2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷(word版,排好版有答案)

1、如19年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷(考試時間：2019年6月30日9: 00-11: 30,滿分150分)題號一111213141516總分得分評分人復(fù)核人一、填空題(共10小題，每小題7分，滿分70分。請直接將答案寫在題中的橫線上)1、已知 a 至一2 ,且 A = x -2 Mx Ma , B = y y = 2x+ 3,xw A , C = t t = x2,xw A,若C = B ,則a的取值范圍是.uuu uuu2、AABC的三邊分別為a, b, c,O為AABC的外心，已知b22b+c2 = 0, BC AO的取值范 圍是.3、已知 a = log4 e,b = log 3

2、4,c = log 4 5,則 a, b , c 的大小關(guān)系是 .4、若方程a = 1 -x2 -x-1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .*5、在數(shù)列an中，a1 =2, an +an書=1(n= N )，設(shè)Sn為數(shù)列an的刖n項(xiàng)和，則 S2017 2S2018 *S2019 的值為6、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4, Z2, Z3的對應(yīng)點(diǎn)分別為乙，Z2,Z3 ,若Z1 = Z2uuu uuur=J2,OZ1 OZ2 = 0 ,z1 +z2 -z3 =2,則z3的取值范圍是 .7n x, x>1,7、已知函數(shù)f(x)= $11 若m<n,且f(m)=f(n),則nm的最小值是 .i2x+5,

3、 x<i,228、已知橢圓 人+L=1的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線l交橢圓于點(diǎn)P、43Q,則AFiPQ內(nèi)切圓面積的最大值是 .L 119、已知x >0, y>0且+=1,則x+2y的最小值為 .2x y y 110、定義兩點(diǎn) P(x1, Yi) , Q(x2, y2)之間的 坐標(biāo)距離”為：d(P,Q) Tx x2 | + | y1 y2 | .若 C(x, y)到點(diǎn)A(1,3) , B(6, 9)的坐標(biāo)距離”相等，其中實(shí)數(shù)x、y滿足0ExE10, 0<y <10 ,則所有滿足條件的 點(diǎn)C的軌跡的長之和為 、解答題(共 6小題，滿分80分

4、。要求寫出解題過程)1rx r - x 2 xurr11、(13分)已知向量(1)若 xw0,土, 2(2)在4ABC中，角值范圍.m =(cos-, -1),n = (v3sin- ,cos -),設(shè)函數(shù) f(x) = m,n+1.11 ,、，f (x)= 一，求 cosx 的值；10A, B, C的對邊分別是a, b, c,且滿足2bcosAE2cJ3a ,求f(B)的取12、(13分)2019年數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試行改革：某市在高二一年中舉行5次聯(lián)合競賽，學(xué)生如果其中2次成績達(dá)到該市前20名即可進(jìn)入省隊培訓(xùn)，不用參加其余的競賽，而每個學(xué)生最多也只能參 加5次競賽.規(guī)定：若前 4次競賽成績都

5、沒有達(dá)全市前 20名，則第5次不能參加競賽.假設(shè)某學(xué)生1每次成績達(dá)全市前 20名的概率都是一，每次競賽成績達(dá)全市前 20名與否互相獨(dú)立.4(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊的概率.(2)如果該學(xué)生進(jìn)入省隊或參加完5次競賽就結(jié)束，記該學(xué)生參加競賽的次數(shù)為亡，求亡的分布列及之的數(shù)學(xué)期望.11 (n-1)an13、(13 分)已知數(shù)列an中，ai =1, a2 =，且 an平= (n = 2,3, 4,L ).4n - an(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n o 7(2)求證：對一切n w N，有£ a2.k4614、（13分）已知三棱錐 PABC （如圖1）的平面展開圖（如圖 2）中，四邊形 ABCD為

6、邊長等 于2 J2的正方形，ZXABE和4BCF均為正三角形，在三棱錐 P-ABC中：（I）證明：平面 PAC _L平面ABC ;PM 1（n ）若點(diǎn) M為棱PA上一點(diǎn)且 =,求二面角P-BC -M的余弦值.MA 2F 圖2222215、(14分)已知橢圓E：，+=1(a Ab0),其短軸為4,離心率為e,雙曲線 上工=1 a bmn(m>0, n>0)的漸近線為y = ±x,離心率為e2,且e1，e2=1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F ,過點(diǎn)G(4,0)作斜率不為0的直線交橢圓E于M , N兩點(diǎn)，設(shè) 直線FM和FN的斜率為K , k2,試判斷匕+k2

