高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案(分享)

1、課 題：7.5曲線和方程（一）曲線和方程教學(xué)目標(biāo)：1了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關(guān)系，并能作簡單的判斷與推理 2在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，以及坐標(biāo)法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學(xué)方法3培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、合情推理、合作交流及獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及主動(dòng)參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神教學(xué)重點(diǎn)：理解曲線與方程的有關(guān)概念與相互聯(lián)系教學(xué)難點(diǎn)：定義中規(guī)定兩個(gè)關(guān)系（純粹性和完備性）授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教材分析：曲線屬于“形”的范疇，方程則

2、屬于“數(shù)”的范疇，它們通過直角坐標(biāo)系而聯(lián)系在一起，“曲線和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)這正體現(xiàn)了幾何的基本思想，對(duì)解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)方法論上的一次飛躍本節(jié)教材中把曲線看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，蘊(yùn)涵了用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作曲線的代數(shù)反映，又包含了對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化的思想方法由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學(xué)生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學(xué)習(xí)的入門之徑求曲線的方程的問題，也貫穿了這

3、一章的始終，所以應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一根據(jù)大綱要求，本節(jié)內(nèi)容分為3個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，具體的課時(shí)分配是：第一課時(shí)講解“曲線與方程”與“方程與曲線”的概念及其關(guān)系；第二課時(shí)講解求曲線方程的一般方法，第三課時(shí)為習(xí)題課，通過練習(xí)來總結(jié)、鞏固和深化本節(jié)知識(shí)，并解決與曲線交點(diǎn)有關(guān)的問題。考慮到本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和靈活性，可以對(duì)課本例題和練習(xí)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，或進(jìn)行變式訓(xùn)練針對(duì)第一課時(shí)概念強(qiáng)、思維量大、例題習(xí)題不多的特點(diǎn)，整節(jié)課以啟發(fā)學(xué)生觀察思考、分析討論為主。當(dāng)學(xué)生觀察例題回答不出“為什么”時(shí)，可以舉幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)作檢驗(yàn)，這就是“從特殊到一般”的方法；或引導(dǎo)學(xué)生看圖，這就是“從具體（直觀）到抽

4、象”的方法；或引導(dǎo)學(xué)生回到最簡單的情形，這就是以簡馭繁；或引導(dǎo)學(xué)生看（舉）反例，這就是正反對(duì)比，總之，要使啟發(fā)方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 溫故知新，揭示課題問題： (1)求如圖所示的AB的垂直平分線的方程；(2)畫出方程和方程所表示的曲線觀察、思考，求得(1)的方程為，(2)題畫圖如下 講解：第(1)題是從曲線到方程，曲線C(即AB的垂直平分線)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)方程f(x,y)=0 第(2)題是從方程到曲線，即方程f(x,y)=0 解(x,y)(即點(diǎn)的坐標(biāo))曲線C教師在此基礎(chǔ)上揭示課題，并提出下面的問題讓學(xué)生思考問題:方程f(x,y)=0的解與曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)具備怎

5、樣的關(guān)系，才叫方程的曲線，曲線的方程？設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)以前的知識(shí)來引入新課，然后提出問題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和要求二、講解新課：1. 運(yùn)用反例，揭示內(nèi)涵由上面得出：“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”和“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”后，不急于拋物線定義，而是讓學(xué)生判斷辨別問題：下列方程表示如圖所示的直線C，對(duì)嗎？為什么？（1）;（2）;（3）|x|-y=0.上題供學(xué)生思考，口答方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲線C的方程第（1）題中曲線C上的點(diǎn)不全都是方程的解，如點(diǎn)(-1,-1)等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第(2)題中，盡管“曲線C上的坐

6、標(biāo)都是方程的解”，但以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線C上，如點(diǎn)(2，-2)等，即不符合“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”事實(shí)上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應(yīng)該是下圖的三種情況：上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例子，又觀察、分析了以上問題中所出現(xiàn)的方程和曲線間所建立的不完整的對(duì)應(yīng)關(guān)系 2討論歸納，得出定義討論題：在下定義時(shí)，針對(duì)（1） 中“曲線上有的點(diǎn)的坐標(biāo)不是方程的解”以及（2）中“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上”的情況，對(duì)“曲線的方程應(yīng)作何

