選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程*選考內(nèi)容坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考考試大綱要求：1坐標(biāo)系： 理解坐標(biāo)系的作用. 了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2參數(shù)方程： 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.第一講1、 平面直角坐標(biāo)系伸縮變換：設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任

2、意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換。方法1：求伸縮變換后的圖形。由伸縮變換公式解出x、y,代入已知曲線方程就可求得伸縮變換后的曲線方程。例:：在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形。方法2：待定系數(shù)法求伸縮變換。求伸縮變換時(shí)，先設(shè)出變換，再代入原方程或變換后的方程，求出其中系數(shù)即可。例：在同一平面直角坐標(biāo)系中,求下列圖形變換的伸縮變換:二、極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐

3、標(biāo)系。2.點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角，記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為. 極坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為.3.若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。 4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x，y)，(，)(1)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)(2)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)方法3：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例：（1） 點(diǎn)M的極坐標(biāo)是 （2）

4、點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是 練：三、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程1.圓的極坐標(biāo)方程：(1)特殊情形如下表：圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0，0)r(0<2)圓心在點(diǎn)(r，0)2rcos_(<)圓心在點(diǎn)(r，)2rsin_(0<)圓心在點(diǎn)(r，)2rcos_(<)圓心在點(diǎn)(r，)2rsin_(<0)(2)一般情形：設(shè)圓心C(0，0)，半徑為r，M(，)為圓上任意一點(diǎn)，則|CM|r，COM|0|，根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為220cos(0)r20即2.直線的極坐標(biāo)方程：(1)特殊情形如下表：直線位置極坐標(biāo)方程圖形過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為(1)(R) 或(R) (2)(0) 和(0)

5、過(guò)點(diǎn)(a，0)，且與極軸垂直cos_a過(guò)點(diǎn)，且與極軸平行sin_a(0<<)過(guò)點(diǎn)(a，0)傾斜角為sin()asin (0<<)(2)一般情形，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(0，0)，傾斜角為，M(，)為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則在OPM中利用正弦定理可得直線l的極坐標(biāo)方程為 sin()0sin(0)方法4：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化方法5：極坐標(biāo)系下的運(yùn)算方法6：曲線極坐標(biāo)方程的求法四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介（了解）1、柱坐標(biāo)系(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q，用(，)(0，0<2)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，

6、這時(shí)點(diǎn)的位置可用有序數(shù)組(zR)表示這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(，z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(，z)，其中0，0<2，zR(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(，z)之間的變換公式為2、球坐標(biāo)系(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP|r，OP與Oz軸正向所夾的角為，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為，這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，)表示，這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系把建

7、立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，)，叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P(r，)，其中r0，0，0<2(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，)之間的變換公式為第二講一、參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) 并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。二、參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表示曲線的方程的兩種不同形式，

8、兩種方程是等價(jià)的可以互相轉(zhuǎn)化(2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線的類型參數(shù)方程通過(guò)消去參數(shù)就可得到普通方程(3)普通方程化參數(shù)方程，首先確定變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，其次將xf(t)代入普通方程解出yg(t)，則(t為參數(shù))就是曲線的參數(shù)方程(4)在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.三、圓的參數(shù)方程1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程如圖圓O與x軸正半軸交點(diǎn)M0(r，0)(1)設(shè)M(x，y)為圓O上任一點(diǎn)，以O(shè)M為終邊的角設(shè)為，則以為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程是(為參數(shù))其中參數(shù)的幾何

9、意義是OM0繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，則OM0經(jīng)過(guò)時(shí)間t轉(zhuǎn)過(guò)的角t，則以t為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程為(t為參數(shù))其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間2圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程可以看成將圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓通過(guò)坐標(biāo)平移得到，所以其參數(shù)方程為(為參數(shù))四、圓錐曲線的參數(shù)方程1、橢圓的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0，2)(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓1(a&

10、gt;b>0)的參數(shù)方程是(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0，2)(3)中心在(h，k)的橢圓普通方程為1，則其參數(shù)方程為(是參數(shù))2雙曲線的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1的參數(shù)方程是(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍為0，2)且，(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線1的參數(shù)方程是(為參數(shù))3拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線y22px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)方法1：參數(shù)方程和普通方程的互化五、直線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))2直線的參數(shù)方程中

11、參數(shù)t的幾何意義(1)參數(shù)t的絕對(duì)值表示參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離(2)當(dāng)與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取正數(shù)當(dāng)與e反向時(shí)，t取負(fù)數(shù)，當(dāng)M與M0重合時(shí)，t03直線參數(shù)方程的其他形式對(duì)于同一條直線的普通方程，選取的參數(shù)不同，會(huì)得到不同的參數(shù)方程我們把過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線，選取參數(shù)tM0M得到的參數(shù)方程(t為參數(shù))稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義一般地，過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率k(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時(shí)的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義方法2：求直線參數(shù)方程方法3：參數(shù)方程問(wèn)題的解

12、決辦法解決參數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本思路：將其轉(zhuǎn)化為普通方程，然后在直角坐標(biāo)系下解決問(wèn)題。方法4：利用參數(shù)的幾何意義解題六、漸開(kāi)線與擺線（了解）1漸開(kāi)線的概念及參數(shù)方程(1)漸開(kāi)線的產(chǎn)生過(guò)程及定義把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開(kāi)，鉛筆畫(huà)出的曲線叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓(2)圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程以基圓圓心O為原點(diǎn)，直線OA為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端M的坐標(biāo)為(x，y)，則有(是參數(shù))這就是圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程2擺線的概念及參數(shù)方程(1)擺線的產(chǎn)生過(guò)程及定義平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)圓沿著一條定直線

13、無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)固定點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡，叫做平擺線，簡(jiǎn)稱擺線，又叫旋輪線(2)半徑為r的圓所產(chǎn)生擺線的參數(shù)方程為(是參數(shù))練習(xí)1曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ）A B C D 2把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 3若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A B C D4點(diǎn)在圓的（ ）A內(nèi)部 B外部C圓上 D與的值有關(guān)5參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線6兩圓與的位置關(guān)系是（ ）A內(nèi)切 B外切 C相離 D內(nèi)含7與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（ ）A B C D8曲線的長(zhǎng)度是（ ）A B C D9點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）A B C D10直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A B C D11若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則等于（ ）A B C D 12直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）A B C D 13參數(shù)方程的普通方程為_(kāi)14直