第一章 電磁學(xué)的基本規(guī)律

1、 第一章 靜電學(xué)的基本規(guī)律教學(xué)要求：1、理解點(diǎn)電荷的概念；深刻領(lǐng)會(huì)庫侖定律的內(nèi)容；熟練運(yùn)用庫侖定律和迭加原理計(jì)算靜電力。2、理解靜電場的客觀存在及其物質(zhì)性；牢固掌握電場強(qiáng)度的概念及其基本方法。3、深入理解高斯定理的物理意義；牢固掌握其內(nèi)容，并會(huì)熟練地用它求特定條件下的場強(qiáng)分布。4、深入理解靜電場的有勢性，靜電場環(huán)路定理的實(shí)質(zhì)及電勢與場強(qiáng)的微分關(guān)系，牢固掌握電勢和勢差的意義及計(jì)算方法。5、掌握靜電能的概念并會(huì)計(jì)算靜電能。教學(xué)重點(diǎn)：1、庫侖定律 2、電場強(qiáng)度、電勢 3、高斯定理教學(xué)難點(diǎn)：1、電勢梯度2、電偶極子的電強(qiáng)及在外場中靜電能 3、電場對電偶極子的作用§1.1 物質(zhì)的電結(jié)

2、構(gòu) 電荷守恒定律§1.2庫侖定律§1.3 電場和電場強(qiáng)度§1-4電勢§1.5高斯定理§1-6 靜電能§1.1 物質(zhì)的電結(jié)構(gòu) 電荷守恒定律1、電荷 摩擦起電（1）什么是電荷 當(dāng)物體具有吸引輕小物體的能力，該物體帶了電或有了電荷。帶電的物體稱帶電體，帶電體所帶電荷數(shù)量的多少叫做電量。（2）電荷是怎樣產(chǎn)生的？ 摩擦起電 感應(yīng)起電絕緣體在摩擦起時(shí)能夠保持電荷。導(dǎo)體在摩擦起時(shí)不能保持電荷。 （3）電荷的正負(fù)是如何規(guī)定的？ 1747年美國科學(xué)家Franklin最早對電荷的正負(fù)作了規(guī)定：玻璃與絲絹摩擦后，玻璃所帶的電荷為正電荷，凡與它有吸引的電荷為

3、負(fù)電荷。（4）帶電體之間有相互作用嗎？實(shí)驗(yàn)表明：同類電荷相互排斥，異類電荷相互吸引。2、電子、質(zhì)子、夸克（1）物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)從物理和化學(xué)的觀點(diǎn)來看，物質(zhì)由原子、分子構(gòu)成，而原子是由電子、質(zhì)子和中子構(gòu)成。質(zhì)子和中子是原子核的組成部分，統(tǒng)稱核子。 （2）電子是“基本”粒子嗎？迄今為止實(shí)驗(yàn)和理論都未發(fā)現(xiàn)電子具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，電子的電荷e是電荷的最小單元。1909年，密立根MiUiken做了著名的油滴實(shí)驗(yàn)，得出重要結(jié)論：電荷是量子化的，存在著基本電荷。這個(gè)基本電荷就是電子電荷。任何帶電體的電荷只能是電子電荷的整數(shù)倍，即q=Ne1917年密立根宣布電子的電荷值是（1.591±0.002×

4、C1986年基本電荷的國際標(biāo)準(zhǔn)值為1.60217733× C（3）質(zhì)子與中子質(zhì)子帶正電，電量與電子的相等，中子不帶電。質(zhì)子可以穩(wěn)定獨(dú)立存在，中子則不穩(wěn)定，它將衰變（半衰期13min）為一個(gè)質(zhì)子、一個(gè)電子和一個(gè)中微子，即np+e+質(zhì)子與中子的質(zhì)量相同約為電子質(zhì)量的1840倍（4）什么是夸克？1964年蓋爾曼（M.Gell-Mann）提出了夸克模型?？淇擞?種即上夸克、粲夸克、底夸克、下夸克、奇夸克和頂夸克，前三種夸克帶電量，而后三種夸克帶電量。一切強(qiáng)子都是由夸克組成的。迄今尚未觀察到自由夸克。3、電荷守恒定律大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明：電荷具有守恒性，即在任何時(shí)刻，存在于孤立系統(tǒng)內(nèi)部正電荷與負(fù)電

