參數(shù)法求軌跡方程

1、參數(shù)法求軌跡方程 一、教學目標(一)知識教學點深入理解曲線的參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系，進一步掌握參數(shù)方程與普通方程的互化方法(二)能力訓練點掌握運用參數(shù)求軌跡方程的方法，了解設參的基本原則和選參的一般依據(jù)，能順利消參并討論軌跡的純粹性和完備性，培養(yǎng)多向思維的流暢性(三)學科滲透點通過學習選參方法，學會透過現(xiàn)象挖掘本質(zhì)的哲學思想方法二、教材分析1重點：運用參數(shù)求軌跡方程的方法2難點：選擇參數(shù)應遵循的一般依據(jù)，消參的技術(shù)與軌跡的純粹性完備性討論3疑點：設參的基本原則三、活動設計1活動：問答、思考2教具：投影儀四、教學過程(一)回憶、點題和明確任務求動點的軌跡方程，如果動點坐標x、y之間的關(guān)系

2、比較明顯，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化簡如果動點坐標x、y之間的關(guān)系比較隱蔽，但動點在運動過程中符合某種二次曲線的定義，那么可以用定義法，也就是定型(曲線類型)、定位(曲線位置)、定量(曲線幾何量)，然后直接運用二次曲線的方程寫出動點的軌跡方程如果動點坐標x、y之間的關(guān)系很隱蔽并且很難判斷動點符合某種二次曲線的定義，那么就可以引進一些參數(shù)，用這些參數(shù)把x、y之間的那種隱蔽關(guān)系間接地連起來，然后消掉參數(shù)，這就是所謂的參數(shù)法求軌跡方程同學們常用的交軌法、換標法，實際上也是消去一些元，留下動點坐標x、y的方法，都可以叫參數(shù)法在實踐中大家已經(jīng)知道，參數(shù)法求軌跡方程的步驟是：首先根據(jù)運動系統(tǒng)的

3、運動規(guī)律設參，然后運用這些參數(shù)列式，再從這些式子中消參，最后討論軌跡的純粹性和完備性，我們稱之為議參其中，最關(guān)鍵的一步是設參，參設得不同，整個思維和運算過程不同，參設得不好，運算量增大，甚至根本就算不出來；最畏難一步是消參，經(jīng)常遇到參消不了而越消越復雜的情況；最易錯的一步就是軌跡的純粹性完備性討論如何做到設參合理、列式簡易、消參順利、議參嚴密，大家可以從下面的例子中來思考和總結(jié)(二)講例1，設參基本原則請看屏幕(投影，讀題)例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，ab，E、F分別是AB、CD的中點，平行于EC的直線l分別交線段EF、FC于M、N兩點，求直線AM與BN交點P的軌跡(圖3-9)

4、首先需要建立坐標系，請考慮，建立直角坐標系一般應選擇什么位置？學生1答：選擇邊界、中心等特殊位置那么，這一題如何建立坐標系？解：以E為原點，EB為x軸建立直角坐標系各點坐標如圖(投影換片，加上坐標系與相關(guān)點坐標)運動系統(tǒng)中，l主動，M、N從動，P隨之 運動，請思考，在這一運動系統(tǒng)中有幾種設參方法？學生2答：(1)l的縱截距c，(2)|OM|=t，(3)|FM|=t為什么可以這樣設參？一參對一點P，一P對一參，參變化P運動，參固定P靜止，一句話：一切可以控制運動系統(tǒng)的量都可以設參這就是設參的基本原則設|FM|=t，t0，b，P(x，y)學生3答：不必要，只要找x、y、t間的最簡單式子，從中能消參

5、即可，這是列式的基本要求上面的消參方法，可以視x、y為常數(shù)代入消參，也可以是兩式作用消參參數(shù)t0，b范圍明顯，但由于沒有顯參數(shù)方程，所以不便通過議參來確定x、y的范圍，此時可根據(jù)運動系統(tǒng)的運動全過程，由幾何直觀討論軌跡的純粹性和完備性l過F時，P合于F，lOC時，PB故x0，y0影片，顯示軌跡)(三)講例2，選參的一般依據(jù)上面例1，設一個參數(shù)就可以了，并且消參也容易，下面的例2就不是這種情況，請看屏幕(投影，讀題)例2 點A(1，1)、B、C是拋物線y2=x上的動點，滿足ABAC，作矩形ABPC，求P點的軌跡方程(圖3-10)運動系統(tǒng)中，表面上看有B、C兩個動點，實際上由于ABAC，所以若B主

