橢圓濾波器的設(shè)計說明

1、第一章 摘 要本文簡單、直觀地介紹了橢圓低通濾波器的根本理論和設(shè)計思想，闡述了設(shè)計橢圓低通濾波器的具體步驟，利用MATLAB生一個包含低頻、中頻、高頻分量的連續(xù)信號，并實(shí)現(xiàn)對連續(xù)信號進(jìn)行的采樣。文中還對采樣信號進(jìn)行頻譜分析，利用設(shè)計的橢圓濾波 器對采樣信號進(jìn)行濾波處理，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析和處理。詳細(xì)介紹了在用MATLAB設(shè)計橢圓濾波器用到的工具和命令。第二章 引 言信號處理是科學(xué)研究和工程技術(shù)許多領(lǐng)域都需要進(jìn)行的一個重要環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)上對信號的處理大都采用模擬系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。隨著人們對信號處理要求的日益提高，以及模擬信號 處理中一些不可克服的缺點(diǎn)，對信號的許多處理而采用數(shù)字的方法進(jìn)行。近年來由于大 規(guī)

2、模集成電路和計算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，信號的數(shù)字處理技術(shù)得到了飛速開展。數(shù)字信號處 理系統(tǒng)無論在性能、可靠性、體積、耗電量、本錢等諸多方面都比模擬信號處理系統(tǒng)優(yōu) 越的多，使得許多以往采用模擬信號處理的系統(tǒng)越來越多地被數(shù)字處理系統(tǒng)所代替, 數(shù)字信號處理技術(shù)在通信、語音、圖像、自動控制、雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電 器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號處理中 , 數(shù)字濾波器十分重要并已獲得廣泛應(yīng)用 , 數(shù)字濾波器與模擬濾波 器比擬 , 具有精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及實(shí)現(xiàn)模擬濾波 器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能等優(yōu)點(diǎn)。在各種濾波器中 , 橢圓濾波器具有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。本次設(shè)計中

3、所用到數(shù)學(xué)軟件為 MATLAB MATLA和 Mathematica、Maple并稱為三大數(shù) 學(xué)軟件， 它是由美國 mathworks 公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、 可視化以及交互式程序設(shè) 計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng) 的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè) 計以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程 度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言如C、 Fortran 的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進(jìn)水平。第三章 橢圓濾波器的根本理論3.1橢圓濾波器的概述常用數(shù)字濾波器的類

4、型有巴特沃斯(Butterworth), 切比雪夫(Chebyshev)及橢圓型濾波器，其中橢圓濾波器(Elliptic filter )又稱考爾濾波器(Cauer filter )，是 一種性能優(yōu)越的濾波器。從傳遞函數(shù)來看，巴特沃斯和切比雪夫?yàn)V波器的傳輸函數(shù)都是 一個常數(shù)除以一個多項(xiàng)式，為全極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，僅在無限大阻帶處衰減為無限大，而橢圓函 數(shù)濾波器在有限頻率上既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)。極零點(diǎn)在通帶產(chǎn)生等波紋，阻帶的有限傳輸零點(diǎn)減少了過渡區(qū)，可獲得極為陡峭的衰減曲線。 也就是說在階數(shù)相同的條件下，橢圓濾波器相比于其他類型的濾波器，能獲得更窄的過渡帶寬和較小的阻帶波動，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。它

5、陡峭的過渡帶特性是用通帶和阻帶的起伏為代價來換取的，并 且在通帶和阻帶的波動相同，這一點(diǎn)區(qū)別于在通帶和阻帶都平坦的巴特沃斯濾波器，以 及通帶平坦、阻帶等波紋或是阻帶平坦、通帶等波紋的切比雪夫?yàn)V波器?？偨Y(jié)起來，橢圓濾波器具有以下特點(diǎn)：1、 橢圓低通濾波器是一種零、極點(diǎn)型濾波器，它在有限頻率圍存在傳輸零點(diǎn)和極點(diǎn)。2、 橢圓低通濾波器的通帶和阻帶都具有等波紋特性，因此通帶，阻帶逼近特性良好。3、 對于同樣的性能要求，它比前兩種濾波器所需用的階數(shù)都低，而且它的過渡帶比較窄。但是橢圓濾波器傳輸函數(shù)是一種較復(fù)雜的逼近函數(shù)，利用傳統(tǒng)的設(shè)計方法進(jìn)行電路網(wǎng)絡(luò)綜合要進(jìn)行繁瑣的計算，還要根據(jù)計算結(jié)果進(jìn)行查表，整個設(shè)