5、荷的代數(shù)和恒定不變，這一結(jié)論稱為電荷守恒定律。 電荷守恒定律與參照系的選擇無關(guān)。電荷是一相對不變量。 電荷守恒定律與電荷的量子性有關(guān)。 電荷守恒定律與電子的穩(wěn)定性有關(guān)。4、導(dǎo)體和絕緣體導(dǎo)體：允許電荷通過的物體。第一類導(dǎo)體：電荷遷移時(shí)質(zhì)量不遷移。第二類導(dǎo)體：電荷遷移時(shí)質(zhì)量也遷移。絕緣體（電介質(zhì)）：不允許電荷通過的物體。半導(dǎo)體：介于導(dǎo)體與絕緣體之間的材料。如鍺、硅等。§1.2庫侖定律1、電荷的概念、庫侖定律（1）點(diǎn)電荷 如果帶電體的線度比它與其他帶電體之間的距離小得多，在研究它與其他帶電體的相互作用時(shí)，可以把它當(dāng)作一個(gè)幾何點(diǎn)處理。（2）庫侖定律1785年庫侖通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)了兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷間

6、相互作用力的規(guī)律： 同號(hào)電荷相互排斥，異號(hào)電荷相互吸引。 作用力沿兩點(diǎn)電荷的連線。 力的大小正比于每個(gè)點(diǎn)電荷電量的多少。 力的大小反比于兩點(diǎn)電荷之間距離的平方。 ：對的作用力：到的矢徑的大小，方向由指向：指向方向的單位矢量當(dāng)與同向時(shí)作用力為排斥力；當(dāng)與反向時(shí)作用力為吸引力。對的作用力為在SI單位中， 稱為真空介電常數(shù)。庫侖定律表示為 庫侖定律只適用于點(diǎn)電荷。不是根本性的限制條件，帶電體之間相互作用也可以用庫侖定律求解。 庫侖定律只適用于真空。真空的條件是除兩個(gè)點(diǎn)電荷外無其他電荷存在。但真空條件并非必要，是可以除去的，這是因?yàn)楦鶕?jù)力的獨(dú)立作用原理，兩個(gè)點(diǎn)電荷之間是作用力，并不因?yàn)槠渌姾傻拇嬖诙?/p>

7、有所影響。 庫侖定律只適用于靜止。靜止條件是指兩個(gè)點(diǎn)電荷相對觀察者都處于靜止?fàn)顟B(tài)。靜止條件可以放寬，即施力電荷（源電荷）靜止，受力電荷可靜止，也可運(yùn)動(dòng)。 靜電力是有心力，服從平方反比律，具有徑向性，球?qū)ΨQ性。 庫侖定律是一條實(shí)驗(yàn)定律 庫侖力屬于是長程力。近代物理與地球物理的實(shí)驗(yàn)表明，距離在10-17m到107m的尺度范圍內(nèi)，電力平方反比率是可靠的。2、疊加原理當(dāng)幾個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)存在時(shí)，任一點(diǎn)電荷所受到的力等于所有其他點(diǎn)電荷單獨(dú)作用于該點(diǎn)電荷的庫侖力的矢量和，這一結(jié)論稱為疊加原理。設(shè)有n個(gè)點(diǎn)電荷組成的體系，第j個(gè)點(diǎn)電荷qj作用于第i個(gè)點(diǎn)電荷qi的庫侖力為根據(jù)疊加原理，qi受到的合力為3、利用庫侖定

8、律計(jì)算電場力的方法（1）點(diǎn)電荷系之間的相互作用力 靜電力是矢量，在求合靜電力時(shí)必須運(yùn)用矢量合成法則，或者用正交分量解析法求解。 先根據(jù)電荷的正負(fù)判斷各力的方向。用正交分量解析法時(shí)，電量應(yīng)取絕對值；用矢量合成法時(shí)，電量應(yīng)取代數(shù)值。（2）電荷連續(xù)分布的帶電體之間的相互作用力 將帶電體分割成許多電荷元，利用庫侖定律求出電荷元之間相互作用力。 將分解為坐標(biāo)軸上的分量，根據(jù)疊加原理進(jìn)行標(biāo)量積分求出帶電體之間的總相互作用力。 在運(yùn)算時(shí)充分利用電荷分布的對稱性，使計(jì)算簡化。§1.3 電場和電場強(qiáng)度1.電場 （1） 電荷間相互作用是通過什么途徑發(fā)生的? 近代物理的發(fā)展證明：凡是有電荷的地方，周圍就存

