高考導(dǎo)數(shù)講義一零點(diǎn)問題

1、高考導(dǎo)數(shù)講義一：零點(diǎn)問題例1、設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解：（I）由，得因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時(shí)，存在，使得由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)（III）當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)綜上所述，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件當(dāng)，時(shí)，只有兩個(gè)不同點(diǎn)， 所以不是有

2、三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件例2.設(shè)函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】（I）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（II）證明詳見解析.【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（I）先對(duì)求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值；（II）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點(diǎn)，只需最小值，從而解出，下面

3、再分情況分析函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).試題解析：（）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（）由（）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點(diǎn)問題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；對(duì)求

4、導(dǎo)；求方程的所有實(shí)數(shù)根；列表格證明函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)的步驟：用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性；用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點(diǎn)的唯一性例3.設(shè)函數(shù).（I）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（II）證明：當(dāng)時(shí).【答案】（I）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（II）見解析【解析】試題分析：（I）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（II）由（I）可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（I）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，

5、存在唯一零點(diǎn).（II）由（I），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，解決此類問題，要熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、掌握通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像草圖，結(jié)合圖像處理；對(duì)恒成立或能處理成立問題，常用參變分離或分類討論來處理.例4.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小

6、值的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】(1)將函數(shù)進(jìn)行配方，利用對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過分類討論確定函數(shù)在給定上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；(2)設(shè)定函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)條件表示兩個(gè)零點(diǎn)之間的不等關(guān)系，通過分類討論，分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，故其對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.綜上，(2)設(shè)為方程的解，且，則.由于，因此.當(dāng)時(shí)，由于和，所以.當(dāng)時(shí)，由于和，所以.綜上可知，的取值范圍是.【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本

7、題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點(diǎn)問題.利用函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，利用分類討論思想確定在各種情況下函數(shù)的最小值情況，最后用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；利用函數(shù)與方程思想，確定零點(diǎn)與系數(shù)之間的關(guān)系，利用其范圍，通過分類討論確定參數(shù)b 的取值范圍.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的能力，考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)、分類討論思想以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用能力，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力.例5、已知函數(shù)fx=x-2ex+a(x-1)2.(I)討論f(x)的單調(diào)性；(II)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（）（ i ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)

8、在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（ ii ）當(dāng)時(shí)，由，解得：或若，即，則，故在單調(diào)遞增若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減（）（i）當(dāng)時(shí)，由（）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，取實(shí)數(shù)滿足且，則有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）若，則，故只有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，由（I）知，當(dāng)，則在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減又當(dāng)時(shí)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上所述，的取值范圍是例6.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）

9、當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)【解析】試題分析：（1）先由可得，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論可得的解，進(jìn)而可得的取值范圍；（2）先寫函數(shù)的解析式，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由（2）得函數(shù)的最小值，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論確定在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)試題解析：（1），因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)，則有，所以.所以.綜上所述，的取值范圍是.（2）對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.(i)當(dāng)時(shí)，令，即（）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以而在上單調(diào)遞增，

10、所以與在無交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.下面比較與的大小因?yàn)樗越Y(jié)合圖象不難得當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：1、絕對(duì)值不等式；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的最值；4、函數(shù)的零點(diǎn).【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是絕對(duì)值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間，去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每段結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法：基本初等函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法：

11、解方程法；圖象法例7.已知函數(shù)f(x)2lnxx22axa2，其中a0.()設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；()證明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.【解析】()由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增()由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)當(dāng)aa0時(shí)，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f (x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(1，x0)時(shí)，f (x)0，從而f(x)f(x0)0當(dāng)x(x0，)時(shí)，f (x