7、是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是 定值，請說明理由.116、(14 分)已知函數(shù) f(x)=xlnx .x1(1)右 f(x)=xlnx在 x=x1 , x2 (x #x2 )處導(dǎo)致相等，證明： f(X )+f (x2 )>3 -21n2 ；x(2)若對于任意kw(q,1),直線y=kx+b與曲線y = f (x將6有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍.二0一九年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷題號12345678910答案田a <c bn3m i3-21n29 一n 16G+g6亦答案及挪分標(biāo)準(zhǔn)一、填空（共10小，每小 7分,4分70分.請直接將警案寫在意中的搐紋上）二、s

8、m （共6小，清分so分.要求寫出m過程）11、（13 分）已知向量巾=（88',-1）, = （。55布±,85二±）,設(shè)函數(shù)/（x） = m + l . 222（1）若XW0,g, 幻=存,求8§的值：（2）在以8c中角4 B. C的對邊分別是如b. c.且滿足"cos/（«2c-島,求/（8）的取值范圍.3八人、 /T x X 2工61 + COSX解：(1) f(x) = yJ3 sincoscos* +1 =sinx222222226 2/(幻=sin(x-y) = 7s 又X£0.：，二x-1Uo 52'占

9、卜即cos(x_/)>6萬、%/7T、”>7、. ”3cosx = cos(x) + - = cos(x)cossin(x)sin-=6666661010(2)it： 2/>cos A <2r -VVj2sin < 2sinr >/3sin Jn 2 sin/? cos A 4 2sin(4 + 8)->/Jsin.4lain Bcos A 4 2sin A cos B + sin i?cos A - V3 sin /IK .JJn 2sin/fcosi? >，3sin4 n cos8 2 n 3 w(0,7sin(i?-)e -2.0 即/(8

10、) = sin(4-C) + !n/(4)/o, 6 v 262k13分12. （13分）2019年/學(xué)奧林匹克競為試行改革,某一在離二1年中舉行5次聯(lián)介比賽,學(xué)生如果其中2次成績達(dá)到該市前20名即可進(jìn)入省隊培誦L不用步加其余的覺察，而每個學(xué)生最多也只能叁加5次競春克«1«.其6倒定：若前4次競賽成績都沒有達(dá)全市前20名.則第5次不能參加競賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績達(dá)全市前20 名的概率都是工，每次競賽成績達(dá)全市前20名與否互相獨(dú)立.4（1）求該學(xué)生進(jìn)入省隊的概率.（2）如果該學(xué)生進(jìn)入省隊或參加完5次競賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競賽的次數(shù)為，求歲的分布列及J的數(shù)學(xué)期望.解：（I）記

11、“該生進(jìn)入省隊”的事件為事件/,其對立事件為彳.財啕=%）聯(lián)期步費(fèi)一 ' '128 1285分6分（2）該生參加競賽次數(shù)f的可能取值為2. 3. 4. 5.，土 = 3） = C；x那十?dāng)z/ = 4) = C；xl27 81 _27256 + 256-64喔=5）=53之哈.故的分布列為:2345P116332276427£d) = 2*L3*，4x25x包 =絲I ,16326464 6413、（13分）已知數(shù)列4中,q=,小=!，且凡.g=9二也 （ =2.3.4）. 4（I）求數(shù)列切力的通項(xiàng)公式,（2）求ih對一切解：(1)由已知.對有 一=；三一 =;7；7(

12、"1)4 ("M "1兩邊同除以，得 != !.nax (-1況叫7 (- 1R-1 n于是，魯島-g：卜縣占卦即一!- = 4I-5).2 2,(- 1以 a2 一1I 】，1、3-21 今所以:(1r) =7，fl- = 1-zn>2.a2 n-1/»-13/1-2又 =1時也成立.故凡=!7分3/»-2<2)當(dāng)&N2,有2 I1 I, 1 ,ax =<= 一().(3«-2-(3A-4)(341) 3 女-4所以N2時,有£a；=l + £a： <I+；L(H)+ A)f If

