高三數(shù)列大題放縮法的應(yīng)用

1、2015年10月31日nksage的高中數(shù)學(xué)組卷一解答題（共21小題）1（2014浙江）已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an=（nN*）若an為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）設(shè)cn=（nN*）記數(shù)列cn的前n項和為Sn （i）求Sn； （ii）求正整數(shù)k，使得對任意nN*均有SkSn2（2015廣東）數(shù)列an滿足：a1+2a2+nan=4，nN+（1）求a3的值；（2）求數(shù)列an的前 n項和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+）an（n2），證明：數(shù)列bn的前n項和Sn滿足Sn2+2lnn3（2013廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1=1，nN*（1）

2、求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有4（2014廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn滿足Sn2（n2+n3）Sn3（n2+n）=0，nN*（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有+5（2013廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Sn=an+124n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列（1）證明：a2=；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有6（2012廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1

3、的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有7（2015重慶）在數(shù)列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若=0，=2，求數(shù)列an的通項公式；（）若=（k0N+，k02），=1，證明：2+2+8（2014天津）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）當(dāng)q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；（）設(shè)s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n證明：若anbn，則st9（2012重慶）設(shè)數(shù)列an的前n項和

4、Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求證：an是首項為1的等比數(shù)列；（）若a21，求證，并給出等號成立的充要條件10（2013秋梁子湖區(qū)校級月考）已知函數(shù)（I）若x0時，f（x）0，求的最小值；（II）設(shè)數(shù)列an的通項an=1+11（2011廣東）設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1=b，an=（n2）（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，an+112（2011天津）已知數(shù)列an與bn滿足bn+1an+bnan+1=（2）n+1，bn=，nN*，且a1=2（）求a2，a3的值（）設(shè)cn=a2n+1a2n1，nN*，證明cn是等比數(shù)列（）設(shè)Sn為an的前n項和，證明+n（nN

5、*）13（2011重慶）設(shè)實數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（nN*）（）若a1，S2，2a2成等比數(shù)列，求S2和a3（）求證：對k3有0ak14（2011湖南）已知函數(shù)f（x）=x3，g （x）=x+（）求函數(shù)h （x）=f（x）g （x）的零點個數(shù)并說明理由；（）設(shè)數(shù)列 an（nN*）滿足a1=a（a0），f（an+1）=g（an），證明：存在常數(shù)M，使得對于任意的nN*，都有anM15（2011浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項a1（a1R），且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）對nN*，試比較與的大小16（2011浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項

6、a1為a（aR）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式及Sn；（）記An=+，Bn=+，當(dāng)n2時，試比較An與Bn的大小17（2009江西）各項均為正數(shù)的數(shù)列an，a1=a，a2=b，且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q都有（1）當(dāng)時，求通項an；（2）證明：對任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)n，都有18（2008安徽）設(shè)數(shù)列an滿足a1=0，an+1=can3+1c，nN*，其中c為實數(shù)（1）證明：an0，1對任意nN*成立的充分必要條件是c0，1；（2）設(shè)，證明：an1（3c）n1，nN*；（3）設(shè)，證明：19（2008江西）數(shù)列an為等差數(shù)列

7、，an為正整數(shù)，其前n項和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a1=3，b1=1，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，b2S2=64（1）求an，bn；（2）求證20（2006上海）已知有窮數(shù)列an共有2k項（整數(shù)k2），首項a1=2設(shè)該數(shù)列的前n項和為Sn，且an+1=（a1）Sn+2（n=1，2，2k1），其中常數(shù)a1（1）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；（2）若a=，數(shù)列bn滿足bn=（n=1，2，2k），求數(shù)列bn的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列bn滿足不等式|b1|+|b2|+|b2k1|+|b2k|4，求k的值21（2002北京）數(shù)列xn由下列條件確定：x1=a0，xn+1=，nN（）證明：對n2，

8、總有xn；（）證明：對n2，總有xnxn+1；（）若數(shù)列xn的極限存在，且大于零，求xn的值2015年10月31日nksage的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共21小題）1（2014浙江）已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an=（nN*）若an為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）設(shè)cn=（nN*）記數(shù)列cn的前n項和為Sn （i）求Sn； （ii）求正整數(shù)k，使得對任意nN*均有SkSn考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）先利用前n項積與前（n1）項積的關(guān)系，得到等比數(shù)列an的第三項的值，結(jié)合首項的值，求出通項a

