2013年上海卷數(shù)學(xué)試題及答案(理)

1、2013年上海市秋季高考理科數(shù)學(xué)一、填空題1 .計(jì)算:limnn 203n 13【解答】根據(jù)極限運(yùn)算法則，limn222 .設(shè) m R, m m 2 (mn 2013n 13 31)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m 3 .若2m m 2 0m2 1 0【解答】x2 y24.已知 ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、._ 2 _2_2_.b、c,若 3a2ab 3b 3c0,則角 C 的_1一r 1,故 C5a103x 4 x log 3 4 .7.在極坐標(biāo)系中，曲線cos1 與 cos1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為【解答】聯(lián)立方程組得(1) 10,故所求為1.58.盒子中裝有編號(hào)為1, 2,

2、3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)大小是 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)222222 211【斛答】3a 2ab 3b 3c 0 c a b - ab,故 cosC -，Carccos-.33352 a75,設(shè)常數(shù)a R,若x - 的一項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為10,則a 【解答】Tr 1 C；(x2)5 r (a)r,2(5 r) r 7 x31,6.方程_ 1 3 的實(shí)數(shù)解為3x 1 3【解答】原方程整理后變?yōu)?32x 2 3x 8 0 C 13【解答】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為 1 瀉 C；

3、 189.設(shè)AB是橢圓 的長軸，點(diǎn)C在 上，且 CBA 一,若AB=4 , BC J2 ,則 的兩個(gè)焦點(diǎn)4之間的距離為【解答】不妨設(shè)橢圓22的標(biāo)準(zhǔn)方程為44 b21 ,于是可算得C(1,1),得b210 .設(shè)非零常數(shù) d是等差數(shù)列X,X2,X3,L ,Xi9的公差，隨機(jī)變量等可能地取值 X,X2,X3,L ,Xi9,則方差D X10,D(92 82 L 12 02 12 L 92) V30|d|. 194.1. c11 .若 cosxcosy sinxsiny -,sin 2x.八 2sin 2y 三，貝U sin(xy)【解答】cos(x y)sin2X sin2y2sin(x y)cos(

4、x y)2-,故 sin(xy)12 .設(shè)a為實(shí)常數(shù),f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) X0 時(shí),f (x)9x2ar 什一7 ,右Xf (x) a 1 對(duì)一切 X0成立，則a的取值范圍為【解答】f (0) 0,故0 a 12aa 1 ;當(dāng) x 0時(shí)，f(x) 9x 一 7 a 1X8 即 6|a|a8,又 a 1,故 a 8.72213 .在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧(x 1) y 1(x 1)和 _ 22(X 3) y 1(x 3)、兩條直線y 1和y 1圍成的封 閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記 D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成 的幾何體為 ，過(0, y)(| y| 1)作 的水平截面，所得截面面

5、積為4 也 y2 8 ，試?yán)米娓絀原理、 一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長方體，得出的體積值為 【解答】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為 1,高為2的圓柱平放，一個(gè)高為 2,底面面積8的長方體，這兩 個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖的I原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為12 22 82 2 1614 .對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù) g(x),記g(I) y|yg(x),x I,已知定義域?yàn)?,3的函數(shù)y f(x)有反函數(shù) y f 1(x),且 f 1(0,1) 1,2), f1(2, 4) 0,1),若方程 f (x) x0有解X0,貝U X0 【解答】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)X 0,1)時(shí)，f

6、(X) (2,4； X 1,2)時(shí)，f (X) 0,1),而y f(x)的定義域?yàn)?,3,故當(dāng)x 2,3時(shí)，f(x)的取值應(yīng)在集合(，0) 1,2(4,)，故若f(X0) X0,只有 X0 2 .二、選擇題15.設(shè)常數(shù) a R,集合 A x|(x 1)(x a) 0, B x|x a 1,若 A B R,則 a 的取值 范圍為()(A) (,2)(B) (,2(C) (2,)(D) 2,)【解答】集合A討論后利用數(shù)軸可知，a 1或 a 1 ，解答選項(xiàng)為B.a 1 1 a 1 a16 .錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必

7、要條件(D)既非充分也非必要條件【解答】根據(jù)等價(jià)命題，便宜 沒好貨，等價(jià)于，好貨 不便宜，故選B.17 .在數(shù)列an中，an 2n 1,若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素ai,j ai aj ai aj ,(i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12)則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為()(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】aaiaj a司 2i j 1,而i j 2,3,L,19 ,故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18個(gè)，選A.18 .在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以 A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為ur uu uu uu uuuu uu uu uu uua1,a2,a

