求功方法種種

1、求功方法種種 李樹祥功和能歷年來都是高考必考的重點(diǎn)知識(shí)，由于此部分內(nèi)容高考命題情景新、聯(lián)系實(shí)際密切、綜合性強(qiáng)因此也成為高考的難點(diǎn)。但由于高考對(duì)功和能的考查側(cè)重于計(jì)算型命題，因此不論是直接求功（或功率）的考查，還是幾種重要功能關(guān)系的應(yīng)用（如動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律等），一般都要進(jìn)行求功的計(jì)算，那么應(yīng)如何求力做的功呢？一、如果力F是恒力，則可利用功的公式W=FScos求解。此種功的求法最為常見。例如我們可以用此公式推導(dǎo)出求解液體或氣體做功的公式W=PV，其中P為壓強(qiáng)，V為液體或氣體推進(jìn)體積。推導(dǎo)如下：設(shè)壓強(qiáng)P的作用面積為S，推進(jìn)的距離為L，則壓力PS作用距離L時(shí)的功為PSL即PV。注

2、意：代入公式的F、S、均為絕對(duì)值（功的正負(fù)號(hào)來源于角是銳角還是鈍角，而不是力F的正負(fù)號(hào)?。?；S為實(shí)際的對(duì)地位移（參照物為地面）；為力和位移正方向之間的夾角。功的計(jì)算跟物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、以及有無其它力都沒有關(guān)系。所以，計(jì)算某個(gè)恒力做功時(shí)，不要受到物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和其它力的干擾。例1：用力將重物豎直提起，先是從靜止開始勻加速上升，緊接著勻速上升。如果前后兩過程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，不計(jì)空氣阻力，則（）A加速過程中拉力做的功比勻速過程中拉力做的功大B勻速過程中拉力做的功比加速過程中拉力做的功大C兩過程中拉力做的功一樣大D上述三種情況都有可能解析：應(yīng)先分別求出兩過程中拉力做的功，再進(jìn)行比較。由于兩過程拉力都是恒力

3、，故可用公式求解。勻加速提升重物時(shí)，設(shè)拉力為F1，物體向上的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得F1-mg=ma，拉力F1所做的功：勻速提升重物時(shí)，設(shè)拉力為F2，根據(jù)平衡條件得F2=mg，勻速運(yùn)動(dòng)的位移，所以勻速提升重物時(shí)拉力的功比較、式知：當(dāng)a>g時(shí)，；當(dāng)a=g時(shí)，；當(dāng)a<g時(shí)，故D選項(xiàng)正確。二、如果力F的功率不變，則利用W=Pt求功，此法常用于交通工具以恒定功率行駛的題目中，當(dāng)然也有涉及電動(dòng)機(jī)拉動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)輸出功率（即物體所受拉力功率）恒定的情況。例2：質(zhì)量為5´103 kg的汽車在t0時(shí)刻速度v010m/s，隨后以P6´104 W的額定功率沿平直公路繼續(xù)前

4、進(jìn)，經(jīng)72s達(dá)到最大速度，設(shè)汽車受恒定阻力，其大小為2.5´103N。求：（1）汽車的最大速度vm；（2）汽車在72s內(nèi)經(jīng)過的路程s。解析：（1）當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)，P=Fv=fvm，vmm/s24m/s，（2）此題中汽車的功率即為牽引力的功率，因此牽引力做的功即為pt，從開始到72s時(shí)刻依據(jù)動(dòng)能定理得：Ptfsmvm2mv02，解得：s1252m。三、如果力F大小不變，但方向總是和運(yùn)動(dòng)方向相同，則此力做的功為W=FS路，如果此力大小不變，但方向總是和運(yùn)動(dòng)方向相反，則此力做的功為W=FS路。S路指的是物體的路程而不是位移。當(dāng)然不管力F大小變不變，只要此力的方向總是和運(yùn)動(dòng)方向垂直，則此力