9、n，然后現(xiàn)利用條件求出通項bn；（）（i）利用數(shù)列特征進(jìn)行分組求和，一組用等比數(shù)列求和公式，另一組用裂項法求和，得出本小題結(jié)論；（ii）本小題可以采用猜想的方法，得到結(jié)論，再加以證明解答：解：（）a1a2a3an=（nN*） ，當(dāng)n2，nN*時， ，由知：，令n=3，則有b3=6+b2，a3=8an為等比數(shù)列，且a1=2，an的公比為q，則=4，由題意知an0，q0，q=2（nN*）又由a1a2a3an=（nN*）得：，bn=n（n+1）（nN*）（）（i）cn=Sn=c1+c2+c3+cn=；（ii）因為c1=0，c20，c30，c40；當(dāng)n5時，而=0，得，所以，當(dāng)n5時，cn0，綜上，對

10、任意nN*恒有S4Sn，故k=4點評：本題考查了等比數(shù)列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項式定理，還可以用數(shù)學(xué)歸納法本題計算量較大，思維層次高，要求學(xué)生有較高的分析問題解決問題的能力本題屬于難題2（2015廣東）數(shù)列an滿足：a1+2a2+nan=4，nN+（1）求a3的值；（2）求數(shù)列an的前 n項和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+）an（n2），證明：數(shù)列bn的前n項和Sn滿足Sn2+2lnn考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a3的值；（2）

11、利用作差法求出數(shù)列an的通項公式，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可求數(shù)列an的前 n項和Tn；（3）利用構(gòu)造法，結(jié)合裂項法進(jìn)行求解即可證明不等式解答：解：（1）a1+2a2+nan=4，nN+a1=43=1，1+2a2=4=2，解得a2=，a1+2a2+nan=4，nN+a1+2a2+（n1）an1=4，nN+兩式相減得nan=4（4）=，n2，則an=，n2，當(dāng)n=1時，a1=1也滿足，an=，n1，則a3=；（2）an=，n1，數(shù)列an是公比q=，則數(shù)列an的前 n項和Tn=221n（3）bn=+（1+）an，b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1+）a3，bn=+（1+）an，Sn=

12、b1+b2+bn=（1+）a1+（1+）a2+（1+）an=（1+）（a1+a2+an）=（1+）Tn=（1+）（221n）2×（1+），設(shè)f（x）=lnx+1，x1，則f（x）=即f（x）在（1，+）上為增函數(shù)，f（1）=0，即f（x）0，k2，且kN時，f（）=ln+10，即ln，ln，即=lnn，2×（1+）2+2lnn，即Sn2（1+lnn）=2+2lnn點評：本題主要考查數(shù)列通項公式以及前n項和的計算，以及數(shù)列和不等式的綜合，利用作差法求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵考查學(xué)生的計算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大3（2013廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1=

13、1，nN*（1）求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）利用已知a1=1，nN*令n=1即可求出；（2）利用an=SnSn1（n2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化為，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（3）利用（2），通過放縮法（n2）即可證明解答：解：（1）當(dāng)n=1時，解得a2=4（2）當(dāng)n2時，得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，當(dāng)n=1時，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列所以，即所以數(shù)列an的通項公式為，nN*

14、（3）因為（n2）所以=當(dāng)n=1，2時，也成立點評：熟練掌握等差數(shù)列的定義及通項公式、通項與前n項和的關(guān)系an=SnSn1（n2）、裂項求和及其放縮法等是解題的關(guān)鍵4（2014廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn滿足Sn2（n2+n3）Sn3（n2+n）=0，nN*（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有+考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（1）本題可以用n=1代入題中條件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an與Sn的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為an的方程，從而求出an；（3）利

15、用放縮法，將所求的每一個因式進(jìn)行裂項求和，即可得到本題結(jié)論解答：解：（1）令n=1得：，即（S1+3）（S12）=0S10，S1=2，即a1=2（2）由得：an0（nN*），Sn0當(dāng)n2時，又a1=2=2×1，（3）由（2）可知=，nN*，=（），當(dāng)n=1時，顯然有=；當(dāng)n2時，+=所以，對一切正整數(shù)n，有點評：本題考查了數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、裂項求和法，還用到了放縮法，計算量較大，有一定的思維難度，屬于難題5（2013廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Sn=an+124n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列（1）證明：a2=；（2）求數(shù)列an的通項