6、計，調(diào)整都十分困難 和繁瑣。而用MATLAB計橢圓濾波器可以大大簡化設(shè)計過程。3.2橢圓濾波器設(shè)計的數(shù)學(xué)推導(dǎo)橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)為其中Rn2Ha(j )|112Rn( / p)p是雅可比(Jacobi)(1)橢圓函數(shù)，雅可比橢圓函數(shù)數(shù)N的有理函數(shù)，N=5時的特性曲線如圖1所示。圖1 N=5時雅可比橢圓函數(shù)的特性曲線由圖1可見，在歸一化通帶-1<< 1 , R2在0 ,1 間振蕩，而超過L后，R；在L2 , g間振蕩。L越大，L也變大。這一特點(diǎn)使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。L是一個表示波紋性質(zhì)的參量。雅可比橢圓函數(shù)還具有以下性質(zhì):Rn1Rn(2)階數(shù)N等于通帶和阻帶最大

7、點(diǎn)和最小點(diǎn)的總和，&為與通帶衰減有關(guān)的參數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)和階數(shù) N是由系統(tǒng)下面的性能指標(biāo)來確定的，主要有：截止頻率 c，通帶最大衰減Ap和阻帶截止頻率s以及阻帶最小衰減 As。假定 0是頻率歸一化的基準(zhǔn)頻率，即(3)定義頻率的選擇性因數(shù) k為(4)那么截止頻率分別歸一化為(5)數(shù)為再次假定C112 0.25k2go 0.52 0.25(6)11k2ggo2go515g： 15g03(7)20.1A；10(8)2ioO.1Ap(9)那么得到橢圓濾波器的階數(shù)N為igi6b2 1ig這時，令歸一化的基準(zhǔn)頻率為H aN SHoDo S(10)1，那么得到歸一化后的橢圓低通濾波器的系統(tǒng)函M s2 a

8、i 1 SBiCiDo s1, N為偶數(shù)s o, N為奇數(shù)n,n為偶數(shù)式中，M 2N 1,N為奇數(shù)2所以，實(shí)際的橢圓低通濾波器就可以由歸一化的系統(tǒng)函數(shù)來得到Ha SH aN(12)圖2為典型N為奇數(shù)的橢圓濾波器的幅度特性，當(dāng)C， S，和A確定后,階次N即可確定，進(jìn)而可以設(shè)計出橢圓濾波器。圖2橢圓濾波器的幅度特性3.3關(guān)于歸一化的討論歸一化是一種簡化計算的方式，主要是為了數(shù)據(jù)處理方便提出來的，即將有量綱的表達(dá)式，經(jīng)過變換，化為無量綱的表達(dá)式，成為純量。比方，復(fù)數(shù)阻抗可以歸一化書寫：Z = R + j 3 L = R(1 + j 3 L/R)，復(fù)數(shù)局部變成了純數(shù)量了，沒有量綱。歸一化方法(Norm

9、alization Method)把數(shù)據(jù)映射到 01圍之處理，更加便捷快速,之間是統(tǒng)計的概率分布，歸一化在-1+1之間是統(tǒng)計的坐標(biāo)分布。歸一化有同一、統(tǒng)和合一的意思。無論是為了建模還是為了計算，其根本度量單位要同一。但是歸一化處理并不總是適宜的，根據(jù)輸出值的分布情況，標(biāo)準(zhǔn)化等其它統(tǒng)計變換 方法有時可能更好。具體情況還需具體分析。第四章設(shè)計過程4.1橢圓濾波器設(shè)計結(jié)構(gòu)圖橢圓濾波器設(shè)計結(jié)構(gòu)圖如圖3所示:連續(xù)混合信號采樣頻率W100Hz橢圓低通輸出濾波器圖3結(jié)構(gòu)框圖4.2設(shè)計橢圓數(shù)字濾波器的步驟由于模擬濾波器的設(shè)計方法非常成熟 ，許多典型系統(tǒng)有成熟的公式、圖表可以查閱, 便于設(shè)計；因此設(shè)計數(shù)字濾波器

10、的主要方法是：首先設(shè)計一個適宜的模擬濾波器，然后將 他“變換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。設(shè)計橢圓數(shù)字濾波器的步驟：確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)p、s、4、A ；(2) 將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器性能指標(biāo)；(3) 設(shè)計滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器H a s ；(4) 通過變換將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。4.3數(shù)字橢圓低通濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)Matlab是MathWorks公司于1984年正式推出的一套集數(shù)值計算、符號運(yùn)算及圖形處理等強(qiáng)大功能于一體的科學(xué)計算語言。作為強(qiáng)大的科學(xué)計算平臺，他幾乎能夠滿足所有的計算需求。他的應(yīng)用圍涵蓋了當(dāng)今幾乎所有的領(lǐng)域，如電子、半導(dǎo)體制造、醫(yī)學(xué)研究、航空