9、在電場，電場對處在場內(nèi)的其他電荷有力的作用。因此電荷與電荷之間是通過電場相互作用的。（2） 電場是物質(zhì)嗎？實(shí)物（由原子或分子構(gòu)成的物質(zhì)）具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量，具有不可入性。電場是一種特殊的物質(zhì)也具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量，也遵守質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒，但沒有靜止質(zhì)量，具有疊加性。 （3）電場的種類 靜電場：靜止電荷產(chǎn)生的電場變化電場：運(yùn)動(dòng)電荷和變化磁場產(chǎn)生的電場2、電場強(qiáng)度 （1） 試探電荷、源電荷試探電荷：用于研究和檢測電場的電荷。 源電荷：產(chǎn)生被研究電場的電荷。    試探電荷電量應(yīng)盡可能小。它的引入幾乎不會(huì)引起源電荷分布的變化。    試探電荷的幾

10、何線度應(yīng)盡可能小。用它來探測場內(nèi)每一點(diǎn)的性質(zhì)。 源電荷可以是若干個(gè)點(diǎn)電荷，也可以是帶電體。 （2）電場強(qiáng)度 若電量為q0的試探電荷在場內(nèi)某點(diǎn)受到的作用力為 ，則該點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為   電場強(qiáng)度是場點(diǎn)客觀施力本領(lǐng)強(qiáng)弱的量度，它表征了電場的力的客觀特征。 場源電荷分布確定后，空間矢量點(diǎn)函數(shù) 的形式就確定，與試探電荷q0無關(guān) 當(dāng) = 常矢量，電場為均勻電場3、點(diǎn)電荷與點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)（1） 點(diǎn)電荷的場強(qiáng) 設(shè)場源是電量為q的點(diǎn)電荷，為了研究它的場，設(shè)想把電量為q0的試探電荷引入場內(nèi)的考察點(diǎn)P，P點(diǎn)到q的距離為r。 根據(jù)庫侖定律q作用于q0的力為 根據(jù)電場強(qiáng)度定義，P點(diǎn)的場強(qiáng)為（）點(diǎn)

11、電荷系的場強(qiáng) 若場源由n個(gè)點(diǎn)電荷q1,q2,qn組成，設(shè)為第i個(gè)點(diǎn)電荷qi在考察點(diǎn)p處產(chǎn)生的場強(qiáng)為根據(jù)疊加原理，各源電荷在p點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為一組點(diǎn)電荷共同產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)等于每個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)單獨(dú)產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和。4、任意形狀帶電體的場強(qiáng) （1） 電荷的體密度、面密度、線密度若電荷連續(xù)分布在帶電體內(nèi)部，則可以用電荷的體密度描寫電荷在帶電體內(nèi)的分布。當(dāng)電荷僅連續(xù)分布在物體表面一個(gè)薄層內(nèi)，當(dāng)薄層的厚度在所討論的問題中可以忽略不計(jì)時(shí)，可以用電荷的面密度來描寫電荷在表面上的分布。當(dāng)電荷僅沿帶電體長度方向連續(xù)分布時(shí)，如果可忽略它的粗細(xì)而認(rèn)為電荷分布于一條幾何曲線上，用電荷的線密度來描寫電荷在曲線上的分布。

12、在宏觀范圍內(nèi)認(rèn)為電荷是連續(xù)地分布在帶電體上不考慮它的量子性。 dq為物理無窮小量。在微觀上dq 足夠大，包含大量基本電荷，在宏觀上dq充分小，可以看作點(diǎn)電荷。（）電荷連續(xù)分布的帶電體激發(fā)的場強(qiáng)。 線電荷分布： 面電荷分布： 體電荷分布： （） 面積元、體積在不同坐標(biāo)系中表示形式直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系： 5 電場線為了形象化地把客觀存在的電場表示出來，英國物理學(xué)家法拉第引入了電場線的概念。在電場內(nèi)人為地畫一些曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線的方向代表相應(yīng)點(diǎn)場強(qiáng)的方向。 若規(guī)定電場線的數(shù)密度（通過垂直于場強(qiáng)方向的單位面積的電場線的條數(shù)）與該點(diǎn)場強(qiáng)的大小成正比，則電場線的疏密程度反映場強(qiáng)的強(qiáng)弱。6、

