巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題

1、巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點(diǎn)的相等的線段特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?，F(xiàn)就旋轉(zhuǎn)法在幾何證題中的應(yīng)用舉例加以說明，供同學(xué)們參考。例1如圖,在RtABC中，C=90°，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別AC和BC上，且DEDF，求證：EF2=AE2+BF2分析：從所證的結(jié)論來看，令

2、人聯(lián)想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三條線段不在同一個(gè)三角形中，由于D是中點(diǎn)，我們可以考慮以D為旋轉(zhuǎn)中心，將BF旋轉(zhuǎn)到和AE相鄰的位置，構(gòu)造一個(gè)直角三角形，問題便迎刃而解。證明：延長(zhǎng)FD到G，使DG=DF，連接AG，EGAD=DB，ADG=BDFADGBDF（SAS）DAG=DBF，BF=AG AGBC C=90°EAG=90°EG2=AE2+AG2=AE2+BF2DEDFEG=EFEF2=AE2+BF2例2，如圖2，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù).分析：題目已知條件中給出了三條線段的

3、長(zhǎng)度和一個(gè)直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故可考慮通過旋轉(zhuǎn)變換移至一個(gè)三角形中，由于ACB是等腰直角三角形，宜以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心。解：作MCCP，使MC=CP，連接PM，BMACB=90°，PCM=90°1=2AC=BC， CAPCBM（SAS）MB=AP=3PC=MC，PCM=90°MPC=45°由勾股定理PM=2，在MPB中，PB2+PM2=（2）2+12=9=BM2MPB是直角三角形BPC=CPM+MPB=45°+90°=135°例3，如圖3，直角三角形ABC中，AB=AC，BAC=90°,EAF

4、=45°，求證：EF2=BE2+CF2分析：本題求證的結(jié)論和例1十分相似，無法直接用勾股定理，可通過旋轉(zhuǎn)變換將BE，CF轉(zhuǎn)移到同一個(gè)直角三角形中，由于BAC是等腰直角三角形，不妨以A為旋轉(zhuǎn)中心，將BAE和CAF合在一起，取零為整。A證明：過A作APAE交BC的垂線CP于P，連結(jié)PFEAP=90°，EAF=45°PAF=45°BAC=90° BAE=PACAB=AC， B=ACB=ACP=45°ABEACP（ASA）PC=AE，AP=AEAEFAPF（SAS）EF=PF故在RtPCF中，PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2例

5、4，如圖4，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，DC上，且EBF=45°，BMEF于M，求證：BA=BM分析:本題與例3相同之處在于直角三角形家夾有45°角，可利用相同的方法，將ABE和CBF“化散為整”來構(gòu)造全等三角形。證明：延長(zhǎng)FC到N，使CN=AE，連結(jié)BN四邊形ABCD是正方形AB=AC，BAC=90°EBF=45°ABE+CBF=45°由ABECBN知BE=BN，CBN=ABECBN+CBF=45°，即EBF=NBF又BE=BN，BF=BFEBFNBF（SAS）BM=BCBM=BA例5、如圖6，五邊形ABCDE中，ABAE，

6、BCDECD，ABCAED180°。求證：ADEADC。解析：條件中有共點(diǎn)且相等的邊AE和AB，可將ADE以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)BAE的角度到AFB的位置，如圖7。這就使已知條件ABCAED180°和BCDECD通過轉(zhuǎn)化得到集中，使解題思路進(jìn)一步明朗。由ADEAFB，得AEDABF，ADEAFB，EDBF，AFAD。由ABCAED180°，得ABCABF180°。所以C、B、F三點(diǎn)共線。又CDBCDEBCBFCF，故CFDCDF。由AFAD，得到DFAFDA。ADEAFBCFDDFACDFFDAADC。例6、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，P

7、A=2，PB=，PC=4，求ABC的邊長(zhǎng)。分析：PA、PB、PC比較分散，可利用旋轉(zhuǎn)將PA、PB、PC放在一個(gè)三角形中，為此可將BPA繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°可得BHC。解：把BPA繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BHC。因?yàn)锽P=BH，PBH=60°所以BPH是等邊三角形所以BPH=60°，所以BP=PH又因?yàn)镠C=PA=2，PC=4所以所以HCP是Rt，所以CHP=90°又因?yàn)镠C=2，PC=4所以HPC=30°又因?yàn)锽PH=60°，所以CPB=90°在RtBPC中，=12+16=28,，那么ABC的邊長(zhǎng)為。例

8、7、如圖2，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知：AOB=115°，BOC=125°，則以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少？解：可將BOC繞B點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°可得BMA。因?yàn)锽O=BM，MBO=60°所以BOM是等邊三角形，所以1=2=60°又因?yàn)锳OB=115°，所以MOA=55°又因?yàn)锳MB=COB=125°所以AMO=65°又因?yàn)锳M=OC，MO=BO所以AMO正好是以AO、OC、BO為邊組成的三角形，所以MAO=180°（55°+65°）=180

9、°120°=60°即：以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成三角形的各角的度數(shù)分別為55°、65°、60°。例8、如圖4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與重合，若PB=3，求的長(zhǎng)。分析：將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與重合，實(shí)際上就是把ABP順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°可得，即90°。解：因?yàn)?0°。所以。例9、如圖5，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA：PB：PC=1：2：3，求APB的度數(shù)。分析：PA：PB：PC=1：2：3，不妨設(shè)PA=1，PB=2，PC=3，而這些條件較分散，可設(shè)法把PA、

10、PB、PC相對(duì)集中起來即把BCP繞B點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到BAE。解：因?yàn)锽P=BE，PBE=90°所以，所以又在APE中，即所以APE=90°即APB=90°+45°=135°所以APB=135°。例10、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各存一點(diǎn)P、Q，若APQ的周長(zhǎng)為2，求PCQ的度數(shù)。解：把CDQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°到CBF的位置，CQ=CF。因?yàn)锳Q+AP+QP=2又AQ+QD+AP+PB=2所以QD+BP=QP又DQ=BF，所以PQ=PF所以所以QCP=FCP又因?yàn)镼CF=90°，所以PCQ=45°。由上例可知，利