山東大學衛(wèi)生統(tǒng)計學課件 第四章 總體均數(shù)的估計和假設檢驗

1、第四章 總體均數(shù)的估計和假設檢驗 學時分配：8學時掌握內容：1t分布的概念和特征2總體均數(shù)的區(qū)間估計3總體率的區(qū)間估計4假設檢驗的基本步驟5假設檢驗的基本原理6常用的數(shù)值型變量假設檢驗的方法熟悉：1、抽樣誤差的概念2、引起抽樣誤差的原因3、均數(shù)、率的標準誤的計算4、標準差和標準誤的區(qū)別了解內容：1假設檢驗中概率P與檢驗水準的關系2抽樣研究的意義3中心極限定理的內容 第一節(jié)抽樣研究與抽樣誤差一抽樣研究（一）抽樣研究的意義前面已經(jīng)講述了總體與樣本兩個統(tǒng)計學術語，人們在醫(yī)學研究中多采用由樣本信息來推論總體特征的方法，這在實際工作中是十分必要的，經(jīng)理論與實踐證明也是行之有效的。目前對某一總體

2、進行研究的最重要、最常用的方法就是抽樣研究。由于研究對象很多是無限總體，要直接研究總體的情況是不可能的。即使對有限總體來說，若包含的觀察單位數(shù)過多，需要耗費大量的人力、物力和時間，而且也不易組織，難以保證工作的質量。有的時候，觀察的實質就是一種破壞性實驗，根本就不允許對總體中的每一個體逐一觀察。如對一批注射藥劑作質量檢查，不可能將所有的藥劑瓶都打開加以檢驗，這顯然是不可能的。抽樣研究作為一種由部分認識整體的觀察方法，從古到今一直被人們自覺或不自覺地應用著，如炒菜時嘗嘗咸淡，就醫(yī)時取幾滴血作化驗等。實踐證明這是行之有效的方法。目前抽樣研究的理論與技術已發(fā)展成熟，只要嚴格按照有關抽樣研究的要求去做

3、，這是完全可行的。所以，在實際工作中人們多采用抽樣研究的方法，其目的就是要用樣本信息來推斷總體特征，這就叫統(tǒng)計推斷（statisticalinference）。（二）抽樣研究和抽樣誤差抽樣研究是指從總體中按照隨機化的原則，抽取一定數(shù)量的個體組成樣本進行研究，從而推斷總體的研究方法。在實際工作中，由于總體中各觀察對象之間存在著個體變異，且隨機抽取的樣本又只是總體中的一部分，因此計算的樣本統(tǒng)計量，不一定恰好等于相應的總體參數(shù)。這種由于個體變異的存在，在抽樣研究中產(chǎn)生的樣本統(tǒng)計量與相應的總體參數(shù)間的差異，稱為抽樣誤差（sampling error），同樣，來自同一總體的若干樣本的統(tǒng)計量之間，也會存在

4、誤差，這種誤差也反映在樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差異。當樣本是來自相應總體的隨機樣本時，抽樣誤差為隨機誤差，其誤差大小可以依據(jù)中心極限定理進行估計。中心極限定理的內容是，以數(shù)值變量資料為例，若從均數(shù)為的正態(tài)總體中以固定n反復多次（比如100次）抽樣時，所得的樣本均數(shù)的分布是正態(tài)分布；即使是從偏態(tài)總體中抽樣，只要足夠大，的分布也近似正態(tài)分布。在抽樣研究中抽樣誤差是不可避免的，根據(jù)資料的性質和指標種類的不同，抽樣誤差有多種，例如：從某地7歲男童中隨機抽取110名，測得平均身高為119.95cm，該樣本均數(shù)不一定等于該地7歲男童身高的總體均數(shù)，這種樣本均數(shù)與總體均數(shù)間的差別，稱為均數(shù)的抽樣誤差。某縣為

