上海中學2015-2016學年高一(上)期中數(shù)學試卷(版)

1、2015-2016學年上海中學高一（上）期中數(shù)學試卷一、填空題（每小題3分）1設集合A=0，a，集合B=a2，a3，a21且AB，則a的值是2已經(jīng)集合M=x|1x4，N=x|x=2a+1，aM，則集合MN=3“若xy=0，則x，y中至少有一個為0”的否命題是4已知a1a2，b1b2，請比較下面兩式大?。篴1b1+a2b2a1b2+a2b15不等式x2（x2+2x+1）2x（x2+2x+1）的解集為6關于x的不等式mx2+6mx+m+80在R上恒成立，m的取值范圍是7某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小

2、，則x=噸8已知不等式|xm|1成立的充分不必要條件是x，則m的取值范圍是9已知正實數(shù)x，y滿足+=1，那么2x+3y的最小值為10對于問題：“已知關于x的不等式ax2+bx+c0的解集為（1，2），解關于x的不等式ax2bx+c0”，給出如下一種解法：解：由ax2+bx+c0的解集為（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集為（2，1），即關于x的不等式ax2bx+c0的解集為（2，1）參考上述解法，若關于x的不等式的解集為，則關于x的不等式的解集為11若關于x的不等式ax23x+4b的解集恰好為a，b，那么ba=12已知正數(shù)x，y滿足：x2+2xy=3，則z=+的取值范圍是二、選擇題（

3、每小題3分）13R表示實數(shù)集，集合M=x|0x2，N=x|x22x30，則下列結論正確的是（）AMNBM（RN）C（RM）ND（RM）（RN）14集合M=x|x4且xN，P=x|x=ab，a、bM且ab，P的真子集個數(shù)是（）A63B127C2171D220115若實數(shù)a，b滿足a0，b0，且ab=0，則稱a與b互補，記（a，b）=ab那么（a，b）=0是a與b互補的（）A必要不充分條件B充分不必要的條件C充要條件D既不充分也不必要條件16已知命題：“若|k|1，則關于x的不等式（k24）x2+（k+2）x10的解集為空集”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題，以及原命題中，假命題的個數(shù)是（）A0

4、B2C3D417已知a，b都是負實數(shù)，則的最小值是（）AB2（1）C21D2（+1）三、解答題（7+7+11+12+12）18設集合P=x|x2x60，非空集合Q=x|2axa+3，若PQ=P，求實數(shù)a的取值范圍19已知a，b，x，y均為正數(shù)，ab，求證： +20（1）解不等式： +2x5（2）解關于x的不等式：（aR）21（1）關于x的方程x2+2a|x|+4a23=0恰有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的值（2）關于x的方程x2+2a|x|+4a23=0在1，1上恰有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的值22由正數(shù)組成的集合A具有如下性質(zhì)：若aA，bA且ab，那么1+A（1）試問集合A能否恰有兩個元素且

5、A？若能，求出所有滿足條件的集合A；若不能，請說明理由（2）試問集合A能否恰有三個元素？若能，請寫出一個這樣的集合A；若不能，請說明理由2015-2016學年上海中學高一（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（每小題3分）1設集合A=0，a，集合B=a2，a3，a21且AB，則a的值是【考點】集合的包含關系判斷及應用【分析】由A=0，a及集合元素的互異性可知a0，所以a20，a30，又AB，所以a21=0，解得a=±1，再進行驗證，即可得出結論【解答】解：由A=0，a及集合元素的互異性可知a0，所以a20，a30，又AB，所以a21=0，解得a=±1當a=1時，a2

6、=a3=1，這與集合元素互異性矛盾，舍去當a=1時，A=0，1，B=1，1，0，滿足AB綜上a=1，故答案為：12已經(jīng)集合M=x|1x4，N=x|x=2a+1，aM，則集合MN=【考點】并集及其運算【分析】求出集合N，然后求解并集即可【解答】解：集合M=x|1x4，N=x|x=2a+1，aM=x|3x9，集合MN=x|1x9故答案為：x|1x93“若xy=0，則x，y中至少有一個為0”的否命題是【考點】命題的否定【分析】根據(jù)否命題的定義即可得到否命題【解答】解：同時否定條件和結論得到命題的否命題是：若xy0，則x0且y0故答案為：若xy0，則x0且y04已知a1a2，b1b2，請比較下面兩式大

7、?。篴1b1+a2b2a1b2+a2b1【考點】不等式比較大小【分析】作差因式分解即可得出大小關系【解答】解：a1a2，b1b2，a1b1+a2b2（a1b2+a2b1）=a1（b1b2）+a2（b2b1）=（a1a2）（b1b2）0，a1b1+a2b2a1b2+a2b1故答案為：5不等式x2（x2+2x+1）2x（x2+2x+1）的解集為【考點】其他不等式的解法【分析】原不等式等價于x（x+1）2（x2）0，當x=1時，不等式不成立，當x1時，不等式等價于x（x2）0，解得x0或x2且x1，問題得以解決【解答】解：x2（x2+2x+1）2x（x2+2x+1）等價于x（x+1）2（x2）0，當