6、動，則C從動，P隨之運動，故實際上只有一個自由變量就可以控制整個運動系統(tǒng)請思考，這題有幾種設參方法？各種設參通過什么途徑把參數(shù)與動點坐標連系起來？學生4答：(2)設點B坐標(t2，t)kABkACCP上述兩種設參方法中，參數(shù)與動點P的關(guān)連都比較遠，課后大家可以計算一下，實現(xiàn)這一關(guān)連，計算很是復雜那么再考慮，能否再找一種設參方法，這種設參方法不局限于一個參數(shù)，但確使參數(shù)與動點P間的關(guān)連比較近？學生5答：解：設B(t12，t1)，C(t22，t2)P(x，y)參數(shù)與P的關(guān)連很近，但參數(shù)多了一個，大家向來怕參數(shù)多，實際上，t1、t2之間本身有一個關(guān)系，F(xiàn)(t1，t2)=0，而這一關(guān)系在消參的運用上或

7、許無需顯解成t1=f(t2)，只需要將F(t1，t2)=0用一下就可以達到消參目的而前面的兩種設參方法在消參過程中，實際上就是把t1、t2的關(guān)系F(t1，t2)=0顯解成t1=f(t2)，然后消參時又恢復成F(t1，t2)=0的重復計算過程這種重復計算就是一開始所說的有時很復雜，有時根本就算不出來是否真的如此，算算看： (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2， (y+1)2=x+1+2-(y+1)-2即：(y+2)2=x-2想一想看，如果顯解出t1=f(t2)再兩式消t2，將會出現(xiàn)兩個關(guān)于t2的二次方程，這就是消參計算復雜性的原因，因此在根據(jù)設參基本原則確定的所有可設的參數(shù)中，選擇與動點

8、坐標關(guān)連密切的為參數(shù)這就是選參的一般依據(jù)，并且選參不要求唯一，多個參之間不一定獨立例1中一個參數(shù)需二個式，例2中二個參數(shù)需三個式，所以一般來說，n個參數(shù)需列n+1個式，而消參時更要充分運用恒等式進行整體消參最后來討論純粹性和完備性同例1不一樣，顯然x、y是參數(shù)的顯示數(shù)，但是兩個參數(shù)的函數(shù)，且兩個參數(shù)有關(guān)連，并非獨立，所以x、y范圍難求而用幾何直觀也比較困難，把兩者結(jié)合起來：示軌跡)由此可知，討論軌跡的純粹性和完備性，可以把幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合(四)小結(jié)(已在教學過程中逐條總結(jié)并板書)參數(shù)法求軌跡方程的步驟：設參：一切可以控制運動系統(tǒng)的量都可以設參(基本原則)，從中選擇與動點關(guān)連密切的為參數(shù)

9、(一般依據(jù))設參數(shù)不要求唯一，多個參數(shù)之間不一定獨立用參：列式要棄繁就簡，n個參數(shù)需列n+1個式消參：視x、y為常數(shù)，代人消參，兩式作用消參，整體元消參假含參式(即雖有x、y，但并非動點坐標)不能參與消參議參：幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合五、布置作業(yè)1E、F是邊長為2的正方形ABCD的邊AD、BC中點，長為的軌跡(圖3-11)解：以EF為x軸，EF中點為原點建立直角坐標系，則E(-1，0)， 即 x2-y2=1據(jù)M點從A到OA中點及角到O的運動過程，畫圖可知，軌跡為雙2點A(1，1)，B、C是圓x2+y2=4上的動點，且ABAC，求BC中點P的軌跡方程(圖3-12)解：設B(2cos，2sin)、C(cos，2sin)、P(x，y