5、血吸蟲病流行區(qū)，從該縣人群中隨機抽取400人，測得的血吸蟲感染人數(shù)為60人，感染率為15%，該樣本率不一定等于該地人群的總體感染率。此為樣本率與總體率之間的差別，稱為率的抽樣誤差。此外，樣本方差和相應的總體方差也存在抽樣誤差，后面介紹的相關系數(shù)和回歸系數(shù)也有抽樣誤差的問題。 二均數(shù)的抽樣誤差在抽樣研究中，若從同一總體中隨機抽取樣本含量相同的若干個樣本，并計算出某種樣本統(tǒng)計量（如樣本均數(shù)），由于生物間的個體變異是客觀存在的，抽樣誤差是不可避免的，這些樣本統(tǒng)計量之間具有離散趨勢。數(shù)理統(tǒng)計研究表明，抽樣誤差具有一定的規(guī)律性，可以用特定的指標來描述。這個指標稱為標準誤（standarderror），標

6、準誤除了反映樣本統(tǒng)計量之間的離散程度外，也反映樣本統(tǒng)計量與相應總體參數(shù)之間的差異，即抽樣誤差大小。本章主要介紹最常用的均數(shù)標準誤以及率的標準誤。（一）均數(shù)標準誤的意義將來自同一總體的若干個樣本均數(shù)看成一組新的觀察值，研究其頻數(shù)分布，包括集中趨勢和離散趨勢，可計算樣本均數(shù)的均數(shù)和標準差。例3.1假定某市16歲女中學生的身高分布服從均數(shù)（）為155.4cm，標準差（）為5.3cm的正態(tài)分布?，F(xiàn)用電子計算機作抽樣模擬試驗，每次隨機抽出10個觀察值（即樣本含量n=10），共抽取100個樣本，求得100個樣本均數(shù)并編制成頻數(shù)分布表如表4.1。表4.1100個樣本均數(shù)的頻數(shù)分布（=155.4cm，=5.3

7、cm）組段（cm）頻數(shù)1511152615315154191552715616157815851593合計100從表4.1中可以發(fā)現(xiàn)，當原始觀察值的分布為正態(tài)分布時，這些樣本均數(shù)的頻數(shù)分布基本服從正態(tài)分布。統(tǒng)計理論證明，若原始觀察值的分布為偏態(tài)分布，當樣本含量n足夠大時，其樣本均數(shù)的分布仍近似服從正態(tài)分布。所以，可以求得樣本均數(shù)的均數(shù)為155.38cm，與總體均數(shù)155.4cm接近。中心極限定理表明，樣本均數(shù)的均數(shù)等于原總體的總體均數(shù)（）。同樣，也可以求得樣本均數(shù)的標準差為，為了與描述觀察值離散程度的標準差相區(qū)別，用均數(shù)標準誤來表示樣本均數(shù)的標準差。均數(shù)標準誤反映來自同一總體的樣本均數(shù)的離散程

8、度以及樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差異程度，也是說明均數(shù)抽樣誤差大小的指標。均數(shù)標準誤大，說明各樣本均數(shù)的離散程度大，抽樣誤差就大。反之亦然。（二）均數(shù)標準誤的計算數(shù)理統(tǒng)計可以證明，均數(shù)標準誤的計算公式為：（4.1）式中為均數(shù)標準誤的理論值，為總體標準差，n為樣本含量。已知時，可按式（4.1）求得均數(shù)標準誤的理論值。上述例子中=155.4cm，n=10，可得：=計算結果與樣本均數(shù)的標準差1.71cm相近。由于在抽樣研究中常屬未知，通常用一個樣本的標準差（s）來估計，所以，在實際工作中，常用式（4.2）計算均數(shù)標準誤的估計值（）（4.2）由式（4.1）或（4.2）可見，當n一定時，均數(shù)標準誤與標準差成正

9、比。標準差越大，均數(shù)標準誤越大，即觀察值的離散程度越高，均數(shù)的抽樣誤差越大。當標準差一定時，均數(shù)標準誤和成反比。樣本含量越大，均數(shù)的抽樣誤差越小。因此，在實際工作中，可通過適當增加樣本含量和減少觀察值的離散程度（如選擇同質性較好的總體）來減少抽樣誤差。（三）均數(shù)標準誤的用途：1衡量樣本均數(shù)的可靠性由于均數(shù)標準誤越小，均數(shù)的抽樣誤差越小，樣本均數(shù)就越可靠。2估計總體均數(shù)的可信區(qū)間。3用于均數(shù)的假設檢驗。  第二節(jié) t分布 一t分布(t-distribution)（一）u分布在前一章中，我們已經(jīng)講述了正態(tài)分布（normal distribution）是數(shù)理統(tǒng)計中的一種重要的理論

