參數(shù)法求軌跡方程

1、參數(shù)法求軌跡方程 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)深入理解曲線的參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步掌握參數(shù)方程與普通方程的互化方法(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)掌握運(yùn)用參數(shù)求軌跡方程的方法，了解設(shè)參的基本原則和選參的一般依據(jù)，能順利消參并討論軌跡的純粹性和完備性，培養(yǎng)多向思維的流暢性(三)學(xué)科滲透點(diǎn)通過(guò)學(xué)習(xí)選參方法，學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象挖掘本質(zhì)的哲學(xué)思想方法二、教材分析1重點(diǎn)：運(yùn)用參數(shù)求軌跡方程的方法2難點(diǎn)：選擇參數(shù)應(yīng)遵循的一般依據(jù)，消參的技術(shù)與軌跡的純粹性完備性討論3疑點(diǎn)：設(shè)參的基本原則三、活動(dòng)設(shè)計(jì)1活動(dòng)：?jiǎn)柎稹⑺伎?教具：投影儀四、教學(xué)過(guò)程(一)回憶、點(diǎn)題和明確任務(wù)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系

2、比較明顯，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化簡(jiǎn)如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系比較隱蔽，但動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中符合某種二次曲線的定義，那么可以用定義法，也就是定型(曲線類型)、定位(曲線位置)、定量(曲線幾何量)，然后直接運(yùn)用二次曲線的方程寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系很隱蔽并且很難判斷動(dòng)點(diǎn)符合某種二次曲線的定義，那么就可以引進(jìn)一些參數(shù)，用這些參數(shù)把x、y之間的那種隱蔽關(guān)系間接地連起來(lái)，然后消掉參數(shù)，這就是所謂的參數(shù)法求軌跡方程同學(xué)們常用的交軌法、換標(biāo)法，實(shí)際上也是消去一些元，留下動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方法，都可以叫參數(shù)法在實(shí)踐中大家已經(jīng)知道，參數(shù)法求軌跡方程的步驟是：首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的

3、運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)參，然后運(yùn)用這些參數(shù)列式，再?gòu)倪@些式子中消參，最后討論軌跡的純粹性和完備性，我們稱之為議參其中，最關(guān)鍵的一步是設(shè)參，參設(shè)得不同，整個(gè)思維和運(yùn)算過(guò)程不同，參設(shè)得不好，運(yùn)算量增大，甚至根本就算不出來(lái)；最畏難一步是消參，經(jīng)常遇到參消不了而越消越復(fù)雜的情況；最易錯(cuò)的一步就是軌跡的純粹性完備性討論如何做到設(shè)參合理、列式簡(jiǎn)易、消參順利、議參嚴(yán)密，大家可以從下面的例子中來(lái)思考和總結(jié)(二)講例1，設(shè)參基本原則請(qǐng)看屏幕(投影，讀題)例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，ab，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，平行于EC的直線l分別交線段EF、FC于M、N兩點(diǎn)，求直線AM與BN交點(diǎn)P的軌跡(圖3-9)

4、首先需要建立坐標(biāo)系，請(qǐng)考慮，建立直角坐標(biāo)系一般應(yīng)選擇什么位置？學(xué)生1答：選擇邊界、中心等特殊位置那么，這一題如何建立坐標(biāo)系？解：以E為原點(diǎn)，EB為x軸建立直角坐標(biāo)系各點(diǎn)坐標(biāo)如圖(投影換片，加上坐標(biāo)系與相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo))運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，l主動(dòng)，M、N從動(dòng)，P隨之 運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)思考，在這一運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中有幾種設(shè)參方法？學(xué)生2答：(1)l的縱截距c，(2)|OM|=t，(3)|FM|=t為什么可以這樣設(shè)參？一參對(duì)一點(diǎn)P，一P對(duì)一參，參變化P運(yùn)動(dòng)，參固定P靜止，一句話：一切可以控制運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的量都可以設(shè)參這就是設(shè)參的基本原則設(shè)|FM|=t，t0，b，P(x，y)學(xué)生3答：不必要，只要找x、y、t間的最簡(jiǎn)單式子，從中能消參

5、即可，這是列式的基本要求上面的消參方法，可以視x、y為常數(shù)代入消參，也可以是兩式作用消參參數(shù)t0，b范圍明顯，但由于沒(méi)有顯參數(shù)方程，所以不便通過(guò)議參來(lái)確定x、y的范圍，此時(shí)可根據(jù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，由幾何直觀討論軌跡的純粹性和完備性l過(guò)F時(shí)，P合于F，lOC時(shí)，PB故x0，y0影片，顯示軌跡)(三)講例2，選參的一般依據(jù)上面例1，設(shè)一個(gè)參數(shù)就可以了，并且消參也容易，下面的例2就不是這種情況，請(qǐng)看屏幕(投影，讀題)例2 點(diǎn)A(1，1)、B、C是拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)，滿足ABAC，作矩形ABPC，求P點(diǎn)的軌跡方程(圖3-10)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，表面上看有B、C兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，實(shí)際上由于ABAC，所以若B主

