高中數(shù)學(xué)蘇教版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章函數(shù)的零點

函數(shù)的應(yīng)用3．函數(shù)與方程第1課時函數(shù)的零點1．理解函數(shù)零點的概念以及函數(shù)零點與方程根的關(guān)系．(重點)2．會求函數(shù)的零點．(重點、難點)3．掌握函數(shù)零點的存在性定理并會判斷函數(shù)零點的個數(shù)．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1零點的概念閱讀教材P91至P92例1，完成下列問題．1．函數(shù)零點的定義一般地，我們把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的實數(shù)x稱為函數(shù)y＝f(x)的零點．2．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)函數(shù)y＝f(x)的零點就是它的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．函數(shù)y＝x2＋3x＋2的零點是________，其圖象與x軸的交點為________．【解析】令x2＋3x＋2＝0，則(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.【答案】－1或－2(－1,0)，(－2,0)教材整理2零點存在性定理閱讀教材P92例2至P93“思考”，完成下列問題．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有零點．()(2)任意兩個零點之間函數(shù)值保持同號．()(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，則一定有f(a)·f(b)＜0.()【解析】(1)可舉反例f(x)＝x2＋1無零點．(2)兩個零點間的函數(shù)值可能會保持同號，也可以異號，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三個零點即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)為正，在(2,3)上f(x)為負(fù)，故在零點1和3之間有正有負(fù)．(3)舉例f(x)＝x2－1，選擇區(qū)間(－2,2)，顯然f(x)在(－2,2)上有零點1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×2．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù)，且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，f(2)·f(5)＜0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)上零點的個數(shù)是________．【解析】由f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù)，可得f(x)至多有一個零點．又因為f(x)是一條連續(xù)不斷的曲線，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一個零點，可得f(x)恰有一個零點．【答案】1[小組合作型]求函數(shù)的零點求下列函數(shù)的零點．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．【精彩點撥】根據(jù)函數(shù)零點的方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點就是求相應(yīng)方程的實數(shù)根．【自主解答】(1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零點為x＝－1,0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零點為x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴l(xiāng)og4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零點為x＝4.(4)當(dāng)a＝0時，函數(shù)為f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零點為2.當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))(x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2.∴f(x)有零點2.當(dāng)a≠0且a≠eq\f(1,2)時，令f(x)＝0得x1＝eq\f(1,a)，x2＝2.∴f(x)的零點為eq\f(1,a)，2.綜上，當(dāng)a＝0時，f(x)的零點為2；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，函數(shù)有零點2；當(dāng)a≠0且a≠eq\f(1,2)時，f(x)的零點為eq\f(1,a)，2.函數(shù)零點的求法求函數(shù)f(x)的零點時，通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有實數(shù)根，則函數(shù)f(x)存在零點，該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點；否則，函數(shù)f(x)不存在零點．[再練一題]1．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b有兩個零點1和4，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax＋1的零點為________．【解析】由韋達(dá)定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1＋4＝5，,b＝1×4＝4，))∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)，令g(x)＝0，則x＝eq\f(1,4)或1，即g(x)的零點為eq\f(1,4)或1.【答案】eq\f(1,4)或1零點存在性定理及其應(yīng)用在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為________．(填序號)①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).【精彩點撥】利用函數(shù)零點的存在性定理判斷，即是否具備f(a)f(b)<0，也可以利用函數(shù)圖象判斷，即函數(shù)圖象與x軸是否有交點．【自主解答】∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\r(4,e)－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(e)－1>0，∴零點在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上．【答案】③1．判斷零點所在區(qū)間有兩種方法：一是利用零點存在性定理，二是利用函數(shù)圖象．2．要正確理解和運用函數(shù)零點的性質(zhì)在函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷中的應(yīng)用，若f(x)的圖象在[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)上必有零點，若f(a)·f(b)>0，則f(x)在(a，b)上不一定沒有零點．[再練一題]2．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋3)＝0(e≈的一個根所在的區(qū)間是________．(填序號)x－10123ex1x＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．【解析】設(shè)f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5>0，f(3)＝－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)內(nèi)．【答案】③[探究共研型]方程零點個數(shù)的判斷探究1如何去求一個方程的零點？【提示】(1)可以解方程；(2)可以結(jié)合圖象；(3)可以用零點存在性定理．探究2求方程零點的方法有何優(yōu)缺點？能否用來判斷零點的個數(shù)？【提示】解方程法．優(yōu)點：解的準(zhǔn)確，不需估算．缺點：有些方程，我們解不出根的精確值，如f(x)＝2x－3x.圖象法和零點存在性定理解得的零點未必是精確值，但我們可以通過圖象的交點個數(shù)來判斷方程零點的個數(shù)．(1)函數(shù)f(x)＝ex－3的零點個數(shù)為________．(2)函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點個數(shù)是________．(3)已知關(guān)于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，試討論方程實數(shù)根的個數(shù)．【精彩點撥】(1)利用函數(shù)的零點的概念解方程求解．(2)利用函數(shù)圖象來求解．(3)原方程可化為(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直線y＝a與拋物線y＝(x－1)(3－x)＋x的位置關(guān)系討論，也可以利用判別式．【自主解答】(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln3，故f(x)只有1個零點．(2)在同一坐標(biāo)系中畫出y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象，如圖所示，函數(shù)y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象有兩個交點，所以函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點個數(shù)為2.【答案】(1)1(2)2(3)法一：原方程化為－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函數(shù)f(x)＝－x2＋5x－3的圖象，拋物線的開口向下，頂點的縱坐標(biāo)為eq\f(12－25,4×－1)＝eq\f(13,4)，畫出如圖所示的簡圖：由圖象可以看出：①當(dāng)a＞eq\f(13,4)時，方程沒有實數(shù)根；②當(dāng)a＝eq\f(13,4)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)a＜eq\f(13,4)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．法二：原方程化為x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a①當(dāng)Δ＜0，即a＞eq\f(13,4)時，方程沒有實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0，即a＝eq\f(13,4)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＞0，即a＜eq\f(13,4)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù)．(2)利用函數(shù)圖象交點的個數(shù)判定函數(shù)零點的個數(shù)．[再練一題]3．若把(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相應(yīng)問題．【解】原方程可化為－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，作函數(shù)f(x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的圖象，注意f(x)＝－x2＋5x－3的對稱軸為x＝eq\f(5,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－eq\f(25,4)＋eq\f(25,2)－3＝eq\f(50－25－12,4)＝eq\f(13,4)，f(1)＝－1＋5－3＝1，f(3)＝－9＋15－3＝3.故f(x)在1＜x＜3上的草圖如圖所示：由圖可知，①當(dāng)a＝eq\f(13,4)或1＜a≤3時，方程有一解；②當(dāng)3＜a＜eq\f(13,4)時，方程有兩解；③當(dāng)a≤1或a＞eq\f(13,4)時，方程無解.1．下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是________．(填序號)【解析】②③④的圖象均與x軸有交點，故函數(shù)均有零點，①的圖象與x軸沒有交點，故函數(shù)沒有零點．【答案】①2．函數(shù)f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零點個數(shù)是________．【解析】∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，由f(x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.【答案】33．已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對應(yīng)值表：x1234567f(x)－－－由表可知函數(shù)f(x)存在零點的區(qū)間有________個．【解析】∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4個區(qū)間．【答案】44．方程－eq\f(2,21)x＝0的實數(shù)解的個數(shù)是________．【解析】設(shè)f(x)＝－eq\f(2,21)x，則f(x)為減函數(shù)，值域為R，故有1個．【答案】15．關(guān)于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有兩實根