10、分布，是許多統(tǒng)計方法的理論基礎。正態(tài)分布有兩個參數(shù)，和，決定了正態(tài)分布的位置和形態(tài)。為了應用方便，常將一般的正態(tài)變量X通過u變換轉化成標準正態(tài)變量u，以使原來各種形態(tài)的正態(tài)分布都轉換為=0，=1的標準正態(tài)分布（standard normal distribution）,亦稱u分布。根據(jù)中心極限定理，通過上述的抽樣模擬試驗表明，在正態(tài)分布總體中以固定n（本次試驗n=10）抽取若干個樣本時，樣本均數(shù)的分布仍服從正態(tài)分布，即N（，）。所以，對樣本均數(shù)的分布進行u變換，也可變換為標準正態(tài)分布N (0,1)（二）t分布由于在實際工作中，往往是未知的，常用s作為的估計值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換t=，

11、統(tǒng)計量t 值的分布稱為t分布。t分布有如下特征：1以0為中心，左右對稱的單峰分布；2t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n（確切地說與自由度）大小有關。自由度越小，t分布曲線越低平；自由度越大，t分布曲線越接近標準正態(tài)分布（u分布）曲線，如圖4.1。t=圖4.1自由度為1、5、的t分布對應于每一個自由度，就有一條t分布曲線，每條曲線都有其曲線下統(tǒng)計量t的分布規(guī)律，計算較復雜。因此，統(tǒng)計學家上根據(jù)自由度的大小與t分布曲線下面積的關系，編制了附表2，t界值表，以便于應用。表中的橫標目為自由度，縱標目為概率P，表中數(shù)字表示自由度為某值時，P為某值時，t的界值。因t分布是以0為中心的對稱分布，故附表中只列出

12、正值，如果算出的t值為負值，可以用絕對值查表。t分布曲線下面積為95%或99%的界值不是一個常量，而是隨著自由度大小而變化的，分別用和表示。第三節(jié) 總體均數(shù)的估計 統(tǒng)計推斷包括兩個重要的方面：參數(shù)估計和假設檢驗。假設檢驗在后面的章節(jié)中討論，這里先討論參數(shù)估計。參數(shù)估計就是用樣本指標（稱為統(tǒng)計量，statistic）來估計總體指標（參數(shù)，parameter）。參數(shù)估計有兩種方法：（一）點估計（point estimation）如在服從正態(tài)分布的總體中隨機抽取樣本，可以直接用樣本均數(shù)來估計總體均數(shù)，樣本標準差來估計總體標準差。該方法雖然簡單易行，但未考慮抽樣誤差，而抽樣誤差在抽樣研究中又

13、是客觀存在的、不可避免的，會隨不同的樣本對總體參數(shù)作出不同的點估計。（二）區(qū)間估計（interval estimation）即按一定的概率（可信度）估計未知的總體參數(shù)可能所在的范圍（或稱可信區(qū)間）的估計方法。區(qū)間估計是在隨機抽取樣本后，考慮抽樣誤差存在的情況下的估計方法，較為準確可靠。統(tǒng)計學上通常用95%（或99%）可信區(qū)間表示總體參數(shù)有95%（或99%）的概率在某一范圍，可根據(jù)資料的條件選用不同的方法。下面以總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為例，介紹其計算公式。已知時按正態(tài)分布原理計算，未知時按t分布的原理計算。1已知時由u分布可知，正態(tài)曲線下有95%的u值在±1.96之間，即：P（-1.

