天然腸衣搭配的數(shù)學(xué)模型

1、2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： D 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?湖南科技職業(yè)學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：天然腸衣搭配的數(shù)學(xué)模型摘 要一問(wèn)題重述表示沒有上限，但實(shí)際長(zhǎng)度小于26米。表1 成品規(guī)格表最短長(zhǎng)度最大長(zhǎng)度根數(shù)總長(zhǎng)度36.52089713.5

3、88914589為了提高生產(chǎn)效率，公司計(jì)劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個(gè)原料表。表2為某批次原料描述。表2 原料描述表長(zhǎng)度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長(zhǎng)度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)2424202521232118長(zhǎng)度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長(zhǎng)度15-15.415.5

4、-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長(zhǎng)度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長(zhǎng)度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)原料搭配方案以便工人進(jìn)行生產(chǎn)。公司對(duì)搭配方案有以下具體要求：(1) 對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；(2) 對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案

5、，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好；(3) 為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根；(4) 某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7-13.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格；(5) 為了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。請(qǐng)建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，給出求解方法，并對(duì)表1、表2給出的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，給出最佳的搭配方案。二問(wèn)題分析對(duì)于第（1）問(wèn)，要求給出成品捆數(shù)最多的原料搭配方案，客觀上要求在生產(chǎn)中做到平衡選擇原料數(shù)量。按照每組數(shù)量的多少選擇腸衣原料的數(shù)量，這樣既使得每捆之間的差別較小，所包含的不同長(zhǎng)

6、度的腸衣原料的數(shù)量也較為接近；另一方面，要做到成品捆數(shù)最多，即就是要做到浪費(fèi)要少，余下的不能做成一捆成品的剩余腸衣原料盡可能少。因此，我們將建立一系列從簡(jiǎn)入深的非線性有約束最優(yōu)化模型，從不同的優(yōu)化目標(biāo)出發(fā)，綜合考慮每種原料數(shù)量對(duì)成品捆數(shù)的影響，得出合理的結(jié)論，并給出具體的制造成品的加工方案。對(duì)于第（2）問(wèn)，我們需要比較相同的捆數(shù)的加工方案的優(yōu)劣，具體的標(biāo)準(zhǔn)是最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案就越好。因此，只需要把第一問(wèn)中的最優(yōu)化模型的各種結(jié)果中的最短長(zhǎng)度的腸衣原料的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，比較其數(shù)量關(guān)系就可以立即得出相同成品捆數(shù)的加工方案中具體哪種最好。對(duì)于第（3）問(wèn)，我們需要重新修改第一問(wèn)模型的條件，將標(biāo)準(zhǔn)

7、的根數(shù)限制修改為當(dāng)前要求再重新計(jì)算，然后比較修改約束條件后的第一問(wèn)的非線性有約束最優(yōu)化模型和之前的模型的結(jié)果：第一方面，比較剩余的原料是不是減少了，即提高了原料的使用率，第二方面，比較成品的捆數(shù)是不是增加了，即提高了產(chǎn)量。對(duì)于第（4）問(wèn)，降級(jí)使用長(zhǎng)度較長(zhǎng)的腸衣原料，可以有效地提高原料的使用率。但是有一點(diǎn)值得注意，按照模型和實(shí)際的要求，長(zhǎng)度在7米以下的腸衣實(shí)際上沒有了降級(jí)使用的可能。我們需要重點(diǎn)考慮的是有限使用相對(duì)較低長(zhǎng)度的腸衣原料。因此長(zhǎng)度越長(zhǎng)，即使剩下了，降級(jí)使用的選擇空間和使用方式仍然較大。三模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明3.1. 模型假設(shè)（1）假設(shè)腸衣原料完好無(wú)損，無(wú)偽劣破爛導(dǎo)致不能使用的現(xiàn)象；（2）假設(shè)加工過(guò)程切割，打捆沒有造成腸衣長(zhǎng)度的損失；（3）假設(shè)原料測(cè)量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無(wú)誤；（4）假設(shè)加工過(guò)程符合生產(chǎn)要求，半小時(shí)內(nèi)可以產(chǎn)生加工方案；（5）假設(shè)所有腸衣性質(zhì)相同，不影響降級(jí)使用。3.2. 符號(hào)說(shuō)明四模型的建立與求解4.1 問(wèn)題一的模型建立和求解模型1無(wú)約束非線性優(yōu)化模型4.1.1模型分析 對(duì)于問(wèn)題一，我們將按照成品規(guī)格分為三種規(guī)格，分別在對(duì)于給定的原料中，求出裝出的成品捆數(shù)最多。在3米到6.5米之間設(shè)為第一種成品，并求出其分配的最佳解；在7米到13.5米之間