5、不做功。例如：滑動(dòng)摩擦力和空氣阻力在大小不變、方向總與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反的情況下，做功就是W=FS路 。再如：當(dāng)物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，半徑方向的力都不做功（故向心力不做功）。例3、如圖一所示，某力F=10牛作用于半徑R=1米的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點(diǎn)的切線方向一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周這個(gè)力F做的總功應(yīng)為：A 0焦耳B 20焦耳C 10焦耳D20焦耳圖一分析：由于力的大小沒變且方向總與運(yùn)動(dòng)方向相同，故W=FS=F×2R=10×2J=20J，故B正確。四、如果已知力F隨位移變化的關(guān)系圖像，則利用F-S圖像中圖線與橫軸之間所夾的面積來求該力所做的功，如圖二。F

6、0SWF0SWW注意：圖像中橫坐標(biāo)S應(yīng)理解為實(shí)際位移在力方向上的分量。圖二此法主要用于已知或能夠作出F-S圖像的情形（如彈力、物體浮出水面過程中浮力做功）。例4、放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)的輕彈簧相連?，F(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，木塊開始運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢移動(dòng)了的位移，求上述過程中拉力所做的功。解析：由題意作出圖象如圖三所示，在木塊運(yùn)動(dòng)之前，彈簧彈力隨彈簧伸長量的變化是線性關(guān)系，木塊緩慢移動(dòng)時(shí)彈簧彈力不變，圖線與橫軸所圍梯形面積即為拉力所做的功。即圖三五、如果力F的方向不變，且大小隨位移做線性變化時(shí)，可先求出力對(duì)位移的平均值，再由W=FScos計(jì)算，如求彈簧的彈力做功就可用

7、此方法。例5、要把長為的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問此釘子全部進(jìn)入木板需要打擊幾次？解析：在把釘子打入木板的過程中，釘子把得到的能量用來克服阻力做功，而阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。釘子在整個(gè)過程中受到的平均阻力為：，釘子克服阻力做的功為：，設(shè)全過程共打擊n次，則給予釘子的總能量：所以六、如果是求以下幾種力做的功，則在已知相應(yīng)能量變化的情況下，利用此功和相應(yīng)能量的變化關(guān)系求功1、重力做的功等于重力勢能增量的負(fù)值；彈簧彈力做的功等于彈性勢能增量的負(fù)值；分子力做的功等于分子式

8、能增量的負(fù)值；電場力做的功等于電勢能增量的負(fù)值。即WEp1-Ep2-Ep，其中Ep1表示初態(tài)的勢能，Ep2表示末態(tài)的勢能，Ep表示勢能的增量。2、一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做的功和空氣阻力做的功等于系統(tǒng)增加的內(nèi)能，即W=fd相對(duì)路程=Q，其中d為相對(duì)路程。3、導(dǎo)體在切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流過程中，安培力一定阻礙導(dǎo)體的切割磁感線運(yùn)動(dòng)，安培力做負(fù)功，并且導(dǎo)體克服安培力做多少功，就有多少電能產(chǎn)生，這個(gè)規(guī)律與導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)沒有關(guān)系！即，如果電路是純電阻電路，則電能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。即電路產(chǎn)生的焦耳熱等于克服安培力做的功。4、在絕熱系統(tǒng)中，外界對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的內(nèi)能增加，系統(tǒng)對(duì)外界做功，系統(tǒng)內(nèi)能減少，即370RRV圖四

9、例6、如圖四所示，傾角為=370，電阻不計(jì)，間距L=0.3m,長度足夠的平行導(dǎo)軌所在處，加有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T,方向垂直于導(dǎo)軌平面（圖中未畫出）的勻強(qiáng)磁場，導(dǎo)軌兩端各接一個(gè)阻值R=2的電阻。另一橫跨在平行導(dǎo)軌間的金屬棒質(zhì)量m=1kg,電阻r=2,其與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.5.金屬棒以平行于導(dǎo)軌向上的初速度V0=10m/s上滑，直至上升到最高點(diǎn)的過程中，通過上端的電量q=0.1C(g=10m/s2,sin370=0.6),求上端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q。析解：金屬棒以初速度V0向上滑行的過程中克服重力、安培力和摩擦力做功，動(dòng)能分別轉(zhuǎn)化為重力勢能、電能和內(nèi)能。從電路構(gòu)成可知導(dǎo)軌上、下端電阻發(fā)出的熱