14、96u+1.96）=0.95P（-1.96+1.96）=0.95移項后整理得，故總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為（）（4.5）2未知，但n足夠大（如n>100）時由t分布可知，當自由度越大，t分布越逼近u分布，此時t曲線下有95%的t值在±1.96之間，即：P（-1.96t+1.96）=0.95P（-1.96+1.96）=0.95 P（）=0.95故總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為（，）（4.6）3未知且n小時某自由度的t曲線下有95%的t值在±之間，即：故總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為（，）（4.7）例3.3對某人群隨機抽取20人，用某批號的結核菌素作皮試，平均浸潤直徑為10.9c

15、m，標準差為3.86cm。問這批結核菌素在該人群中使用時，皮試的平均浸潤直徑的95%可信區(qū)間是多少？該例n=20, n較小，按公式（4.7）計算。=20-1=19，查t界值表，得=2.093估計這批結核菌素在該人群中使用，皮試的平均浸潤直徑的95%可信區(qū)間為（10.9-2.093*3.86/，10.9+2.093*3.86/）cm即(9.1，12.7)cm。（三）可信區(qū)間的注意問題1可信區(qū)間的涵義意思是從總體中作隨機抽樣，每個樣本可以算得一個可信區(qū)間。如95%可信區(qū)間意味著做100次抽樣，算得100個可信區(qū)間，平均有95個估計正確，估計錯誤的只有5次。5%是小概率事件，實際發(fā)生的可能性很小，當

16、然這種估計方法會有5%犯錯誤的風險。2可信區(qū)間的兩個要素:一是準確度，反映在可信度的大小，即區(qū)間包含總體均數(shù)的概率的大小，愈接近1愈好。二是精密度，反映在區(qū)間的長度，長度愈小愈好。在樣本含量確定的情況下，二者是矛盾的，若只管提高可信度，會把區(qū)間變得很長，故不宜認為99%可信區(qū)間比95%可信區(qū)間好，需要兼顧準確度和精密度，一般來說95%可信區(qū)間更為常用，在可信度確定的情況下，增加樣本含量，可減少區(qū)間長度，提高精密度。（王淑康）第四節(jié) 假設檢驗的基本步驟 一、假設檢驗的基本思想在抽樣研究中，由于樣本所來自的總體其參數(shù)是未知的，只能根據(jù)樣本統(tǒng)計量對其所來自總體的參數(shù)進行估計，如果要比較兩個

17、或幾個總體的參數(shù)是否相同，也只能分別從這些總體中抽取樣本，根據(jù)這些樣本的統(tǒng)計量作出統(tǒng)計推斷，籍此比較總體參數(shù)是否相同。由于存在抽樣誤差，總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量并不恰好相同，因此判斷兩個或多個總體參數(shù)是否相同是一件很困難的事情。如醫(yī)生在某山區(qū)隨機測量了25名健康成年男子的脈搏，平均次數(shù)為74.2次分鐘，標準差為5.2次分鐘，但是根據(jù)醫(yī)學常識，一般男子的平均脈搏次數(shù)為72次分鐘，問該山區(qū)男子脈搏數(shù)與一般男子是否不同？要回答這個看似簡單的問題并非易事。這個問題難以從正面直接回答，可以先假定該山區(qū)所有男子脈搏數(shù)數(shù)值組成一個總體，其總體均數(shù)和標準差均為未知數(shù)，不妨分別以、表示。如果我們假設該山區(qū)男子的脈搏

18、數(shù)與一般地區(qū)的男子相同，即屬于同一總體，72，所測量的25名男子的平均脈搏數(shù)（樣本均數(shù)）之所以不恰好等于72次分，是由于抽樣誤差所致。如果上述假設成立，則理論上講，樣本均數(shù)很可能在總體均數(shù)（72）的附近，樣本均數(shù)遠離總體均數(shù)的可能性很小。如果將樣本均數(shù)變換為值，則值很可能在0的附近，值遠離0的可能性很小。如果值很小上述假設可能不正確，可拒絕上述假設。假設檢驗包括單側檢驗和雙側檢驗兩種情況，當根據(jù)專業(yè)知識已知兩總體的參數(shù)中甲肯定不會小于乙，或甲肯定不會大于乙時，可考慮用單側檢驗，否則，宜用雙側檢驗。假設檢驗中的如何下檢驗結論(以檢驗為例)：1、單側檢驗：如計算統(tǒng)計量為正值拒絕，接受不拒絕如計算統(tǒng)