8、x=1時，不等式不成立，當x1時，不等式等價于x（x2）0，解得x0或x2且x1，故不等式的解集為（，1）（1，0）（2，+），故答案為：（，1）（1，0）（2，+）6關于x的不等式mx2+6mx+m+80在R上恒成立，m的取值范圍是【考點】函數(shù)恒成立問題【分析】分m=0、m0兩種情況進行討論：m=0時易檢驗；m0時，有，即可求出m的取值范圍【解答】解：關于x的不等式mx2+6mx+m+80在R上恒成立，當m=0時，有80，恒成立；當m0時，有，解得0m1，綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是0m1故答案為：0，17某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4

9、x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x=噸【考點】函數(shù)模型的選擇與應用【分析】先設此公司每次都購買x噸，利用函數(shù)思想列出一年的總運費與總存儲費用之和，再結合基本不等式得到一個不等關系即可求得相應的x值【解答】解：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買次，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為萬元，=160，當且僅當即x=20噸時，等號成立即每次購買20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小故答案為：208已知不等式|xm|1成立的充分不必要條件是x，則m的取值范圍是【考點】充要條件【分析】先求出不等式|xm|1的解集，再由不

10、等式|xm|1成立的充分不必要條件是x來確定m的取值范圍【解答】解：|xm|1，1xm1，m1xm+1，m1xm+1成立的充分不必要條件是x，解得m故m的取值范圍是故答案：9已知正實數(shù)x，y滿足+=1，那么2x+3y的最小值為【考點】基本不等式在最值問題中的應用【分析】根據(jù)正實數(shù)x，y滿足+=1，將2x+3y轉(zhuǎn)化成（2x+3y）（+），然后利用基本不等式可求出最值，注意等號成立的條件【解答】解：正實數(shù)x，y滿足+=1，2x+3y=（2x+3y）（+）=2+6+8+4，當且僅當=時取等號2x+3y的最小值為8+4故答案為：8+410對于問題：“已知關于x的不等式ax2+bx+c0的解集為（1，2

11、），解關于x的不等式ax2bx+c0”，給出如下一種解法：解：由ax2+bx+c0的解集為（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集為（2，1），即關于x的不等式ax2bx+c0的解集為（2，1）參考上述解法，若關于x的不等式的解集為，則關于x的不等式的解集為【考點】歸納推理；一元二次不等式的應用【分析】觀察發(fā)現(xiàn)ax2+bx+c0將x換成x得a（x）2+b（x）+c0，則解集也相應變化，x（1，2），則x（2，1）不等式將x換成得不等式，故，分析可得答案【解答】解：由ax2+bx+c0的解集為（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集為（2，1），發(fā)現(xiàn)x（1，2），則x（2，1）若關于

12、x的不等式的解集為，則關于x的不等式可看成前者不等式中的x用代入可得，則，則x（3，1）（1，2），故答案為（3，1）（1，2）11若關于x的不等式ax23x+4b的解集恰好為a，b，那么ba=【考點】一元二次不等式的解法【分析】畫出函數(shù)f（x）=x23x+4的圖象，可知f（x）min=1；分類討論：a1時，不等式ax23x+4b的解集分為兩段區(qū)域，不符合題意；有a1b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值【解答】解：畫出函數(shù)f（x）=x23x+4=（x2）2+1的圖象，可得f（x）min=f（2）=1，由圖象可知：若a1，則不等式ax23x+4b的解集分兩段區(qū)域，不符合已知條件，因此

13、a1，此時ax23x+4恒成立；又不等式ax23x+4b的解集為a，b，a1b，f（a）=f（b）=b，可得，由b23b+4=b，化為3b216b+16=0，解得b=或b=4；當b=時，由a23a+4=0，解得a=或a=，不符合題意，舍去；b=4，此時a=0；ba=4故答案為：412已知正數(shù)x，y滿足：x2+2xy=3，則z=+的取值范圍是【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】由題意y=0，則0x，再化簡z，結合導數(shù)知識，即可得出結論【解答】解：由題意y=0，則0xz=+=x，x0，z=10，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，z3，故答案為：z3二、選擇題（每小題3分）13R表示實數(shù)集，集合M=x|0

14、x2，N=x|x22x30，則下列結論正確的是（）AMNBM（RN）C（RM）ND（RM）（RN）【考點】集合的包含關系判斷及應用【分析】易求N=x|x1，或x3，RN=x|1x3，從而可得答案【解答】解：M=x|0x2，N=x|x22x30=x|x1，或x3，RN=x|1x3，顯然x|0x2x|1x3，即M（RN），故選：B14集合M=x|x4且xN，P=x|x=ab，a、bM且ab，P的真子集個數(shù)是（）A63B127C2171D2201【考點】子集與真子集【分析】利用已知條件求出集合P，然后可得真子集個數(shù)【解答】解：M=x|x4且xN，P=x|x=ab，a、bM且ab，P=0，2，3，4，