13、電場強(qiáng)度計(jì)算方法（1）點(diǎn)電荷組的場強(qiáng)計(jì)算方法 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 由點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)，判定其方向，畫出各分場強(qiáng)矢量圖。 根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，用矢量合成法則或正交分解法求出合場強(qiáng)。 在計(jì)算過程中，有時(shí)用到近似計(jì)算方法，在一般問題中作數(shù)量級比較，略去高級無窮小量。在一些復(fù)雜的問題中，用泰勒級數(shù)（或牛頓二項(xiàng)式）展開，再作近似處理。（2）電荷連續(xù)分布的帶電體的場強(qiáng)計(jì)算方法 分析帶電體或場強(qiáng)分布的對稱性，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 將帶電體無限分割為電荷元，其電量或或把每一個(gè)電荷元成點(diǎn)電荷，求其在場點(diǎn)的場強(qiáng)。 根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，寫出場強(qiáng)分量的積分表達(dá)式，選擇合適的積分變量，統(tǒng)一積分變量，

14、確定積分上、下限。 計(jì)算積分，對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行物理分析，并確定總場強(qiáng)的大小和方向。7、例題 例 1.3-1研究電偶極子的電場解：（1）什么是電偶極子兩等量異號(hào)的點(diǎn)電荷+q和-q ,相隔一定距離L當(dāng)場點(diǎn)與這兩個(gè)點(diǎn)電荷的距離r>>L時(shí),這個(gè)點(diǎn)電荷系稱為電偶極子。用電矩反映其電特性。（2）偶極子在L延長線上的場強(qiáng)圖（a）如圖（a）所示，正、負(fù)電荷單獨(dú)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)分別為r為P點(diǎn)到正、負(fù)電荷連線中點(diǎn)的距離，P點(diǎn)的總場強(qiáng)為 ( 略去二級小量) 所以 （） 偶極子在中垂面上的場強(qiáng)如圖（b）所示，正、負(fù)電荷單獨(dú)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)分別為P點(diǎn)的總場強(qiáng)為 圖（b）所以（4）偶極子在空間任意點(diǎn)

15、的場強(qiáng) 如圖（c）所示，P點(diǎn)的位置由極坐標(biāo)r和給出，把電偶極子的電矩分解成平行于r的分量和垂直于r分量 即于是P點(diǎn)的場強(qiáng)可以看作由電矩的電偶極子和電矩的電偶極子的場強(qiáng)疊加而成 圖（c）例1.3-2求無限長的均勻帶電直線的電場 解：建立坐標(biāo)系如圖所示，無限長的均勻帶電直線沿x軸，考察點(diǎn)P到直線的距離為y設(shè)電荷線密度為,則直線上離O點(diǎn)為x到x+dx處的線段元所帶的電量為電荷元單獨(dú)產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)的兩個(gè)分量分別為其中所以例1.3-3 求均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場解：設(shè)圓環(huán)半徑為R，電量為q，圓環(huán)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，考察點(diǎn)P位于x軸上，離原點(diǎn)的距離為b，如圖所示，圓環(huán)上的電荷線密度為電荷元dq在考察點(diǎn)單獨(dú)

16、產(chǎn)生的場強(qiáng)為根據(jù)對稱性，只有x軸分量，故有例1.3-4 求無限大均勻帶電平面的電場 解：設(shè)帶電平面與oxz平面重合，電荷面密度為，考察點(diǎn)P在y軸上，到帶電面的距離為y，如圖所示。將帶電平面分成許多寬度為dx與z軸平行的狹長細(xì)條，每一細(xì)條可以看成一根無限長的帶電直線，其線密度為該細(xì)條單獨(dú)在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為根據(jù)對稱性，只有y軸分量，從圖上可以看出于是因?yàn)樗岳?.3-5 求均勻帶電半球面在球心的電場 解：設(shè)球面半徑為r，電荷面密度為，取一球面坐標(biāo)，原點(diǎn)與球面中心重合，如圖所示。球坐標(biāo)中的面元dS可以看作邊長為和的矩形，其面積為面元上的電荷在O點(diǎn)的場強(qiáng)為當(dāng)為正時(shí)，的方向由指向球心由于對稱性，只有z軸