7、規(guī)定？學(xué)生口答，老師順其自然地給出定義這樣，我們可以對(duì)“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（純粹性）(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)（完備性）那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線設(shè)計(jì)意圖：上述概念是本課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓學(xué)生自己通過討論歸納出來，老師再說清楚這兩大性質(zhì)(純粹性和完備性)的含義，使學(xué)生初步理解這個(gè)概念3變換表達(dá)，強(qiáng)化理解曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C；一個(gè)關(guān)于x,y的二元方程的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因而二元方程的解也描述了一個(gè)點(diǎn)集，

8、記作F 請(qǐng)大家思考：如何用集合C和點(diǎn)集F間的關(guān)系來表達(dá)“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個(gè)關(guān)系，進(jìn)而重新表述以上定義關(guān)系(1)指集合C是點(diǎn)集F的子集，關(guān)系(2)指點(diǎn)集F是點(diǎn)集合C的子集這樣根據(jù)集合的性質(zhì)，可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”與“方程的曲線”，即： 設(shè)計(jì)意圖：通過集合的表述，使學(xué)生對(duì)曲線和方程的關(guān)系的理解得到加深和強(qiáng)化，在記憶中上也趨于簡化三、講解范例：例1 解答下列問題，且說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個(gè)關(guān)系？(1)點(diǎn)是否在方程為的圓上？(2)已知方程為的圓過點(diǎn)，求m的值學(xué)生練習(xí)，口答；教師糾錯(cuò)、小結(jié)依據(jù)關(guān)系(1)，可知點(diǎn)在圓上，不在圓上依據(jù)關(guān)系(2)

9、，求得 例2 證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是由學(xué)生自己閱讀課本解答，教師適時(shí)插話，強(qiáng)調(diào)證明要緊扣定義，分兩步進(jìn)行給出推論，升華定義： (1)兩曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)必為方程組的實(shí)根（2）兩曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必為方程的實(shí)根四、課堂練習(xí)：1如果曲線C上的點(diǎn)滿足方程F（x,y)=0，則以下說法正確的是（ ）A.曲線C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲線是CC.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)在曲線C上D.坐標(biāo)不滿足方程F（x,y)=0的點(diǎn)不在曲線C上分析：判定曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須注意兩點(diǎn)：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；（2

10、）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說曲線的方程，方程和曲線解：由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D 2.判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由.（1）過點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=0; (2)到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為y=-2;(3)到兩坐標(biāo)軸的距離乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1;(4)ABC的頂點(diǎn)A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程為x=0 分析：判斷所給問題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義，即考查曲線上的點(diǎn)的純粹性和完備性.解：（1）滿

11、足曲線方程的定義.結(jié)論正確（2）因到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程還有一個(gè)；y=2，即不具備完備性.結(jié)論錯(cuò)誤.（3）到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)為x·y=1,即xy=±1.所給問題不具備完備性結(jié)論錯(cuò)誤（4）中線AD是一條線段，而不是直線，x=0(-3y0),所給問題不具備純粹性.結(jié)論錯(cuò)誤.3.方程（3x-4y-12)·log2(x+2y)-3=0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)分析：方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，x+2y0

12、 解：由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，得x+2y0.A(0,-3)、C()不合要求將B（0，4）代入方程檢驗(yàn)，不合要求.將D（4，0）代入方程檢驗(yàn)，合乎要求.故選B.4.已知點(diǎn)A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3sec, tan),其中在曲線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4分析：由曲線上的點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，若滿足這個(gè)方程，說明這是這個(gè)方程的解，這個(gè)點(diǎn)就在該方程表示的曲線上.解：將點(diǎn)A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3sec, tan)代入方程檢驗(yàn)，只有點(diǎn)A和點(diǎn)B滿足方程.故選B.5.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0

13、，它們的交點(diǎn)M（x0,y0)，求證：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0表示的曲線也經(jīng)過M點(diǎn).（為任意常數(shù)）分析：只要將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程.F1(x,y)+F2(x,y)=0，看點(diǎn)M的坐標(biāo)是否滿足方程即可證明：M(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)，F(xiàn)1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.F1(x0,y0)+F2(x0,y0)=0(R)M(x0,y0)在方程F1(x,y)+F2(x,y)=0所表示的曲線上.評(píng)述：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程五、小結(jié) ： “曲線的方程”、“方程的曲線”的定義在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件兩者滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性只有符合關(guān)系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來研究，即幾何問題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法六、課后作業(yè)：1點(diǎn)A(1，-2)、B(2，-3)