6、動(dòng)，則C從動(dòng)，P隨之運(yùn)動(dòng)，故實(shí)際上只有一個(gè)自由變量就可以控制整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)請(qǐng)思考，這題有幾種設(shè)參方法？各種設(shè)參通過(guò)什么途徑把參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)連系起來(lái)？學(xué)生4答：(2)設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)(t2，t)kABkACCP上述兩種設(shè)參方法中，參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)P的關(guān)連都比較遠(yuǎn)，課后大家可以計(jì)算一下，實(shí)現(xiàn)這一關(guān)連，計(jì)算很是復(fù)雜那么再考慮，能否再找一種設(shè)參方法，這種設(shè)參方法不局限于一個(gè)參數(shù)，但確使參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)P間的關(guān)連比較近？學(xué)生5答：解：設(shè)B(t12，t1)，C(t22，t2)P(x，y)參數(shù)與P的關(guān)連很近，但參數(shù)多了一個(gè)，大家向來(lái)怕參數(shù)多，實(shí)際上，t1、t2之間本身有一個(gè)關(guān)系，F(xiàn)(t1，t2)=0，而這一關(guān)系在消參的運(yùn)用上或

7、許無(wú)需顯解成t1=f(t2)，只需要將F(t1，t2)=0用一下就可以達(dá)到消參目的而前面的兩種設(shè)參方法在消參過(guò)程中，實(shí)際上就是把t1、t2的關(guān)系F(t1，t2)=0顯解成t1=f(t2)，然后消參時(shí)又恢復(fù)成F(t1，t2)=0的重復(fù)計(jì)算過(guò)程這種重復(fù)計(jì)算就是一開(kāi)始所說(shuō)的有時(shí)很復(fù)雜，有時(shí)根本就算不出來(lái)是否真的如此，算算看： (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2， (y+1)2=x+1+2-(y+1)-2即：(y+2)2=x-2想一想看，如果顯解出t1=f(t2)再兩式消t2，將會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)關(guān)于t2的二次方程，這就是消參計(jì)算復(fù)雜性的原因，因此在根據(jù)設(shè)參基本原則確定的所有可設(shè)的參數(shù)中，選擇與動(dòng)點(diǎn)

8、坐標(biāo)關(guān)連密切的為參數(shù)這就是選參的一般依據(jù)，并且選參不要求唯一，多個(gè)參之間不一定獨(dú)立例1中一個(gè)參數(shù)需二個(gè)式，例2中二個(gè)參數(shù)需三個(gè)式，所以一般來(lái)說(shuō)，n個(gè)參數(shù)需列n+1個(gè)式，而消參時(shí)更要充分運(yùn)用恒等式進(jìn)行整體消參最后來(lái)討論純粹性和完備性同例1不一樣，顯然x、y是參數(shù)的顯示數(shù)，但是兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)，且兩個(gè)參數(shù)有關(guān)連，并非獨(dú)立，所以x、y范圍難求而用幾何直觀也比較困難，把兩者結(jié)合起來(lái)：示軌跡)由此可知，討論軌跡的純粹性和完備性，可以把幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合(四)小結(jié)(已在教學(xué)過(guò)程中逐條總結(jié)并板書(shū))參數(shù)法求軌跡方程的步驟：設(shè)參：一切可以控制運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的量都可以設(shè)參(基本原則)，從中選擇與動(dòng)點(diǎn)關(guān)連密切的為參數(shù)

9、(一般依據(jù))設(shè)參數(shù)不要求唯一，多個(gè)參數(shù)之間不一定獨(dú)立用參：列式要棄繁就簡(jiǎn)，n個(gè)參數(shù)需列n+1個(gè)式消參：視x、y為常數(shù)，代人消參，兩式作用消參，整體元消參假含參式(即雖有x、y，但并非動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo))不能參與消參議參：幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合五、布置作業(yè)1E、F是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊AD、BC中點(diǎn)，長(zhǎng)為的軌跡(圖3-11)解：以EF為x軸，EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則E(-1，0)， 即 x2-y2=1據(jù)M點(diǎn)從A到OA中點(diǎn)及角到O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，畫(huà)圖可知，軌跡為雙2點(diǎn)A(1，1)，B、C是圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，且ABAC，求BC中點(diǎn)P的軌跡方程(圖3-12)解：設(shè)B(2cos，2sin)、C(cos，2sin)、P(x，y