曲線系問題探討與研究

1、曲線系問題探討與研究焦景會曲線系問題是高中數(shù)學課程中重要而又難以掌握的問題，它可分為直線系、圓系、圓錐 曲線系三類，現(xiàn)歸納分析如下，供同學們參考。一. 直線系問題1. 過兩直線交點的直線系問題假設點 Px0，y0是兩直線11:A1xB1yC0 與 l2:A2xB2yC2= 0的交點，那么過點P的直線系方程為：A1x B1y C A2x B2y C2 =0例1.直線l1 : 3x4y-10=0，l2: 4x-6y7=0, l3過h、l2的交點且過點A 4，-7，求l3的方程。解：由題意可得l3的方程為3x 4y -10亠打4x-6y 7 = 0T3過點 A 4,-73 4 4 沖 I-7 10

2、4 4 6沁7 7 I - 02解得：二蘭52因此l3的方程為3x 4 y -10 4x_6y，7 =05即 23x 8y-36 = 02. 平行直線系問題方程y二kx b，當k為定值時，表示斜率為k的平行直線系。方程 A0x B0y0A 一 、A0、B0為定值，B0 = 0表示斜率為-的平行直線系。Bo例2.直線1: 3x _2y= 0, J l且l1過點P 3,- 2，求l1的方程。解：因為1 II ，故設-的方程為3x -2y m = 0點 P 3, -2 在直線 1 上，那么 m - -3 3 2 -2 - -13即1的方程為3x -2y -13=03. 過定點直線系當k為變量時，方程

3、 y - y0 = k x - x0表示過定點P x0, y0的直線系。例3.求證：當m為任意實數(shù)時，直線 y = m2 2m 2 x -3m2 -6m1必過一定點。證明：將原方程變形為：2 2y=m 2m 2x-3m 2m 2 1亠 5即 y -5 = m2 2m 2 x -3由此可知直線過定點3，5二. 圓系問題1.過直線和圓交點或兩圓交點的圓系問題2 2過圓C: x y Dx Ey F = 0和直線: Ax By0的交點的圓系方程為：x y Dx Ey F Ax By C = 0過圓 C1: x2 y2D1x E1 y F 0 和圓C2:x2y2D2xE2yF2二 0 交點的曲線系方程為

4、： x2y2 D1x E1y Fx2y2D2x E2yF2=02 2 2 2例4.求過圓C1 : x y_4x 2y二0和圓C2: x y _2y_4=0的交點，且圓 心在直線l: 2x4y=1上的圓的方程。解：所求的圓過兩圓交點，故可表示為：2 2 2 2x y _4x 2y 亠X y2y_4 =02 2即 1 x 亠1 亠- 4x 亠2 - 2丿y - 4 - 0*圓心'，因為圓心在直線l上，代入可得：11 +九1 +九丿2 1 &2411 1 1解得：，二_3224代入*式得：x y - 3x y032.同心圓系問題229方程x-a ，y-b 二r2，當a，b為定點，r為

5、變量時，表示同心圓系。2 2例5.求與圓x y -4x，6y-3=0同心，且過點-1，1的圓的方程。解：所求圓與圓同心，可得方程x2 y2 -4x 6y m = 0又所求圓過點-1, 1，將此點坐標代入方程可得：m = -12那么所求圓的方程為：x2 y2 -4x 6y - 12 =0三. 圓錐曲線系問題1.離心率相同的圓錐曲線系問題22ab22Xy2.2ab2 x2-0表示離心率相同的橢圓系。0表示離心率相同且漸近線相同的雙曲線系。2.共焦點的圓錐曲線系2x2a kk 0表示共焦點的橢圓系。2xa2 k2yb2 -k2 2=1 且(a k)(bk 0表示共焦點的雙曲線系。2X例6.求與橢圓492盒有公共焦點，且過點0 3的橢圓方程。解：所求橢圓與橢圓有相同焦點，可設所求橢圓方程為2 2 y 149 k 24 k將點0，3坐標代入得：k二-152故所求橢圓方程為342例7.求與雙曲線162齊1共漸近線,且過點A2、3,-3的雙曲線方程。解：設與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為2X16因為A2 3，-3在所求雙曲線上，故代入可得,2 2所以1692x _1為所求曲線方程。42經(jīng)過點,-1丨的雙曲線的標準方程