10、量相等，由焦耳定律可求出金屬棒發(fā)熱是R發(fā)熱的四倍。由電磁感應(yīng)定律可得，可求出金屬棒掃過的面積和沿導(dǎo)軌上滑的距離。由電流定義式和并聯(lián)電路規(guī)律，閉合電路歐姆定律和電磁感應(yīng)定律，可得mgVNfFm圖五B所以由磁通量定義，可得，金屬棒沿導(dǎo)軌上滑的距離L0為。金屬棒沿導(dǎo)軌上滑的受力如圖五所示。金屬棒所受各力中安培力是變力，其做負(fù)功使機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)而變?yōu)閮?nèi)能。由能量守恒定律可得。則上端電阻發(fā)熱量七、在已知物體的初末動(dòng)能（或運(yùn)動(dòng)速率）情況下，可利用動(dòng)能定理定理求功例7：如圖六所示為一個(gè)截面是半圓、半徑為R的光滑柱面。一根不可伸長的細(xì)線兩端分別系物體A和B，且mA=2mB=2m，由圖示位置自靜止釋放A物

11、體，當(dāng)物體B到達(dá)半圓柱體的頂點(diǎn)時(shí)，求線中的張力對(duì)物體B所作的功。RBA解析：以A、B和繩為系統(tǒng)，整體由動(dòng)能定理得圖六mAg(R) mBgR=mAvA2+mBvB20，由于繩不可伸長，有vA=vB=v，解得v2=gR(1)再以B為研究對(duì)象，張力做的功為W，由動(dòng)能定理得，WmBgR=mBvB2，解得W= (+2)mBgR八、系統(tǒng)所受的外力和內(nèi)力（不包括重力和彈力）所做的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)的機(jī)械能的增量，如果這些力中只有一個(gè)變力做功，且其它力所做的功及系統(tǒng)的機(jī)械能的變化量都比較容易求解時(shí)，就可用功能原理求解變力所做的功。例8、質(zhì)量為2千克的均勻鏈條長為2米，自然堆放在光滑的水平面

12、上，用力F豎直向上勻速提起此鏈條，已知提起鏈條的速度v=6米/秒，求該鏈條全部被提起時(shí)拉力F所做的功。析解：鏈條上提過程中提起部分的重力逐漸增大,鏈條保持勻速上升，故作用在鏈條上的拉力是變力，不能直接用功的公式求功。根據(jù)功能原理，上提過程拉力F做的功等于機(jī)械能的增量，故可以用功能原理求。當(dāng)鏈條剛被全部提起時(shí)，動(dòng)能沒有變化，重心升高了L/2=1米，故機(jī)械能動(dòng)變化量為：E=mg L/2=2×10×1=20（J）根據(jù)功能原理力F所做的功為：W=20J九、如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力或彈力做功時(shí)，滿足機(jī)械能守恒定律。如果求彈力這個(gè)變力做的功，可用機(jī)械能守恒定律來求解。圖七

13、例9、如圖七所示，質(zhì)量m為2千克的物體，從光滑斜面的頂端A點(diǎn)以v0=5米/秒的初速度滑下，在D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度為零，已知從A到B的豎直高度h=5米，求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。析解：由于斜面光滑故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對(duì)物體做負(fù)功，彈簧的彈性勢能增加，且彈力做的功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長處D 點(diǎn)為彈性勢能的零參考點(diǎn)，則狀態(tài)A： EA= mgh+mv02/2對(duì)狀態(tài)B： EB=W彈簧+0由機(jī)械能守恒定律得： W彈簧=（mgh+mv02/2）=125（J）。十、有些情況下可把變力作功轉(zhuǎn)化為恒力做功在某些情況下，通過等效變換可