11、航天、汽車制造、分子模型、影視制作、建筑等行業(yè)。Matlab具有以下優(yōu)勢和特點(diǎn)： 友好的工作平臺和編程環(huán)境，簡單易用的程序語言,強(qiáng)大的科學(xué)計算及數(shù)據(jù)處理能力，出 色的圖形處理功能，應(yīng)用廣泛的模塊集和工具箱，實(shí)用的程序接口和發(fā)布平臺，模塊化的設(shè)計和系統(tǒng)級的仿真。 隨著Matlab的不斷完善，尤其是Matlab的信號處理工具箱(Si gnalProcessing Toolbox)的推出,如今Matlab 已經(jīng)成為數(shù)字信號處理 DSP(Digital Signal Processi ng)應(yīng)用中分析和仿真設(shè)計的主要工具。設(shè)計橢圓濾波器所用函數(shù)Matlab的信號處理工具箱提供了設(shè)計橢圓濾波器的函數(shù)：e

12、llipord 函數(shù)、ellip函數(shù)和ellipap 函數(shù)。1. ellipord函數(shù)的功能是求濾波器的最小階數(shù)和截止頻率，其調(diào)用格式：N, Wn= ellipord(Wp,W$,Rp,Rs)可以得到數(shù)字橢圓型濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率Wn,并使濾波器在通帶(0 ,Wp)的波紋系數(shù)小于通帶最大衰減Rp,阻帶(Ws ,1)的波紋系數(shù)大于阻帶最小衰減Rs。其中Wp是橢圓濾波器通帶截止角頻率，Ws是橢圓濾波器阻帶起始角頻率。根據(jù)本次任務(wù)書的設(shè)計要求，需要產(chǎn)生一個連續(xù)信號，包含低頻5Hz,中頻15Hz,高頻30Hz的三個分量，并對其進(jìn)行采樣，采樣頻率為100Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為100。設(shè)計低通濾波器對信

13、號進(jìn)行濾波處理，濾除中頻和高頻信號。由于參數(shù)有限，對于設(shè)計中 所用到的參數(shù)可取 Rp= 0.1， Rs =40，通帶截止頻率 Wp=5Hz阻帶截止頻率 Ws=10Hz, 歸一化處理 wp=2*Wp/Fs; ws=2*Ws/Fs 。根據(jù)程序：Wp=5;Ws=10;Fs=100;rp=0.1;rs=40;wp=2*Wp/Fs;ws=2*Ws/Fs;n ,w n=ellipord(wp,ws,rp,rs)可得出：n =4wn =0.1000b,a = ellip ( N,Rp ,尺,Wn),利用ellipord函數(shù)得到的最小階數(shù)N和截止頻率Wn,可以設(shè)計低通濾波器。其中，b、a分別為橢圓濾波器傳輸函

14、數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式。3. ellipap函數(shù)的功能是直接返回橢圓濾波器的零點(diǎn)z、極點(diǎn)p和增益k,其調(diào)用格式：z , p , k=ellipap(N ,Rp, Rs)432頻譜分析所用函數(shù)Matlab的信號處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù)：fft 函數(shù)、filter 函數(shù)和freqz函數(shù)。1. fft函數(shù)的功能是對信號進(jìn)行快速傅里葉變換，其調(diào)用格式：Y = fft(X)Y = fft(X ,n)Y = fft(X,dim)Y = fft(X,n ,dim)matlab的fft序號是從1到n，大多數(shù)采用從 0到n-1，Y=fft (x)之后，這個 Y是一個復(fù)數(shù)，它的模值應(yīng)該除以(length(x)2

15、)，才能得到各個頻率信號實(shí)際幅值。fs=100Hz，Nyquist頻率為fs/2=50Hz。整個頻譜圖是以 Nyquist頻率為對稱軸的。由此可以知道FFT變換數(shù)據(jù)的對稱性。因此用 FFT對信號做譜分析，只需考察 0Nyquist頻 率為的福頻特性。假設(shè)沒有給出采樣頻率和采樣間隔，那么分析通常對歸一化頻率 01進(jìn)行。另外，振幅的大小與所用采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，例如：采用128點(diǎn)和1024點(diǎn)的相同頻率的振幅是有不同的表現(xiàn)值，但在同一幅圖中，40Hz與15Hz振動幅值之比均為 4: 1，與真實(shí)振幅0.5 : 2是一致的。為了與真實(shí)振幅對應(yīng)，需要將變換后結(jié)果乘以2除以No2. Freqz函數(shù)功能是用來求幅頻

