線于不同的點 G

26、D且G D都在以B為圓心的 圓上，求k的值.思維流程：解：T 1原點到直線：的距離dabab、a2 b 2 c 1, a 、 3.32故所求雙曲線方程為2把 y kx 5代入 x 2 3y 23中消去y，整理得（12 23k )x30kx 78 0.設 C（Xi,yi）,D（X2,y2）,CD 的中點是 E（xo,y。），那么xX1X2X。y°1x°k BE15 kF y1kx 05X0ky°5k10,又k0, k 27故所求土點石成金:C, D都在以B為圓心的圓上例11、橢圓C的中心在坐標原點，焦點在 x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.I求橢圓C的標準方程;假設直線I：與橢圓C相交于A B兩點A、B不是左右頂點，且以為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:直線I過定點，并求出該定點的a c 3, a c 1, 橢圓的標準方程為.A% yj, BE y2).2 2 2 264m k 16(3 4k )(m8mkX1 x23 4k4( m23)X1X22 -3 4k又 y1y2 (kx1m)( kx23)0,即 3 4k2 m20,2m) k x1x2 mk(x1 x2)因為以AB為直徑的圓過橢圓