19、計量為負值拒絕，接受不拒絕2、雙側檢驗：拒絕，接受不拒絕二、假設檢驗的一般步驟假設檢驗一般分為三步：1、建立假設，確定檢驗水準。一般假設檢驗中的檢驗假設（或稱為零假設、無效假設），假設樣本來自同一總體，即其總體參數(shù)相等。往往建立兩個假設，除建立檢驗假設外，還建立備擇假設，作為拒絕檢驗假設時的備選假設，檢驗水準為拒絕檢驗假設是犯第一類錯誤的概率。2、為選擇檢驗方法，并計算統(tǒng)計量。的類型不同、變量的分布類型不同、研究目的不同，都決定著選擇何種檢驗方法。因此需選擇合適的檢驗方法，并計算統(tǒng)計量。3、為根據(jù)統(tǒng)計量確定值，做出統(tǒng)計推斷。根據(jù)計算的統(tǒng)計量，查閱相應的統(tǒng)計表，確定值，以值與檢驗水準比較，若，則

20、拒絕，接受；若，則不拒絕。第五節(jié) 樣本與總體比較的假設檢驗 本章第一節(jié)中，在某山區(qū)隨機測量25名男子的脈搏數(shù)得一樣本均數(shù)，而一般男子的脈搏數(shù)為可視為一般地區(qū)男子的總體均數(shù)。假設該山區(qū)男子的脈搏數(shù)與一般地區(qū)相同，即于一般地區(qū)的男子屬于同一總體，并將該樣本均數(shù)轉化為值（式1）（式2）式中為樣本均數(shù)；為已知總體的均數(shù)；為樣本標準差；為樣本含量。如果樣本含量足夠大時，可將樣本均數(shù)轉化為值（式3）例1以上述資料為例，比較某山區(qū)男子的脈搏數(shù)與一般地區(qū)的男子是否相同。假設檢驗的過程如下：1、建立假設，確定檢驗水準。：該山區(qū)男子脈搏數(shù)與一般地區(qū)男子相等，即：該山區(qū)男子脈搏數(shù)與一般地區(qū)男子不等，即2、

21、選擇檢驗方法計算統(tǒng)計量自由度3、查界值表，確定值，以查界值表得，本例的統(tǒng)計量值為2.115，大于界值，因此，按水準，拒絕，接受，可認為該山區(qū)男子的脈搏數(shù)與一般地區(qū)的男子不同。本例中值的確切值為如果本例用單側檢驗，其與雙側檢驗相同，但有不同，根據(jù)專業(yè)知識知道，山區(qū)男子的脈搏數(shù)不會低于一般地區(qū)，因此為：該山區(qū)男子脈搏數(shù)高與一般地區(qū)男子，即，所得的值為：。 第六節(jié) 配對設計（paired design）資料的假設檢驗 配對設計是為了控制某些非處理因素對實驗結果的影響。將那些因素相同或相近的受試對象配成對子，使得同一對子中的受試對象除處理因素不同外，其他因素相同或相近，同一對子中的

22、兩受試對象分別接受不同的處理，其實驗結果的差異可以簡單的認為是“純”處理因素的作用。對于配對資料可以分析其差值。對配對資料的分析，一般用配對檢驗（paired t-test），其檢驗假設為：差值的總體均數(shù)為零。計算統(tǒng)計量的公式為（式4）（式5）式中為差值的均數(shù)；為差值的標準差；為對子數(shù)。例1將大白鼠按照同窩、同性別和體重接近的的原則配成8對，每對中兩只大白鼠隨機確定一只進食正常飼料，另一只進食缺乏維生素E飼料，一段時間以后，測量兩組大白鼠的肝中維生素的A的含量如表1，問食物中維生素E的缺乏能否影響大白鼠肝中維生素A的含量？表1兩種飼料喂養(yǎng)大白鼠肝中維生素A的含量對子號（1）正常飼料（2）缺乏維生素E飼料（3）差值（4）（5）13350245011001210000220002400-400160000330001800120014400004395032007505625005380032505503025006375027001050110250073450250095090250083050175013001690000合計65007370000計算得：兩種飼料喂養(yǎng)的大白鼠肝中維生素含量相等，即：兩種飼料喂養(yǎng)的大白鼠肝中維生素含量不等，即查表知，按水準，拒絕，接受，可認為兩組大白鼠肝中維生素A的含量不等，維生素E缺乏飼料組的大白鼠肝中維生素A含量低。 第七節(jié) 兩