8、3,a4,a5 ;以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為d1,d2,d3,d4,d5 .若m, M分別為iruuuu uuuuuu(aajaj(drdsdt)的最小值、最大值，其中i,j,k1,2,3,4,5 ,r,s,t 1,2,3,4,5：則m, M滿足().(A) m 0,M0(B) m 0,M0(C) m 0,M0(D) m 0,M0uuuruiuruuu uuiruruu【解答】作圖知，只有 AFDEAB DC0,其余均有aidr0,故選D.三、解答題19 .(本題滿分12分)如圖，在長方體 ABCD-A 1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A 1A=1 ,證明直線 BC1平行于平

9、面DAC,并求直線BC1到平面D1AC的距離.【解答】因?yàn)?ABCD-A 1B1C1D1為長方體，故 AB/C1 D1, AB C1D1,故ABC 1D1為平行四邊形，故 BC1/AD1,顯然B不在平面D1AC上, 于是直線BC1平行于平面DAC;直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn) B到平面D1AC的距離設(shè)為h11 . _. 1考慮二棱錐ABCD 1的體積，以ABC為底面，可得V - (- 1 2) 1 -3 233而 AD1c 中，AC DC一131所以，V13h13231/5, AD122 ,故 S AD1C2,2 八一2h ,即直線BC1到平面D1AC的距離為.3320 . (6分+8

10、分)甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1 X 10),每小時(shí)3可獲得利潤是100(5x 1 )元. x(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的禾I潤不低于 3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.33【解答】(1)根據(jù)題意，200(5x 1 ) 3000 5x 14 0 xx又1 x 10,可解得3 x 109003411 2 61(2)設(shè)利潤為y 兀，則y 100(5x 1 -)9 104 3(-)2一xxx6120；故 x 6時(shí)，ymax 457500 元.21. (6分+8分)已知函數(shù) f(x) 2

11、sin( x),其中常數(shù)2 .的取值范圍;(1)若y f (x)在一,上單調(diào)遞增，求4 3(2)令 2，將函數(shù)yf (x)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y g(x) 6的圖像，區(qū)間a,b (a,bR且a b)滿足:g(x)在a,b上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的a,b中，求b a的最小值.【解答】(1)因?yàn)?0,根據(jù)題意有(2) f (x) 2sin(2 x) , g(x) 2sin(2(x6) 12sin(2x3) 11.g(x) 0 sin(2x )- x k2即g(x)的零點(diǎn)相離間隔依次為 一和 J 33一或x 3712,kZ,故若y g(x)在a,b上至少

12、含有30個(gè)零點(diǎn)，則ba的最小值為214 1543222 .( 3分+5分+8分)如圖，已知曲線C1 : y2 1 ,曲線2C2 ：| y | | x | 1, p是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)p的直線與Ci, C2都有公 共點(diǎn)，則稱P為“CiC2型點(diǎn)”.(1)在正確證明Ci的左焦點(diǎn)是“ CiC2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證)(2)設(shè)直線y kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k| 1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“ CiC2型點(diǎn)”；, 一 221，上 一“.(3)求證：圓x y萬內(nèi)的點(diǎn)都不是“ CiC2型點(diǎn)”.【解答】：(1) Ci的左焦點(diǎn)為F( J3,0),過F的直線xJ3

13、與Ci交于(J3, 烏)，與C2交于(J3, (J3 1),故Ci的左焦點(diǎn)為“ C1-C2型點(diǎn)”，且直線可以為xJ3；y kx|yI |x| i(2)直線y kx與C2有交點(diǎn)，則(|k I 1)|x| 1,若方程組有解，則必須|k| 1；y kxx2 2y2 2直線y kx與C2有交點(diǎn)，則1(1 2k2)x2 2,若方程組有解，則必須 k2 : y (t 1) k(x t)2故直線y kx至多與曲線Ci和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“Ci-C2型點(diǎn)”。1(3)顯然過圓x2y2 ，內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線Ci有交點(diǎn)，則斜率必存在;2根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線|斜率存在且與曲線 C2交于點(diǎn)(t,t 1

14、)(t 0),則kx y (1 t kt) 0直線l與圓x221 ,y 內(nèi)部有交點(diǎn)，故2|1_t_kt |2)k2=1 一？化簡得，(1 t tk)2 1(k2若直線l與曲線Ci有交點(diǎn)，則1)ooooooooooooy kx kt t 1X22(k2 2)x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0-y2 1224k2(1t kt)24(k21)(1t kt)2 10(1tkt)22(k21)化簡得，(1 t kt)22(k2 1)ooooo 22122由得，2(k2 1)(1ttk)2-(k21)k21212但此時(shí)，因?yàn)閠 0,1 t(1 k)2 1-(k2 1) 1,即式不成立

