等差等比數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)

1、 一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2等差數(shù)列通項(xiàng)公式： ， 首項(xiàng):，公差:d，末項(xiàng): 推廣： 從而；3等差中項(xiàng)（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6等差數(shù)列的證明方

2、法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）8.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.注：， （4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列(5) 若是等差數(shù)列，

3、則 ，也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則（其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）（8）、的前和分別為、，且，則.（9）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和(10)求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) 由可得達(dá)到最大值時(shí)的值 （2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng) 由

4、可得達(dá)到最小值時(shí)的值或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為注意：解決等差數(shù)列問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量二、等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的定義：，稱為公比2. 通項(xiàng)公式：， 首項(xiàng)：；公比：推廣：， 從而得或3. 等比中項(xiàng)（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或注意：同號的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列

5、是等比數(shù)列4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1) 當(dāng)時(shí)， (2) 當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）5. 等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項(xiàng)：（0）為等比數(shù)列（3） 通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列（4） 前n項(xiàng)和公式：為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7. 注意（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公比為，中間項(xiàng)用表示）；8. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當(dāng)時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)

6、于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比前n項(xiàng)和，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得注：(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列.(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, , 成等比數(shù)列(9) 當(dāng)時(shí)，

7、當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)q=1時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當(dāng)q0，S130，（1）求公差d的取值范圍。（2）指出S1，S2，S3，Sn中哪一個(gè)值最大，并說明理由。解：（1），即，由,代入得：。（2）解一：由，可知，所以S6最大。解二：，由可知，它的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散的點(diǎn)，根據(jù)圖象可知S6最大。解三：，由得。又拋物線開口向下，所以S6最大。評注：求等差數(shù)列Sn最值有三法：借助求和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)的特點(diǎn),用配方法求解;借助等差數(shù)列的性質(zhì)判斷,通過”轉(zhuǎn)折項(xiàng)”求解;借助二次函數(shù)圖象求解。（經(jīng)過原點(diǎn)）變式：(1) 已知等差數(shù)列an中，問S1，S2，S3，Sn中哪一個(gè)值最大。(

8、2) 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和略解：（1）由題得，是首項(xiàng)為3，公差為的AP。，由，得，數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（2）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例3、(1) 由正數(shù)組成的等比數(shù)列，若前項(xiàng)之和等于它前項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：當(dāng)時(shí)，得不成立，由得，代入得，說明：用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意討論公比是否為1(2) 若數(shù)列成等差數(shù)列，且，求解：（法一）基本量法（略）； （法二）設(shè)，則得：， ，評注：法二抓住了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的特征。變式：設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列

9、，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S7=7，S15=75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。解：法一：（基本量法）設(shè)an首項(xiàng)為a1，公差為d，則 ， 此式為n的一次函數(shù)， 為等差數(shù)列， 。法二：an為等差數(shù)列，設(shè)Sn=An2+Bn， 解之得： ，下略。例4、已知等差數(shù)列， （1）在區(qū)間上，該數(shù)列有多少項(xiàng)？并求它們的和；（2）在區(qū)間上，該數(shù)列有多少項(xiàng)能被整除？并求它們的和.解：，（1）由，得，又, 該數(shù)列在上有項(xiàng), 其和（2），要使能被整除，只要能被整除，即，在區(qū)間上該數(shù)列中能被整除的項(xiàng)共有項(xiàng)即第項(xiàng)，其和等差、等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用復(fù)習(xí)參考題一、選擇題1.在正整數(shù)100至500之間能被11整除的個(gè)數(shù)為（

10、）A.34B.35C.36D.372.an是等差數(shù)列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則a3+a6+a9的值是（ ）A.24B.27C.30D.333.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(n+1)=(nN*)且f(1)=2,則f(20)為（ ）A.95B.97C.105D.1924. 若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是：（ ） A4005 B4006 C4007 D40085.等差數(shù)列an中，已知a1=6,an=0,公差dN*,則n(n3)的最大值為（ ）A.5B.6C.7D.86. 設(shè)命題甲:ABC的一個(gè)內(nèi)角為60o，命題乙:ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列.那么( )

11、 (A)甲是乙的充分不必要條件 (B)甲是乙的必要不充分條件(C)甲是乙的充要條件 (D)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7.已知等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，且a3a7=12,a4+a6=4,則S20為（ ）A.180B.180C.90D.908. 現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余鋼管的根數(shù)為（ ）A.9B.10C.19D.299.由公差為d的等差數(shù)列a1、a2、a3重新組成的數(shù)列a1+a4, a2+a5, a3+a6是（ ）A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差數(shù)列10.在等差數(shù)列an中，若S9=1

12、8,Sn=240,an4=30,則n的值為（ ）A.14B.15C.16D.17二、填空題11.在數(shù)列an中，a1=1,an+1=(nN*),則是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng).12.在等差數(shù)列an中，已知S100=10，S10=100，則S110=_.13.在9和3之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成和為21的等差數(shù)列，則n=_.14.等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,若=,則=_.15. 已知等差數(shù)列a n的公差d0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是 16. 若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若是等比數(shù)列，且，則是等比數(shù)列,其中 17. 設(shè)mN+，log2m的整數(shù)部分用F(m)表示，則F(1)+F(2)+F(1024)的值是 三、解答題（本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18.若等差數(shù)列5，8，11，與3，7，11，均有100項(xiàng)，問它們有多少相同的項(xiàng)？19. 在等差數(shù)列an中，若a1=25且