17、分量，即均勻帶電半球面在球心的場強(qiáng)為§1-4電勢1電場的環(huán)路定理 （）靜電力作功與路徑無關(guān) 考察在電量為q的點(diǎn)電荷的電場，如圖所示，試探電荷q0在電場中沿任意路徑從a點(diǎn)移到b點(diǎn)電場力作的功結(jié)果表明：在點(diǎn)電荷的電場中，電場力作功與路徑無關(guān)，僅由起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置決定。此結(jié)論對任意靜電場都成立。所以靜電場是保守場。（）環(huán)路定理 當(dāng)試探電荷q0在電場中沿任意閉合路徑從a點(diǎn)經(jīng)b點(diǎn)返回a點(diǎn)時(shí)，電場力作的功為所以靜電場的場強(qiáng)沿一閉合路徑的線積分為零，即靜電場的場強(qiáng)的環(huán)流為零。這一結(jié)論稱為靜電場的環(huán)路定理。  環(huán)路定理反映了靜電場是有心力場和保守場(無旋場） 環(huán)路定理適用于真空靜

18、電場、有導(dǎo)體、電介質(zhì)存在時(shí)靜電場和穩(wěn)恒電場。近似適用在似穩(wěn)條件下變化電磁場。不適用渦旋場。2、電勢差和電勢 （1）電勢能定義靜電場力對試探電荷q0所作的功等于靜電勢能的減少量，即式中和分別是q0在電場中的a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)，q0與靜電場所組成的系統(tǒng)的靜電勢能，常把或簡稱為電荷q0在a點(diǎn)或b點(diǎn)的電勢能。 為了確定電荷q0在電場中的某點(diǎn)的電勢能，必須選定零電勢能參考點(diǎn)，當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，通常取無窮遠(yuǎn)處的電勢能為零，故（2）電勢差 在靜電場內(nèi)任意兩點(diǎn)a和b的電勢差，在數(shù)值上等于一個(gè)單位正電荷從a沿任一路徑移到b 的過程中，電場力所作的功，即靜電場中任意給定兩點(diǎn)的電勢差是完全確定的，具有絕對性，與零勢

19、點(diǎn)選擇無關(guān)。 （3）電勢 靜電場中某一點(diǎn)P的電勢，在數(shù)值上等于一個(gè)單位正電荷P點(diǎn)移到零電勢參考點(diǎn)過程中電場力作的功，即其中b點(diǎn)為電勢零點(diǎn) 電場中某點(diǎn)電勢值與零電勢參考點(diǎn)的選擇有關(guān)，具有相對性。 零電勢參考點(diǎn)的選擇必須滿足三個(gè)條件：a.必須使電場中各點(diǎn)的電勢具有確定的值。b.在同一問題中只能選擇一個(gè)零電勢參考點(diǎn)。C.電勢的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)該盡可能簡單。對有限帶電體,可取無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)。對無限大帶電體, 取有限距離點(diǎn)為參考點(diǎn)。在實(shí)驗(yàn)工作中，常以大地為零勢點(diǎn)。 電勢是標(biāo)量，有正負(fù)之分，當(dāng)時(shí)，電場力作正功，P點(diǎn)電勢為正；當(dāng)時(shí)，電場力作負(fù)功，P點(diǎn)電勢為負(fù)。3帶電體的電勢 （1）點(diǎn)電荷的電勢 取無限遠(yuǎn)處為零電

20、勢參考點(diǎn)，在電量為q的點(diǎn)電荷電場中距點(diǎn)電荷為r的P點(diǎn)的電勢為當(dāng)q為正時(shí)，電勢也為正，離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)，電勢越小，在無限遠(yuǎn)處電勢最小，其值為零；當(dāng)q為負(fù)時(shí)，電勢也為負(fù)，離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)，電勢越大，在無限遠(yuǎn)處電勢最大，其值為零。（2）點(diǎn)電荷組的電勢 若電場由一組點(diǎn)電荷共同產(chǎn)生，各點(diǎn)電荷的電量分別為q1,q2,q3qn，則空間任一點(diǎn)的電勢由場強(qiáng)疊加原理可求得（3）電荷連續(xù)分布帶電體的電勢 式中r是電荷元dq到考察點(diǎn)的距離。對于體分布的電荷，；對于面分布的電荷，；對于線分布的電荷，。4等勢面 電勢梯度 （）等勢面 什么是等勢面？靜電場內(nèi)電勢相等的各點(diǎn)的軌跡一般是一個(gè)曲面，稱為等勢面。 等勢面處處與電場線正交。