15、6，8，12集合P的真子集個數(shù)為：271=127故選：B15若實數(shù)a，b滿足a0，b0，且ab=0，則稱a與b互補，記（a，b）=ab那么（a，b）=0是a與b互補的（）A必要不充分條件B充分不必要的條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】我們先判斷（a，b）=0a與b互補是否成立，再判斷a與b互補（a，b）=0是否成立，再根據(jù)充要條件的定義，我們即可得到得到結論【解答】解：若（a，b）=ab=0，則=（a+b），兩邊平方解得ab=0，故a，b至少有一為0，不妨令a=0則可得|b|b=0，故b0，即a與b互補；若a與b互補時，易得ab=0，故a，b

16、至少有一為0，若a=0，b0，此時ab=b=0，同理若b=0，a0，此時ab=a=0，即（a，b）=0，故（a，b）=0是a與b互補的充要條件故選C16已知命題：“若|k|1，則關于x的不等式（k24）x2+（k+2）x10的解集為空集”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題，以及原命題中，假命題的個數(shù)是（）A0B2C3D4【考點】命題的真假判斷與應用【分析】根據(jù)不等式的解集是空集求出對應的等價條件，讓后根據(jù)四種命題之間的關系利用逆否命題的真假關系進行判斷即可【解答】解：若（k24）x2+（k+2）x10的解集為空集，當k24=0，即k=±2時，若k=2，則不等式等價為4x10，得x，解

17、集不是空集，不滿足條件，若k=2，則不等式等價為10，得解集是空集，滿足條件，若k±2，若不等式的解集是空集，則k240且=（k+2）2+4（k24）0，即2k2且5k+4k120，即，得2k，即不等式（k24）x2+（k+2）x10的解集為空集的等價條件為2k，即原命題等價為若|k|1，則2k，即原命題成立，則命題的逆否命題為真命題，原命題的逆命題等價為若2k，則|k|1，則逆命題為假命題，則命題的否命題為假命題，故四個命題中假命題的個數(shù)為2個，故選：B17已知a，b都是負實數(shù)，則的最小值是（）AB2（1）C21D2（+1）【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】把所給的式子直接通分

18、相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值【解答】解：直接通分相加得 =1=1因為a，b都是負實數(shù)，所以，都為正實數(shù) 那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值 最小值為為2分母有最小值，即有最大值 那么1可得最小值 最小值：22故選B三、解答題（7+7+11+12+12）18設集合P=x|x2x60，非空集合Q=x|2axa+3，若PQ=P，求實數(shù)a的取值范圍【考點】并集及其運算【分析】首先，化簡集合P，然后，結合條件PQ=P，求解實數(shù)a的取值范圍【解答】解：由集合P得：P=x|2x3，PQ=P，QP，1a

19、0，實數(shù)a的取值范圍為（1，0）19已知a，b，x，y均為正數(shù)，ab，求證： +【考點】不等式的證明【分析】先將（+）（x+y）=a2+b2=a2+b2+（），利用基本不等式a2+b22ab，即可證得結論【解答】證明：（+）（x+y）=a2+b2=a2+b2+（）a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當且僅當ay=bx時取等號+20（1）解不等式： +2x5（2）解關于x的不等式：（aR）【考點】其他不等式的解法【分析】（1）由+2x5得，解之即可得到不等式： +2x5的解集；（2）（aR）0，通過對參數(shù)a分a0、a=0、0a、a=、a五類討論，可分別求得不等式的解集【解答】解：（

20、1）+2x5，即，解得：1x2，不等式： +2x5的解集為1，2（2）由（aR）得：=0當a=0時，解得：x2；當a0時，00當a0時，若2=2，即a=時，解得：x2；若22，即0a時，解得：x2或x2；若22，即a時，解得：x2或x2；當a0時，解得：2x2綜上所述，a0時，不等式：的解集為x|2x2；a=0時，不等式：的解集為x|x2；0a時，不等式：的解集為x|x2或x2；a=時，不等式：的解集為x|x2；a時，不等式：的解集為x|2或x221（1）關于x的方程x2+2a|x|+4a23=0恰有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的值（2）關于x的方程x2+2a|x|+4a23=0在1，1上恰有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的值【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷【分析】（1）令f（x）=x2+2a|x|+4a23，則f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)對稱性可知x=0為f（x）的一個零點，從而得出a，再進行驗證即可；（2）令f（x）=x2+2a|x|+4a23，對a進行討論，得出f（x）的單調(diào)性，利用零點的存在性定理列出不等式解出a的范圍【解答】解：（1）令f（x）=x2+2a|x|+4a23，則f（x）為偶函數(shù)，f