Diracδ函數(shù)及其性質(zhì)PPT課件

1、2021/3/91一、 Dirac 函數(shù)函數(shù) v1Dirac函數(shù)的定義函數(shù)的定義 v2Dirac函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示序列極限來表示 v3Dirac 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) v4復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的Dirac函數(shù)函數(shù)h(x) v5二維二維Dirac函數(shù)函數(shù) 2021/3/92MMQQI激光脈沖及其它小光源2021/3/93 早在一個多世紀前，物理學(xué)家就感到有必要引入一個數(shù)學(xué)符號來描述一類物理量，當時用于描述這種物理量的數(shù)學(xué)符號被稱之為沖擊脈沖符號。1947年，英國物理學(xué)家P.A.M.Dirac在他的著作Principle of Quantum Me

2、chanics中正式引入(x)，并稱它為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。 (x)函數(shù)之所以被稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)或廣義函數(shù)廣義函數(shù)，原因在于：一、它不象普通函數(shù)那樣存在確定的函數(shù)值，而是一種極限狀態(tài)，而且它的極限也和普通函數(shù)不同，不是收斂到定值，而是收斂到無窮大；二、函數(shù)不象普通函數(shù)那樣進行四則運算和乘冪運算，它對別的函數(shù)的作用只能通過積分來確定。 2021/3/941Dirac 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 對于自變量為一維的函數(shù)函數(shù)(x)來說，它滿足下列條件： 1)(000)(dxxxxx，(1) 這表明，(x)函數(shù)在x0點處處為零，在x=0點出現(xiàn)無窮大極值，x=0點又稱為奇異點。但是，盡管(0)趨近于無窮大

3、，對它的積分卻等于1，即對應(yīng)著函數(shù)的面積或強度等于1，所以(x)又叫做單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)。 很顯然，等式： )0()()(fdxxxf(2) 成立。f(x)是定義在區(qū)間(-，)上的連續(xù)函數(shù)。2021/3/95 在光學(xué)里，(x)函數(shù)常常用來表示位于坐標原點的具有單位光功率的點光源點光源，由于點光源所占面積趨近于零，所以在x=0點功率密度趨近于無窮大。 在(1)和(2)中變換原點，得到： )()()(000)(afdxaxxfaxaxax，(3) 其中a為任意常數(shù)。因此用(x-a)乘x的函數(shù)，并對所有x積分的過程，等效于用a代替x的過程。 *定義的另外形式：2021/3/962(x)可以用一

4、些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示 1)、歸一化的Gauss分布函數(shù)G(x)： )2exp(21)(22xxG(4) 該函數(shù)具有如下的性質(zhì)： 22)(1)(dxxGxdxxG(5) 當0時，G(x)就趨向于(x)，即： )2exp(21lim)(lim)(2200 xxGx(6) 2021/3/971)(000)(dxxxxx，(1) )()()(000)(afdxaxxfaxaxax，(3) 2021/3/98證明：由(4)式可以看出，當x=0，0時， )2exp(21lim)(lim2200 xxG而當x0，0時， 0)2exp(21lim)(lim2200 xx

5、G由公式(5)得： 1)(lim)(lim00dxxGdxxG所以由公式(6)所定義的函數(shù)滿足(x)函數(shù)的條件(1)式?？梢姎w一化的Gauss函數(shù)的序列極限可以表示(x)函數(shù)。 2021/3/992)、函數(shù) xxsinxxsinlim的極限 也滿足(x)函數(shù)的條件： xxxsinlim)(7) 其中0。 證明：當x=0時， limsinlimsinlimxxxx 當x0時，sin(x)/(x) 以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以，當時，sin0 xx0sinlimsinlimxxxx于是有： 2021/3/910當0時，查找定積分表可得到： dxxxsin所以有：1sinlims

6、inlimdxxxdxxxxxsinxxsinlim的極限 根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 滿足(x)函數(shù)的條件，可以表示Dirac (x)函數(shù)，即(7)式成立。 2021/3/9113)、函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx也滿足(x)函數(shù)的條件，即： 22sinlim)(xxx(8) 其中0。 證明：當x=0時， limsinlimsinlim222xxxx當x0時，sin(x)/(x) 以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以：當時，sin(x)/(x)00sinlimlimsinlimsinlim2222xxxxxx于是有：2021/3/912查找定積分表可得到： dxxx