21、 等勢面的疏密程度可以反映場強(qiáng)的大小。 如果使相鄰兩個(gè)等勢面之間的電勢差相等，則等勢面密集處場強(qiáng)大，稀疏處場強(qiáng)小。（2）電勢梯度 什么是電勢梯度電勢是標(biāo)量，在數(shù)學(xué)中，對于任何一個(gè)標(biāo)量場，可定義其梯度它是矢量，大小等于該標(biāo)量函數(shù)沿其等值面的法線方向的方向?qū)?shù)，方向沿等值面的法線方向，并用grad表示梯度，于是 場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系在靜電場中任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度的大小在數(shù)值上等于該點(diǎn)電勢梯度的大小，方向與電勢梯度的方向相反，指向電勢降落的方向。引入哈密度算符，則有在直角坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中 在柱坐標(biāo)系中5、電勢計(jì)算方法（1）由場強(qiáng)與電勢的積分關(guān)系求電勢 確定場強(qiáng)的空間分布規(guī)律。 選擇適當(dāng)?shù)牧汶妱輩⒖?/p>

22、點(diǎn)。 選擇最方便的路徑積分，即 如果場強(qiáng)的空間分布在各區(qū)域不同，計(jì)算時(shí)必須分段進(jìn)行積分。（2）用點(diǎn)電荷的電勢公式和電勢疊加原理求電勢 如果電場是由點(diǎn)電荷組共同激發(fā)的，直接利用點(diǎn)電荷組的電勢公式求電場中任一點(diǎn)的電勢。 如果電場是由連續(xù)帶電體激發(fā)的，則將帶電體視為由許多電荷元組成，每一電荷元視為點(diǎn)電荷，先求電荷元在電場中任一點(diǎn)的電勢，再根據(jù)電勢疊加原理，對電荷元的電勢積分求總電勢。積分時(shí)要統(tǒng)一變量，對整個(gè)帶電體積分。6、例題例1.4-1 求電偶極子的電勢和場強(qiáng) 解：令電矩的電偶極子沿z軸放置，其中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，如圖所示。它在空間任一點(diǎn)P（x,y,z）的電勢為由于，則有將此式代入上式有因?yàn)樗杂?/p>

23、電勢梯度求場強(qiáng)，若采用球坐標(biāo)，則又因?yàn)樽⒁獾降美?.4-2 求均勻帶電圓盤對稱軸上的電勢和盤邊緣上的電勢. 解：1）設(shè)一半徑為的圓盤，表面上均勻帶電，面電荷密度為，取坐標(biāo)軸如圖（a）所示，在圓盤上取半徑為R，寬度為dR的圓環(huán)，其電量為 ，它在P點(diǎn)的電勢為帶電圓盤在P點(diǎn)的電勢為 (z>0)討論：當(dāng)z=0時(shí)，當(dāng)z時(shí) 所以圖（a）2）如圖（b）所示，以P點(diǎn)為中心，R和R+dR為半徑作圓弧，在盤上割出一段圓環(huán)，其上的電荷 在P點(diǎn)的電勢為因 圖（b）所以盤邊緣的電勢為 例1.4-3 求電偶層兩邊的電勢差 解：一對均勻帶等量異號(hào)電荷的平行平面，其間距遠(yuǎn)小于帶電平面的線度時(shí)稱為電偶層。當(dāng)電偶層上的面電

24、荷密度分別為與時(shí)，空間的場強(qiáng)分布為圖（a） 如圖（a）所示，取兩面對稱中心O點(diǎn)為電勢零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其電勢為電偶層兩邊的電勢差為圖（b）電勢的分布如圖（b）所示。§1.5高斯定理1、電通量 通過電場中任一面元矢量的電通量定義為場強(qiáng)與的點(diǎn)乘（標(biāo)積）。 電通量不是點(diǎn)函數(shù),是對某一面積而言的。 電通量是標(biāo)量,有正負(fù)之分。 對于任意非閉合曲面S的電通量，可由面元的電通量積分求得 對于閉合曲面S的電通量為 如果用電場線描寫電場，則電場對任意曲面的電通量在數(shù)值上等于通過該曲面的電場線的條數(shù)。2、高斯定理 電場對任意封閉曲面的電通量只決于被包圍在封閉曲面內(nèi)部的電荷，且等于包圍在封閉曲面內(nèi)電量代數(shù)和除以