16、公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）對于，令n=1即可證明；（2）利用，且，（n2），兩式相減即可求出通項公式（3）由（2）可得=利用“裂項求和”即可證明解答：解：（1）當(dāng)n=1時，（2）當(dāng)n2時，滿足，且，an0，an+1=an+2，當(dāng)n2時，an是公差d=2的等差數(shù)列a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，解得a2=3，由（1）可知，a1=1a2a1=31=2，an是首項a1=1，公差d=2的等差數(shù)列數(shù)列an的通項公式an=2n1（3）由（2）可得式=點評：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂

17、項求和”、通項與前n項和的關(guān)系an=SnSn1（n2）是解題的關(guān)鍵6（2012廣東）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+12n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）在2Sn=an+12n+1+1中，令分別令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，從而可求得a1；（2）由2Sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，an+1=3an

18、+2n，由可知an+2n為首項是3，3為公比的等比數(shù)列，從而可求an；（3）（法一），由an=3n2n=（32）（3n1+3n2×2+3n3×22+2n1）3n1可得，累加后利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論；（法二）由an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an可得，于是當(dāng)n2時，累乘得：，從而可證得+解答：解：（1）在2Sn=an+12n+1+1中，令n=1得：2S1=a222+1，令n=2得：2S2=a323+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13又2（a2+5）=a1+a3解得a1=1（2）由2Sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1

19、+2n+1，又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n對nN*成立an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，an=3n2n；（3）（法一）an=3n2n=（32）（3n1+3n2×2+3n3×22+2n1）3n1，+1+=；（法二）an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an，當(dāng)n2時，累乘得：，+1+×+×點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列遞推式，著重考查等比數(shù)列的求和，著重考查放縮法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，運算量大，屬于難題7（2015重慶）在數(shù)列an中，a1=

20、3，an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若=0，=2，求數(shù)列an的通項公式；（）若=（k0N+，k02），=1，證明：2+2+考點：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用分析：（）把=0，=2代入數(shù)列遞推式，得到（ nN+），分析an0后可得an+1=2an（nN+），即an是一個公比q=2的等比數(shù)列從而可得數(shù)列的通項公式；（）把代入數(shù)列遞推式，整理后可得（nN）進(jìn)一步得到=，對n=1，2，k0求和后放縮可得不等式左邊，結(jié)合，進(jìn)一步利用放縮法證明不等式右邊解答：（）解：由=0，=2，有 （ nN+）若存在某個n0N+，使得，則由上述遞

21、推公式易得，重復(fù)上述過程可得a1=0，此與a1=3矛盾，對任意nN+，an0從而an+1=2an（nN+），即an是一個公比q=2的等比數(shù)列故（）證明：由，數(shù)列an的遞推關(guān)系式變?yōu)?，變形為：（nN）由上式及a1=30，歸納可得3=a1a2anan+10=，對n=1，2，k0求和得：=另一方面，由上已證的不等式知，得=2+綜上，2+2+點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式屬難度較大的題目8（2014天津）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）當(dāng)q=2，n=3時，用

22、列舉法表示集合A；（）設(shè)s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n證明：若anbn，則st考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（）當(dāng)q=2，n=3時，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3即可得到集合A（）由于ai，biM，i=1，2，nanbn，可得anbn1由題意可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出解答：（）解：當(dāng)q=2，n=3時，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3可得A=0，1，

23、2，3，4，5，6，7（）證明：由設(shè)s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，nanbn，anbn1可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1=0st點評：本題考查了考查了集合的運算及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題9（2012重慶）設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求證：an是首項為1的等比數(shù)列；（）若a21，求證，并給出等號成立的充要條件考點：數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的前n項和；等比關(guān)系的確定；數(shù)列與

24、函數(shù)的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（）根據(jù)Sn+1=a2Sn+a1，再寫一式，兩式相減，即可證得an是首項為1的等比數(shù)列；（）當(dāng)n=1或2時，等號成立，設(shè)n3，a21，且a20，由（I）知a1=1，所以要證的不等式可化為（n3），即證（n2），a2=1時，等號成立；再證明a21且a21時，（）（）0，即可證得結(jié)論解答：證明：（）Sn+1=a2Sn+a1，Sn+2=a2Sn+1+a1，可得：an+2=a2an+1a20，Sn+1=a2Sn+a1，S2=a2S1+a1，a2=a2a1a20，a1=1an是首項為1的等比數(shù)列；（）當(dāng)n=1或2時，等號成立設(shè)n3，a21，且a20，由（