13、 11 1 . I 73(2 3n-)6 6又 =1 時,a.: = 1 < . 1647故對一切，何”分a-i 614.分)已如三枝惟(fUffll)的平面展開國，如圖2)中.四邊形/8CQ為邊長等于2a的正方形.和sr/均為小三角形,在:柳惟O-/SC中8(I )證明：rPACLABCiPM 1(II)若點(diǎn)A1為校/“上，點(diǎn)II = -求二面角的余弦俏.MA 2解：(I )設(shè)4。的中點(diǎn)為O,連接80. PO.由題意符 PA = PB = PC = 20 PO = 2.AO= BO= CO = 2 .;在PC中.PA = PC -。為/C的中點(diǎn).： PO i AC , 在ZW中,PO

14、= 2.。8 = 2 ,？8 = 20.PgOB'PB2. ：. PO LOB .Ri /CI 08 = 0. AC 9 O8u 平面，8C,二尸OJ_ 平面48C, POu平面F4c.；平面AMCJ平面(II)由尸O,平面OBLAC. ：.POLOB. POLOC,于是以or. OB. w所在直線分別為“軸，軸,：軸建立如圖示空間面角坐標(biāo)系.則。(0。0), C(2,0,0), 8(020), J(-2,0,0).一(0.0.2),5C-(2,-Z0), PC-(Z0.-2), 正=設(shè)平面卜80的法向量為旭) .則由fcx°o令勒L得Ml,，i2.即5=(112).設(shè)平面P

15、BC的法向量為 (向,3),由卜絲0得：卜2ft令*用yl, r-1.即”(I.U)./f PC-0 叼_，0/、 m n 42y2皿加州卜麗=忝.亍,由圖可知，二面角P-SC-M的余弦做為手13分x2 y215.(14分)已知橢囤£，7+ %X5 y2(a>b>Q.其短軸為4.離心率為雙曲線一二二1 (m>0. m n>0)的漸近找為V = ±x.禺心率為6,且。£=1.(1)求精網(wǎng)£的方程：(2)設(shè)橢圓£的6便點(diǎn)為過點(diǎn)6(4.0)作料率不為0的“紋交桶例£" N兩點(diǎn),設(shè)H線冗”和FN的/軍為, j

16、 試判斷4+&是否為定值.若是定值.求山該定值：若不是定值.請說明理由.(I)由題意可知：2b = 4. b = 2. - me2 ="則橢圓的穹心率為q = 4 .確圓的離心率弓則 a = 2j2.（2）設(shè)出線,MV的方程為P = 4（x-4）UnO）Jy = A(X-4)V+2r=8f工橢限的標(biāo)準(zhǔn)方程：1+1 = 1 84消去、整理得，（1 + 2%工）/-1&2+ 3212-8 = 0.設(shè)A/（$.k），N（5,必）.則為十三16A32AL 8-X| -2 x2 -2 X| -2 Xj-2=匕(X TN, -2) + 區(qū) 7-2) = k Zm-6(m+e)+

17、I6(4-2)(占-2)（芮-2乂占-2）w16 公3”- 8將=,均=訝719分代人上式用2r內(nèi)一6cxi +x2） + 16 = 0,即4地 =°16.（14 分）已知函數(shù)/（x）jr-1-lnj x（I）君/（x）xhvr 在毛（X1，/）處導(dǎo)數(shù)1m 證孫+ /（xj>3-2ln2 ：x（2）若刈任意n（Yj）, ri線拙紋>,/（）都“噂-公共點(diǎn),求丈數(shù)的取值瘡I牝»SA. (UN+ 1 - /H = 0解：(1)r(x)=i+5 j 令:(力”天卜陽，得;+1 - /w = 0x2由韋達(dá)定理得一十 - Hi.即x+y=xbx, % 與>2rtx2 得冬與>4,/(%)+/(巧)(% +g)乂-in(書)-1，令/ = $ 毛 >4 則/'一in(xi9)-l = f-ln/-l .令g(«) = "hv-l(f >4) *則g'(，卜 1-；>0(>4)，得g(，)>g(4) = 3-2ln27 分1 . .xlav-ft(2)由/("-h + b.得女-i,xX- - biv-6 令人(*) = 則 xtO+. h(工). xt+«.下面先證明A(x)<l恒成立.若存在與亡(0.+«),使得力(