25、，與封閉曲面外的電荷無關(guān)。 是通過封閉曲面S的電通量，它只與該封閉曲面包圍的電荷有關(guān)，與封閉曲面外部電荷無關(guān)。 是高斯面S上的場強(qiáng)分布，由高斯面內(nèi)、外電荷共同產(chǎn)生的，即為總場強(qiáng)。 是封閉面上的面元矢量，其方向規(guī)定為外法線方向。3、高斯定理的物理內(nèi)涵（1）高斯定理反映出靜電場是有源場靜電場的電場線是有頭有尾的，正電荷是電場線發(fā)出的地方，稱為靜電場的源頭，猶如噴水泉的噴口；負(fù)電荷是電場線會(huì)聚并被吸收的地方，稱為靜電場的尾閭，猶如下水道的入口，具有這種性質(zhì)的場稱為有源場。當(dāng)表示正電荷從封閉曲面內(nèi)部發(fā)出條電場線；當(dāng)表示負(fù)電荷向封閉曲面內(nèi)部吸收條電場線。（2）高斯定理取決于平方反比律的性質(zhì)高斯定理主要反

26、映了庫侖定律的平方反比律，即。如果庫侖定律不服從平方反比律就不可能得到高斯定理。（3）庫侖定律比高斯定理包含更多的信息。庫侖定律不但說明電荷間的相互作用力服從平方反比律，而且說明電荷間的作用力是有心力。高斯定理并沒有反映靜電場是有心力場這一特性。因此，在靜電范圍內(nèi)，庫侖定律比高斯定理包含更多的信息。4、用高斯定理求場強(qiáng)（1）分析場強(qiáng)分布，判斷能否用高斯定理求場強(qiáng)高斯定理是普遍成立的，但是用它求場強(qiáng)分布時(shí)， 中 的數(shù)值必須能提到積分號(hào)外進(jìn)行計(jì)算，這就要求在所畫的高斯面的全部或某一部分上，場強(qiáng)的數(shù)值不變。要滿足這個(gè)要求，電場的分布應(yīng)具有某種高度對稱性。 對稱性一般具有球?qū)ΨQ性（如點(diǎn)電荷、均勻帶電球

27、面、均勻帶電球殼、球體等）和軸對稱性（無限帶電直線、無限長帶電圓柱、無限長帶電圓柱面、無限長帶電同軸圓柱面等），以及面對稱性（無限帶電大平面、無限帶電大平板、若干帶電無限大平面等）（2）選擇適當(dāng)?shù)母咚姑?高斯面必須通過所求的場強(qiáng)的點(diǎn)。 高斯面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小處處相等，方向處處與該面法線平行；或者使一部分高斯面的法線與場強(qiáng)方向垂直；或者使一部分場強(qiáng)為零。 高斯面應(yīng)取規(guī)則形狀（如當(dāng)場強(qiáng)球?qū)ΨQ分布時(shí)，高斯面取同心球面；當(dāng)場強(qiáng)軸對稱分布時(shí)高斯面取同軸柱面；當(dāng)場強(qiáng)面對稱分布時(shí)，高斯面取與平面垂直的圓柱面。） （3）算出通過整個(gè)閉合曲面的電通量以及該閉合曲面所包圍的電量的代數(shù)和，應(yīng)用高斯定理列出方程求解。

28、（4）對某些復(fù)雜的電荷分布，要注意到帶電體的各個(gè)部分，若具有某種高度對稱性，可分別使用高斯定理，然后再用場強(qiáng)疊加原理求總場強(qiáng)分布。 例1.5.1 求均勻帶電球面產(chǎn)生的電場,已知球面的半徑為R,電量為q解：根據(jù)題意可知，均勻帶電球面產(chǎn)生的電場具有球?qū)ΨQ性，以帶電球面的球心為中心，r(r<R)為半徑作一球面S1為高斯面，如圖所示，由高斯定理得球面內(nèi)的場強(qiáng)為以r(r>R) 為半徑作一球面S2為高斯面,如圖所示,同理得球面外的場強(qiáng)為例1.5-2 求無限大均勻帶電平面的電場 解：根據(jù)題意可知，無限大均勻帶電平面的電場具有面對稱性，取垂直于平面的柱形高斯面，如圖所示，由高斯定理得平面兩側(cè)的場強(qiáng)