25、）知a1=1，所以要證的不等式可化為（n3）即證（n2）a2=1時，等號成立當(dāng)1a21時，與同為負(fù)；當(dāng)a21時，與同為正；a21且a21時，（）（）0，即上面不等式n分別取1，2，n累加可得綜上，等號成立的充要條件是n=1或2或a2=1點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，考查疊加法的運用，需要一定的基本功，屬于中檔題10（2013秋梁子湖區(qū)校級月考）已知函數(shù)（I）若x0時，f（x）0，求的最小值；（II）設(shè)數(shù)列an的通項an=1+考點：數(shù)列與不等式的綜合；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（I）由于

26、已知函數(shù)的最大值是0，故可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性，確定出函數(shù)的最大值，利用最大值小于等于0求出參數(shù)的取值范圍，即可求得其最小值；（II）根據(jù)（I）的證明，可取=，由于x0時，f（x）0得出，考察發(fā)現(xiàn)，若取x=，則可得出，以此為依據(jù)，利用放縮法，即可得到結(jié)論解答：解：（I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使x0時，f（x）0恒成立，則f（x）在（0，+）上必為減函數(shù)，即在（0，+）上f（x）0恒成立，當(dāng)0時，f（x）0在（0，+）上恒成立，為增函數(shù)，故不合題意，若0時，由f（x）0解得x，則當(dāng)0x，f（x）0，所以當(dāng)0x時，f（x）0，此時不合題意，若，則當(dāng)x0時，f（x

27、）0恒成立，此時f（x）在（0，+）上必為減函數(shù)，所以當(dāng)x0時，f（x）0恒成立，綜上，符合題意的的取值范圍是，即的最小值為（ II）令=，由（I）知，當(dāng)x0時，f（x）0，即取x=，則于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以點評：本題考查了數(shù)列中證明不等式的方法及導(dǎo)數(shù)求最值的普通方法，解題的關(guān)鍵是充分利用已有的結(jié)論再結(jié)合放縮法，本題考查了推理判斷的能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想，有一定的難度11（2011廣東）設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1=b，an=（n2）（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，an+1考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分

28、析：（1）首先要根據(jù)條件變形遞推公式得：，然后通過換元的方法分析得數(shù)列是等比數(shù)列，其中從而可以求得數(shù)列bn的通項公式，進(jìn)而即可求得數(shù)列an的通項公式；（2）首先要利用基本不等式獲得b2n+b2n12+bn+12n1+bn12n+1+b22n1+22nn2n+1bn，然后對數(shù)列an的通項公式變形然后利用所獲得的不等式放縮化簡即可獲得問題的解答解答：解：（1）由題意知：，設(shè)，則設(shè)，則，當(dāng)b=2時，為首項是，公差是的等差數(shù)列an=2當(dāng)b2時，令，是等比數(shù)列，又，綜上可知：當(dāng)b=2時，an=2當(dāng)b2時，（2）當(dāng)b=2時，由（1）知命題顯然成立；當(dāng)b2時，將以上n個式子相加得：b2n+b2n12+bn+

29、12n1+bn12n+1+b22n1+22nn2n+1bn=綜上可知：點評：本題考查的是數(shù)列的遞推公式問題在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、換元的思想、基本不等式的利用以及放縮法值得同學(xué)們體會和反思12（2011天津）已知數(shù)列an與bn滿足bn+1an+bnan+1=（2）n+1，bn=，nN*，且a1=2（）求a2，a3的值（）設(shè)cn=a2n+1a2n1，nN*，證明cn是等比數(shù)列（）設(shè)Sn為an的前n項和，證明+n（nN*）考點：數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）推出bn的表達(dá)式，分別當(dāng)n=1時，求出a2=；當(dāng)n=2時，解出a3=8；（）

30、設(shè)cn=a2n+1a2n1，nN*，利用等比數(shù)列的定義，證明cn是等比數(shù)列；（）求出S2n，a2n，S2n1，a2n1，求出+的表達(dá)式，然后求出+的表達(dá)式，利用放縮法證明結(jié)果解答：（）解：由bn=，（nN*）可得bn=又bn+1an+bnan+1=（2）n+1，當(dāng)n=1時，a1+2a2=1，可得由a1=2，a2=；當(dāng)n=2時，2a2+a3=5可得a3=8；（）證明：對任意nN*，a2n1+2a2n=22n1+12a2n+a2n+1=22n+1，得a2n+1a2n1=3×22n1，即：cn=3×22n1，于是所以cn是等比數(shù)列（）證明：a1=2，由（）知，當(dāng)kN*且k2時，a