14、以將變力做功轉(zhuǎn)換成恒力做功，于是可以用求解。例10、如圖八所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑水平面上的物體。開始時(shí)與物體相連的輕繩和水平面間的夾角為，當(dāng)拉力F作用一段時(shí)間后，繩與水平面間的夾角為。已知圖1中的高度是h，繩與滑輪間的摩擦不計(jì)，求繩的拉力FT對(duì)物體所做的功。圖八分析：拉力FT在對(duì)物體做功的過程中大小不變，但方向時(shí)刻改變，所以這是個(gè)變力做功問題。由題意可知，人對(duì)繩做的功等于拉力FT對(duì)物體做的功，且人對(duì)繩的拉力F是恒力，于是問題轉(zhuǎn)化為求恒力做功。由圖八可知，在繩與水平面的夾角由變到的過程中，拉力F的作用點(diǎn)的位移為：所以繩對(duì)物體做功：在功的計(jì)算中，還需注意正確的理解功：1、功是能量轉(zhuǎn)

15、化的量度。2、力對(duì)物體做多少功只決定于F、S、這三個(gè)因素.3、功雖然是標(biāo)量，但有正負(fù)號(hào)（正負(fù)號(hào)只取決于力和位移的夾角）。功的正負(fù)號(hào)既不表示方向，也不表示做功的多少，而表示能量的傳輸方向。當(dāng)力對(duì)物體做負(fù)功時(shí)，可以說成是該物體克服這個(gè)力做正功。4、判別力是否做功以及正負(fù)號(hào)的常見方法：=90°時(shí)，W=0；<90°時(shí)，W>0；>90°時(shí)，W<0l 如果是恒力，可考察F與S的夾角情況：=90°時(shí)，W=0；<90°時(shí)，W>0；>90°時(shí)，W<0l 如果是變力，可考察F與v的夾角情況：例如：單擺的擺線

16、拉力、圓周運(yùn)動(dòng)的向心力、固定軌道的彈力都是變力，由于這些力的方向始終與物體的運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以不做功。(運(yùn)動(dòng)軌道的彈力往往會(huì)做功。)5、“內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)所作的功”的理解：內(nèi)力對(duì)相應(yīng)的兩個(gè)施力物體做功的總和。求解方法：方法一，求出作用力的功，再求其反作用力的功，最后代數(shù)相加；方法二，以其中的一個(gè)施力物體為參照物求內(nèi)力對(duì)另一個(gè)物體所作的功即為答案。相關(guān)結(jié)論:內(nèi)力所作的總功不一定等于零（相對(duì)靜止時(shí)內(nèi)力做的總功為零），也不一定為正值，也不一定為負(fù)值。鞏固練習(xí)：1、一輛汽車質(zhì)量為105千克，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，其阻力為車重的0.05倍。其牽引力的大小與車前進(jìn)的距離變化關(guān)系為F=103x+f0，f0是車所受的阻力

17、。當(dāng)車前進(jìn)100米時(shí)，牽引力做的功是多少？解析：由于車的牽引力和位移的關(guān)系為F=103x+f0，是線性關(guān)系，故前進(jìn)100米過程中的牽引力做的功可看作是平均牽引力所做的功。由題意可知f00.05×105×10N5×104N,所以前進(jìn)100米過程中的平均牽引力N1×105N,WS1×105×100J1×107J。2、一個(gè)質(zhì)量為的物體靜止在足夠大的水平地面上，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。從開始，物體受到一個(gè)大小和方向呈周期性變化的水平力F作用，力F隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖九所示。求83秒內(nèi)物體的位移大小和力F對(duì)物體所做的功。取。解析：當(dāng)