29、為例1.5-3 兩無限長的同軸圓筒,半徑分別為R1與R2,均勻帶有等量異號(hào)電荷,已知兩圓筒有的電勢差為求場強(qiáng)的分布解：設(shè)圓筒上單位長度的電量為，根據(jù)對稱性和高斯定理求得兩筒之間的場強(qiáng)為由電勢差定義得于是兩圓筒之間的場強(qiáng)為而兩筒外的場強(qiáng)為例1.5-4 求均勻帶電球體中所挖出的球形空腔內(nèi)之場.球體的電荷體密為,球體的球心到空腔中心的距離為解：將空腔看作腔內(nèi)同時(shí)填滿了體密度為與的電荷。由高斯定理可分別求出帶正電荷的整個(gè)球體與帶負(fù)電荷的空腔球形帶電體在腔內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng)和。如圖所示，球心到考察點(diǎn)的位矢為，空腔中心到考察點(diǎn)的位矢為則有 例1.5-5計(jì)算靜電場中任一球形區(qū)域內(nèi)的平均場強(qiáng)(設(shè)球的半徑為R0)解

30、：(1)假定場源是位于球外的一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷,離球心的距離為r0，如圖（a）所示，設(shè)想在球體內(nèi)有均勻分布的體電荷, 其密度為，總電量 ，V0為球的體積.q0產(chǎn)生的電場E0對q的作用力為其中 為從球心指向q的單位矢量。由牛頓第二定律，故有 圖（a）即球內(nèi)的平均場強(qiáng)(2)若場源是位于球外的任意帶電體，如圖（b）所示，設(shè)電荷分布在體積V內(nèi)，體電荷密度為，電場E0對q= V的作用力為q的電場E對q0的作用力為由 得 圖（b） (3)假定場源是位于球內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)電荷q ，離開球心的距離為r，見圖（c）設(shè)想在球體內(nèi)有均勻分布的體電荷, 其密度為總電量。由高斯定理，球內(nèi)的電荷在點(diǎn)電荷所在處產(chǎn)生的電場為圖（

31、c）該電場對點(diǎn)電荷q的作用力為 而球體內(nèi)的電荷受到點(diǎn)電荷的電場E的作用力為由 得定義為點(diǎn)電荷對球心的電矩則有（4）如果場源是分布在球內(nèi)的任意帶電體， 為其電荷體密度，V為電荷分布的體積，如圖（d），電場E0對帶電體q的作用力為而球體內(nèi)的電荷受到帶電體的電場E的作用力為 圖（d）由 得 其中 ，帶電體系對球心的電偶極矩。 §1-6 靜電能1、點(diǎn)電荷系的相互作用能 （1）什么是靜電能？ 一般地說，有多個(gè)帶電體組成的體系的靜電能（靜電勢能）等于體系中每個(gè)帶電體的自能與各個(gè)帶電體之間的互能的總和。自能定義為：把這個(gè)帶電體的每一小塊無限遠(yuǎn)離時(shí)電場力的功或把各個(gè)帶電體的每一小塊從無限遠(yuǎn)離狀態(tài)放到一起組成這個(gè)帶電體時(shí)外力的功。自能恒正?；ツ芏x為：把各個(gè)帶電體無限遠(yuǎn)離時(shí)電場力的功或把各個(gè)帶電體從無限遠(yuǎn)離狀態(tài)放到應(yīng)有位置時(shí)外力的功?；ツ芸烧韶?fù)。 （2）電荷與電場之間的互能 電荷在電場中某點(diǎn)的電勢能（互能）在數(shù)值上等于把電荷從該點(diǎn)移到電勢零點(diǎn)時(shí)，電場力所作的功 (3) 點(diǎn)電荷系的相互作用能（互能）點(diǎn)電荷系的相互作用能等于各電荷所在處的電勢與該點(diǎn)電荷電量乘積之和的一半。 式中是除外所有電荷在處的