31、2k1=a1+（a3a1）+（a5a3）+（a7a5）+（a2k1a2k3）=2+3（2+23+25+22k3）=2+3×=22k1，故對任意的kN*，a2k1=22k1由得22k1+2a2k=22k1+1，所以kN*，因此，于是，故=所以，對任意的nN*，+=（+）+（+）=nn=n（nN*）點評：本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查計算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力以及分類討論思想13（2011重慶）設(shè)實數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（nN*）（）若a1，S2，2a2成等比數(shù)列，求S2和a3（）求證：對k3有0ak考點：數(shù)列與不

32、等式的綜合；數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（）由題意，得S22=2S2，由S2是等比中項知S2=2，由此能求出S2和a3（）由題設(shè)條件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn1，an+11，且，由此能夠證明對k3有0an1解答：解：（）由題意，得S22=2S2，由S2是等比中項知S20，S2=2由S2+a3=a3S2，解得（）證明：因為Sn+1=a1+a2+a3+an+an+1=an+1+Sn，由題設(shè)條件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn1，an+11，且，從而對k3 有ak=因，且，要證，由，只要證即證，即，此式明顯成立，因此點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題

33、，仔細(xì)解答，注意公式的合理運用14（2011湖南）已知函數(shù)f（x）=x3，g （x）=x+（）求函數(shù)h （x）=f（x）g （x）的零點個數(shù)并說明理由；（）設(shè)數(shù)列 an（nN*）滿足a1=a（a0），f（an+1）=g（an），證明：存在常數(shù)M，使得對于任意的nN*，都有anM考點：數(shù)列與不等式的綜合；根的存在性及根的個數(shù)判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（）由h（x）=知，x0，+），而h（0）=0，且h（1）=10，h（2）=6，再研究函數(shù)在（0，+）上的單調(diào)性，以確定零點個數(shù)即可（）記h（x）的正零點為x0，即，當(dāng)ax0時，由a1=a，即a1x0，而，a2x0由此猜測anx0當(dāng)

34、ax0時，由（）知，當(dāng)x（x1，+）時，h（x）單調(diào)遞增，h（a）h（x0）=0，從而a2a，由此猜測ana然后用數(shù)學(xué)歸納法證明解答：解：（）由h（x）=知，x0，+），而h（0）=0，且h（1）=10，h（2）=6，則x=0為h（x）的一個零點，且h（x）在（1，2）內(nèi)有零點，h（x）至少有兩個零點由h（x）=，記，則，當(dāng)x（0，+）時，g（x）單調(diào)遞增，故可判斷出h（x）在（0，+）僅有一個零點，綜上所述，h（x）有且只有兩個零點（）記h（x）的正零點為x0，即，（1）當(dāng)ax0時，由a1=a，即a1x0，而，a2x0由此猜測anx0下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，a1x0，成立假設(shè)當(dāng)n=

35、k時akx0成立，則當(dāng)n=k+1時，由，知ak+1x0因此當(dāng)n=k+1時，ak+1x0成立故對任意的nN*，anx0成立（2）當(dāng)ax0時，由（）知，當(dāng)x（x0，+）時，h（x）單調(diào)遞增，h（a）h（x0）=0，從而a2a，由此猜測ana下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，a1a，成立假設(shè)當(dāng)n=k時aka成立，則當(dāng)n=k+1時，由，知ak+1a因此當(dāng)n=k+1時，ak+1a成立故對任意的nN*，ana成立綜上所述，存在常數(shù)M，使得對于任意的nN*，都有anM點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和運用，解題時要注意不等式性質(zhì)的合理運用和數(shù)學(xué)歸納法的證明過程15（2011浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項a

36、1（a1R），且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）對nN*，試比較與的大小考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）由，成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公式列出關(guān)于首項和公差的方程，根據(jù)公差d不為0，解得公差d與首項相等，然后根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式即可；（）設(shè)Tn=與根據(jù)（）中求得的通項公式表示出，然后利用等比數(shù)列的前n項和的公式求出Tn，即可比較出兩者的大小關(guān)系解答：解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可知=×，即（a1+d）2=a1（a1+3d），從而a1d=d2，因為d0，所以d=a1