15、；2 1 一當(dāng)k 時(shí)，式也不成立21綜上，直線l若與圓x2 y2 內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),21即圓x2 y2 內(nèi)的點(diǎn)都不是“ C1-C2型點(diǎn)”.223. (3分+6分+9分)給定常數(shù)c 0,定義函數(shù)f (x) 2 | x c 4| |x c |,數(shù)列aa2, a3,L滿 *足an 1 f (an), n N . *(1)右a1c 2 ,求a2及a3； (2)求證：對(duì)任意 n N 冏1 an c,；(3)是否存在 ，使得a1,a2,L an,L成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由.【解答】：(1)因?yàn)?c 0,a1(c2),故22f(a1)2 1alc

16、 4|1alc|2,a3f(a1) 21 a2 c 41 |a2 c | c 10(2)要證明原命題，只需證明f (x) x c對(duì)任意x R都成立，f (x) x c 2|xc4|xc|xc即只需證明2|x c 4| |x c|+x c若 x c 0,顯然有 21x c 4| | x c|+x c=0 成立；若 x c 0,則 2|x c 41 | x c | +x cx c 4 x c 顯然成立綜上，f (x) x c恒成立，即對(duì)任息的 n N , an 1 an c(3)由(2)知，若an為等差數(shù)列，則公差 d c 0,故n無限增大時(shí)，總有an 0此時(shí)，an 1 f(an) 2(an c

17、4) a c) an c 8故 a2f (a1) 21al c 41|ai c|aic 8,即 2 | ai c 4| | ai c | a c 8,當(dāng)a1 c 0時(shí)，等式成立，且 n 2時(shí)，an0,此時(shí)an為等差數(shù)列，滿足題意;若 a1 c 0,則 |a1 c 41 4a1c 8,此時(shí)，a2 0,a3 c 8,L ,an(n 2)(c 8)也滿足題意;綜上，滿足題意的a1的取值范圍是c, ) c 8.22.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分6分，第2小題?黃分5分，第3小題滿分8 分.2如圖，已知雙曲線Ci： x y2 1 ,曲線C2 ： |y| |x| 1. P是平面內(nèi)一點(diǎn)，

18、若存在過點(diǎn) P的直線與C1、C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“G C2型點(diǎn)”.y kx|yI |x| 1(1)在正確證明G的左焦點(diǎn)是“ C1 C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程(不 要求驗(yàn)證)；(2)設(shè)直線y kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k| 1 ,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“ C1 C2型點(diǎn)；1(3)求證：圓x2 y2 5內(nèi)的點(diǎn)都不是“C C2型點(diǎn)”.22.解：(1)C的左焦點(diǎn)為F(瘋0),過F的直線x 庭與C1交于(J3,1),與C2交于(J3, (J3 1),故C1的左焦點(diǎn)為“ C1-C2型點(diǎn)”，且直線可以(2)直線y kx與C2有交點(diǎn)，則(|k I 1)|x| 1,若方程組

19、有解，則必須|k| 1；直線y kx與C2有交點(diǎn)，則y kxx2 2y2 21(1 2k2)x2 2,若方程組有解，則必須 k2 -2故直線y kx至多與曲線Ci和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”。1(3)顯然過圓x2 y2 內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線C1有交點(diǎn)，則斜率必存在； 2根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線|斜率存在且與曲線 C2交于點(diǎn)(t,t 1)(t 0),則l : y (t1)k(xt) kx y (1 t kt)0直線l與圓x2y21內(nèi)部有交點(diǎn)，故|1 tkt12.k2 12212化簡得，(1 t tk) (k 1)oooooooooooo 若直線l與曲線C1有交點(diǎn)，則y kx

20、 kt t 1 1 oox22(k2 -)x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0y2 12222212_2_24k2(1t kt)24(k2-)(1t kt)21 0(1 t kt)22(k21)化簡得，(1 t kt)2 2(k2 1)00000 1由得，2(k2 1) (1 t tk)2 -(k2 1) k2 11 c但此時(shí)，因?yàn)閠 0,1 t(1 k)2 1-(k2 1) 1,即式不成立；21_當(dāng)k 一時(shí)，式也不成立2221綜上，直線l若與圓x y內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，2221即圓x2 y2 一內(nèi)的點(diǎn)都不是“ C1-C2型點(diǎn)”。223.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分3分，第2小題?黃分6分，第3小題滿分9 分.給定常數(shù)c 0,定義函數(shù)f(x) 2|x c 4| |x c|.數(shù)列a- a2, a3 ,滿足an 1 f (an), n N * .(1)若 a1c 2 ,求 a2 及 a3 ；(2)求證：對(duì)任意n