18、物體在前半周期時(shí)由牛頓第二定律，得 F1-mg=ma1a1=( F1mg)/m=(120.1×4×10)/4=2m/s2圖九當(dāng)物體在后半周期時(shí)，由牛頓第二定律，得F2+mg= ma2a2=( F2+mg)/m=(4+0.1×4×10)/4=2m/s2前半周期和后半周期位移相等x1=1/2at 2 =0.5×2×22 =4m 一個(gè)周期的位移為 8m 最后 1s 的位移為 3m 83 秒內(nèi)物體的位移大小為 x=20×8+4+3=167m 一個(gè)周期 F 做的功為 w1=（F1F2）x1=（124）4=32J 力 F 對(duì)物體所做的功

19、 w=20×32+12×4-4×3=681J 3、如圖十所示，質(zhì)量為的小球，用長為L的不可伸長的輕繩懸掛于P點(diǎn)，第一次小球在水平力作用下從P點(diǎn)緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，第二次小球在水平恒力作用下從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)，圖中角為已知。(1)分別寫出外力兩次做功的表達(dá)式=_；=_。(2)這兩次外力做的功是否相同？對(duì)此，甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別作了以下的分析；甲認(rèn)為：前后兩次做功的過程中，物體克服重力的功相同，所以外力做的功也一定相同。乙卻認(rèn)為：兩次做的功的表達(dá)式不同，所以，前后次外力做的功一定不相同。圖十以上兩位同學(xué)的分析是否正確？若正確，請(qǐng)說明理由。若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出分析過程。解析：(1)

20、第一次由于F是變力，故可由動(dòng)能定理得=，第二次F是恒力，故直接由功的公式可得=(2)兩位同學(xué)的分析都是不正確的。正確的分析為：第一次動(dòng)能不變，所以由動(dòng)能定理得。第二次F2、G均為恒力，合力方向與豎直方向的夾角為，大小，當(dāng)時(shí)，小球未到Q點(diǎn)速度就減到0，不合題意。當(dāng)時(shí)，合力做功等于0，開始做正功，小球開始加速，后減速到零，即，當(dāng)時(shí)，合力先做正功，后做負(fù)功，但總的是正功，到Q點(diǎn)時(shí)動(dòng)能大于0，當(dāng)時(shí)，合力始終做正功，到Q點(diǎn)動(dòng)能大于0。故<4、質(zhì)量為5´103 kg的汽車在t0時(shí)刻速度v010m/s，隨后以P6´104 W的額定功率沿平直公路繼續(xù)前進(jìn)，經(jīng)72s達(dá)到最大速度，設(shè)汽車

21、受恒定阻力，其大小為2.5´103N。求：（1）汽車的最大速度vm；（2）汽車在72s內(nèi)經(jīng)過的路程s。解析：（1）當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)，P=Fv=fvm，vmm/s24m/s，（2）從開始到72s時(shí)刻牽引力的功率不變，做的功為Pt，阻力為恒力，做功為fs，依據(jù)動(dòng)能定理得：Ptfsmvm2mv02，解得：s1252m。5、如圖十一甲，在水平地面上固定一傾角為的光滑絕緣斜面，斜面處于電場強(qiáng)度大小為E、方向沿斜面向下的勻強(qiáng)電場中。一勁度系數(shù)為k的絕緣輕質(zhì)彈簧的一端固定在斜面底端，整根彈簧處于自然狀態(tài)。一質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的滑塊從距離彈簧上端為s0處靜止釋放，滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中電量保持不變，設(shè)滑塊與彈簧接觸過程沒有機(jī)械能損失，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g。（1）求滑塊從靜止釋放到與彈簧上端接觸瞬間所經(jīng)歷的時(shí)間t1圖十一（2）若滑塊在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中最大速度大小為vm，求滑塊從靜止釋放到速度大小為vm過程中彈簧的彈力所做的功W；（3）從滑塊靜止釋放瞬間開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)?jiān)谝覉D中畫出滑塊在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中速度與時(shí)間關(guān)系v-t圖象。圖中橫坐標(biāo)軸上的t1、t2及t3分別表示滑塊第一次與彈簧上端接觸、第一次速度達(dá)到最大值及