37、，故an=nd=na1；（）記Tn=+，由an=na1，得=2na1，則Tn=+=（）=（1），Tn=（1）=（），從而，當(dāng)a10時，Tn；當(dāng)a10時，Tn點評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，利用運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題16（2011浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項a1為a（aR）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式及Sn；（）記An=+，Bn=+，當(dāng)n2時，試比較An與Bn的大小考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（）設(shè)出等差數(shù)列的公

38、差，利用等比中項的性質(zhì)，建立等式求得d，則數(shù)列的通項公式和前n項的和可得（）利用（）的an和Sn，代入不等式，利用裂項法和等比數(shù)列的求和公式整理An與Bn，最后對a0和a0兩種情況分情況進(jìn)行比較解答：解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由（）2=，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因為d0，所以d=a1=a所以an=na，Sn=（）解：=（）An=+=（1）=2n1a，所以=為等比數(shù)列，公比為，Bn=+=（1）當(dāng)n2時，2n=Cn0+Cn1+Cnnn+1，即11所以，當(dāng)a0時，AnBn；當(dāng)a0時，AnBn點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)涉及了等差數(shù)列的通項公式，求和公式以及數(shù)列的求和的方法

39、，綜合考查了基礎(chǔ)知識的運用17（2009江西）各項均為正數(shù)的數(shù)列an，a1=a，a2=b，且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q都有（1）當(dāng)時，求通項an；（2）證明：對任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)n，都有考點：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（1）由，令m=1，p=2，q=n1，并將代入化簡，可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項；（2）記為bm+n，則，考察函數(shù) ，則在定義域上有，從而對nN*，bn+1g（a）恒成立，結(jié)合，即可得證解答：（1）解：由得將代入化簡得所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比

40、數(shù)列，從而，即（2）證明：由題設(shè)的值僅與m+n有關(guān)，記為bm+n，則考察函數(shù) ，則在定義域上有故對nN*，bn+1g（a）恒成立又 ，注意到，解上式得，取，即有點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查賦值法的運用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大18（2008安徽）設(shè)數(shù)列an滿足a1=0，an+1=can3+1c，nN*，其中c為實數(shù)（1）證明：an0，1對任意nN*成立的充分必要條件是c0，1；（2）設(shè)，證明：an1（3c）n1，nN*；（3）設(shè)，證明：考點：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；壓軸題分析：（1）先證明必要性：a20，1c0，1，再證明充分性：設(shè)c0，1

41、，對nN*用數(shù)學(xué)歸納法證明an0，1（2）設(shè)，當(dāng)n=1時，a1=0，結(jié)論成立當(dāng)n2時，an=can13+1c，1an=c（1an1）（1+an1+an12），所以1+an1+an123且1an10，由此能夠?qū)С鯽n1（3c）n1（nN*）（3）設(shè)，當(dāng)n=1時，結(jié)論成立當(dāng)n2時，an2（1（3c）n1）2=12（3c）n1+（3c）2（n1）12（3c）n1，所以解答：解：（1）必要性：a1=0，a2=1c，又a20，1，01c1，即c0，1充分性：設(shè)c0，1，對nN*用數(shù)學(xué)歸納法證明an0，1當(dāng)n=1時，a1=00，1假設(shè)ak0，1（k1）則ak+1=cak3+1cc+1c=1，且ak+1=c

42、ak3+1c1c=0ak+10，1，由數(shù)學(xué)歸納法知an0，1對所有nN*成立（2）設(shè)，當(dāng)n=1時，a1=0，結(jié)論成立，當(dāng)n2時，an=can13+1c，1an=c（1an1）（1+an1+an12），由（1）知an10，1，所以1+an1+an123且1an101an3c（1an1）1an3c（1an1）（3c）2（1an2）（3c）n1（1a1）=（3c）n1an1（3c）n1（nN*）（3）設(shè)，當(dāng)n=1時，結(jié)論成立當(dāng)n2時，由（2）知an1（3c）n10an2（1（3c）n1）2=12（3c）n1+（3c）2（n1）12（3c）n1a12+a22+an2=a22+an2n123c+（3c）

43、2+（3c）n1=n12×=n12×=點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地選用證明方法19（2008江西）數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a1=3，b1=1，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，b2S2=64（1）求an，bn；（2）求證考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；綜合題分析：（1）設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，an=3+（n1）d，bn=qn1，依題意有，由此可導(dǎo)出an與bn（2）Sn=3+5+（2n+1）=n（n+2），所以，然后用裂項求和法進(jìn)行求解解答：解：（1）設(shè)an的公差為d，bn的公比