7、22sin于是有： 1)()()(sinlim1sinlimsinlim222222xdxxdxxxdxxx根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx可以表示Dirac(x)函數(shù)，即式(8)成立。 22sinlim)(xxx(8) 2021/3/9134)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示Dirac (x)函數(shù)。 根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知，階躍函數(shù)step(x)也稱為Heaviside函數(shù)，也可以用H(x)表示，其定義如下： axaxaxaxH，2101)(9)函數(shù)H(x-a)對x的導(dǎo)數(shù)也滿足(x)的條件，即： )()(axHdxdx(10)2021/3/914很容易看出，當

8、xa時， 0lim0dxdHxHx而當x=a時， dxdHxHx0lim利用分步法計算積分，有： aaafxffdxxffdxxfaxHxfaxHdxaxHdxdxf)(| )()()( )()( )(| )()()()(根據(jù)以上討論，再結(jié)合式(3)可知，Heaviside函數(shù)H(x-a)對x的導(dǎo)數(shù)可以表示Dirac (x)函數(shù)，即式(10)成立。 證明：2021/3/9153Dirac函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1)、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)：函數(shù)的定義式：1)(dxx1)(0dxxx即表明了函數(shù)的積分性質(zhì)，這個積分也可稱之為函數(shù)的強度。性質(zhì)性質(zhì)2)、篩選性質(zhì)、篩選性質(zhì)：式(2)表明了函數(shù)的篩選性

9、質(zhì)。)()()(afdxaxxf則是其推論。 )0()()(fdxxxf(2) 而式(3)中的由此得出推論：2021/3/916性質(zhì)性質(zhì)3)、坐標縮放性質(zhì)、坐標縮放性質(zhì)，設(shè)a為常數(shù)，且不為零，則有： )0(|)()(aaxax推論1： (-x)=(x) 說明函數(shù)具有偶對稱性。 推論2：)0)(|)(axaax2021/3/917性質(zhì)性質(zhì)4)、函數(shù)的乘法性質(zhì)函數(shù)的乘法性質(zhì)：如果f(x)在x0點連續(xù)，則有： )()()()(000 xfxxxxxf由此得出推論：x(x)=0和)()(xxdxdx)()()(badxbxxa2021/3/9184復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的函數(shù)函數(shù)h(x) 設(shè)方程h

10、(x)=0有n個實數(shù)根x1，x2，xn，則在任意實根xi附近足夠小的鄰域內(nèi)有：h(x)= h(xi)( x-xi)其中h(xi)是h(x)在x=xi處的一階導(dǎo)數(shù)。 如果h (xi)0，則在xi附近可以寫出：| )( |)(iixhxxh(x)=h(xi)( x-xi)=2021/3/919上式表明，h(x)是由n個脈沖構(gòu)成的脈沖系列，各個脈沖位置由方程h(x)=0的n個實根確定，各脈沖的強度則由系數(shù)| h (xi)|-1來確定。 若h (xi)在n個實根處皆不為零，則有： niiixhxxxh1| )( |)()(h (xi)0 )0)()(21)(22aaxaxaax)()(|1)(babx

11、axbabxax)()(|2xxxnnxx)(1)sin(推論：2021/3/9205二維函數(shù)二維函數(shù)函數(shù)函數(shù) *1、直角坐標系的情況二維函數(shù)表示為(x, y)，它是位于xy平面坐標原點處的一個單位脈沖。二維函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有：(x, y)= (x)(y)二維函數(shù)的性質(zhì)以及其證明過程與一維函數(shù)的情形相同。*2、極坐標系的情況(x，y) (r，) ，必須要保證：1)、脈沖位置相同；2)、二者強度(即曲面下體積)相同。只有這樣，坐標變換才是等價的。2021/3/921直角坐標系(x，y) 極坐標系(r，) (x，y) (r) (x-x0，y) (r-x0，) (x，y-y0) (x+x0，

12、y) (r-x0，-) (x，y+y0) (x-x0，y-y0) )2,(0 yr)23,(0 yr),(00rr幾個二維函數(shù)在兩種坐標系中的位置關(guān)系 20200yxr)arctan(000 xy表12021/3/922考慮到脈沖強度的對應(yīng)關(guān)系，下面給出兩個二維函數(shù)坐標變換的例子：顯然，(x，y)和(r)的位置相同。)(1),(rryx1),(dxdyyx1)(21)(120020 ddrrrdrdrr例1)、可見，脈沖位置和強度都相同，所以坐標變換成立。rr)(曲面下的體積為：而證明：(x，y)曲面下的體積為：2021/3/923例2)、 ),(1),(0000rrryyxx其中， 20200yxr)arct