16、響應(yīng)，其調(diào)用格式：h,w=freqz(b,a, n)h,f=freqz(b,a, n,Fs) h=freqz(b,a,w)h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a ,n)說明：freqz用于計算數(shù)字濾波器H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù) H(ej w )。h,w=freqz(b,a,n)可得到數(shù)字濾波器的n點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)值，這 n個點(diǎn)均勻地分布在0,n 上,并將這n個頻點(diǎn)的頻率記錄在 w中，相應(yīng)的頻響值記錄在h中。要求n為大于零的整數(shù)，最好為2的整數(shù)次幕，以便采用FFT計算，提高速度。缺省時 n =512。h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于對H ejw在0, Fs/2上等間隔采樣n點(diǎn)，

17、采樣點(diǎn)頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在f和h中。由用戶指定FS (以HZ為單位)值。h=freqz(b,a,w)用于對H ejw在0, 2 上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對H ejw在0, Fs上采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量f指定。freqz(b,a ,n)用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。3. filter函數(shù)功能是利用IIR濾波器和FIR濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，其調(diào)用格式：y,zf=filter(b,a,x)y=filter(b,a,x,zi)y=filter(b,a,x)說明：filter采用數(shù)字濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，其實(shí)現(xiàn)采用移位直接n型結(jié)構(gòu)，

18、因而適用于IIR和FIR濾波器。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為b0bz 1b?z2dz3bmzm1qz 1a2z 2a3z 3anzn即濾波器系數(shù)a= a0 a1 a2. an,b= b0 b1 b2. bn,輸入序列矢量為x。這里,標(biāo)準(zhǔn)形式為a0=1,如果輸入矢量 a時，a0豐1，貝U MATLAB各自動進(jìn)行歸一化系數(shù)的操 作；如果a°=0,那么給出出錯信息。y=filter(b,a,x)利用給定系數(shù)矢量 a和b對x中的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，結(jié)果放入y矢量中，y的長度取 max(N,M)。y=filter(b,a,x,zi) 可在zi中指定x的初始狀態(tài)。4.3.3 其他命令函數(shù)在設(shè)計過程中出以上功能函

19、數(shù)外，還用到了很多其他的函數(shù)。例如：clc 去除命令窗口中的容Clear 去除存中的變量和函數(shù) Plot 繪制線性圖形 Abs 取模 等。4.4 橢圓低通濾波器的設(shè)計程序% 原始混合信號的產(chǎn)生及對其采樣Fs=100;t=(1:100)/Fs;s1=sin(2*pi*t*5);s2=sin(2*pi*t*15);s3=sin(2*pi*t*30); s=s1+s2+s3;figure(1); subplot(2,1,1) plot(t,s) xlabel(' 時間 /t') ylabel(' 幅值 ') title(' 原始輸入模擬信號 ') su

20、bplot(2,1,2)stem(t,s)xlabel(' 時間 /t')ylabel(' 幅值 ')title(' 采樣后的輸入信號 ') %橢圓低通濾波器的設(shè)計Wp=5;Ws=10;Fs=100;rp=0.1;rs=40;wp=2*Wp/Fs;ws=2*Ws/Fs;n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs)b,a=ellip(4,0.1,40,5*2/Fs);H,w=freqz(b,a,512);figure(2);plot(w*Fs/(2*pi),abs(H);xlabel(' 頻率 /Hz');ylabel(&#

21、39; 幅度');title(' 橢圓低通濾波器的幅度響應(yīng)')grid;%對濾波后的信號進(jìn)行分析和變換sf=filter(b,a,s);figure(3);plot(t,sf);xlabel(' 時間 /t');ylabel(' 幅值 ');title(' 濾波后的信號 ')%求取最小階數(shù)和截止頻率axis(0 1 -1 1);S=fft(s,512);title' 濾波前的傅立葉變換圖'SF=fft(sf,512);grid;w=(0:255)/256*(Fs/2);subplot(2,1,2)figur

22、e(4);plot(w,abs(SF(1:256);subplot(2,1,1)xlabel('頻率 /Hz');plot(w,abs(S(1:256);ylabel('幅度');xlabel('頻率 /Hz');title' 濾波后的傅立葉變換圖'ylabel('幅度');grid;第五章仿真圖5.1原始信號及其采樣仿真圖，如圖3所示圖3原始輸入信號及其采樣圖圖4信號通過橢圓低通濾波器的仿真圖5.3橢圓低通濾波器的幅度特性，如圖5所示圖5橢圓低通濾波器的幅度特性圖6信號的傅里葉變換第六章結(jié)論在最常用的巴特沃斯、切比雪夫、橢圓函數(shù)3種濾波器中，實(shí)現(xiàn)同樣性能指標(biāo)所 需的階數(shù)及阻帶衰減，橢圓濾波器給出的設(shè)計階數(shù)比前兩種低，而且頻率特性較好，過渡帶較窄，